1、1不等式中恒成立问题的解法恒成立问题的基本类型：类型 1：设 ，-在 R 上恒成立)0()(2acbxxf（1） 上恒成立 ；R在0且（2） 上恒成立 。在 且类型 2：设 -在 上恒成立)0()(2acbxxf ,（1） 当 时，0a上恒成立,)(f在上恒成立,0)(xf在 0)(f（2） 当 时，a上恒成立,0)(xf在 0)(f上恒成立,)(f在 0)(2)(2fabfab或或类型 3： 上恒大于某常数(),fx在min, ()mnfx恒 成 立。a,()xfx恒 成 立类型 4： 作差转化Ag恒 成 立 问 题,(),()0()xfxxAfgx恒 成 立的 图 象 总 在 图 象 的
2、上 方解恒成立问题的基本思路是：数形结合或等价转化的思想，转化不等式组或函数最值问题，关键构造函数、数形结合等。一、用一次函数的性质设 ， -借助直线，数形结合转化,)(nmxbkf 0)(0)(,)(0 nfmxffx 恒 成 立恒 成 立例 1、若不等式 对满足 的所有 都成立，求 x 的范围。1222解析：我们可以用改变主元的办法，将 m 视为主变元，22()0()0bbaf f或 或2，21()xm0)12()(2x令 ， ，)f m所以 x 的范围是 。)231,7(二、对一元二次不等式借助抛物线数形结合转化设 ：),0()(2 Rxacbxaxf （1） 上恒成立 ；R在00且（2
3、） 上恒成立在 且例 2：若不等式 的解集是 R，求 m 的范围。2)1()(2xm解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m，所以要讨论 m-1 是否是 0。（1）当 m-1=0 时，原不等式化为 20 恒成立，满足题意；（2） 时，只需 ，所以， 。m0)1(8)(012 )9,1例 3：若不等式 x2-2mx+2m+10 对满足 0 x 1 的所有实数 x 都成立，求 m 的取值范围。解：设 f(x)=x2-2mx+2m+1本题等价于函数 f(x)在 0 x 1 上的最小值大于 0，求 m 的取值范围。(1)当 m1 时，f(x)在0,1 上是减函数
4、，因此 f(1)是最小值解 得 m10f(1)综合(1)(2)(3) 得 21m注：当化归为二次函数后，自变量是实数集的子集时，应用二次函数知识解决有时较繁琐。此型题目有时也可转化为后面的法 3 求解。三、分离参数，转化为函数的最值（1） 对任意 x 都成立 ；mxf)( mxfin)(（2） 对任意 x 都成立 。ax1732x2()0x()0f(0f恒 成 立3例 3：在 ABC 中，已知 恒成立，求实 2|)(|,2cos)4(sin)(2 mBfBBf 且数 m 的范围。解析：由 ，1,0(sin,0,1sico)24(sin)( f ， 恒成立， ，即 恒成立，3,1Bf |mBf2
5、)(Bf2)Bfm(m例 4：（1）求使不等式 恒成立的实数 a 的范围。,0cosinxa解析：由于函 ，3si2i(),44x显然函数有最大值 ， 。2如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题：（2）求使不等式 恒成立的实数 a 的范围。)2,0(4,cosinxa解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得的最大值取不到 ，xycosin即 a 取 也满足条件，所以 。2a所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数 a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。四：数形结合法对一
6、些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。例 5：已知 ，求实数 a 的取值范围。2 10,1(),(1,)()2xafafx当 时 有 恒 成 立解析：由 ，xxf )(22， 得在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在 x=-1 和 x=1 处相交，则由得到 a 分别等于 2 和 0.5，并作出函数 的图象，所1221a及 xxy)21(及以，要想使函数 在区间 中恒成立，只须 在区间 对应的图x)1,(y2,象在 在区间 对应图象的上面即可。当 才能保证，而2xy),( ,1a只 有时才可以，所以 。110aa时 ， 只 有 ,()2a对于参数不能单独放在一侧的
7、，可以利用函数图象来解。利用函数图象解题时，思路是从边界处（从相等处）开始形成的。4例 6：若当 P(m,n)为圆 上任意一点时，不等式1)(22yx 0cnm恒成立，则 c 的取值范围是（ ）A、 B、 1 12cC、 D、 解析：由 ，可以看作是点 P(m,n)在直线 的右侧，而点 P(m,n)在圆0cnm0cyx上，实质相当于是 在直线的右侧并与它相离或相切。1)(22yx 1)(22yx，故选 D。1|0|24.数形结合法例 7：如果对任意实数 x，不等式 恒成立，则实数 k 的取值范围是kx 1k 0解析：画出 y1= ,y2=kx 的图像，由图可看出 0 k 1例 8：已知 a0 且 a 1,当 x (-1，1)时，不等式 x2-ax x2-11画出 y1= ax,y2= x2- 的图像。由图可看出 a1 或 1a 2练习题：1、 对任意实数 x，不等式 恒成立的充要条件是_。 ),(0cossinRcbaxba答案 2cb2、当 恒成立，则实数 a 的范围是_。 答案 (,3)|1alog时 ， 1(0,3,)3、已知不等式： 对一切大于 1 的自然数 n 恒成立，12. ()1223alognn求实数 a 的范围。 答案 5(,)aK=11
