1、初二数学经典题型1已知：如图，P 是正方形 ABCD 内点，PADPDA15 0求证：PBC 是正三角形 2.已知：如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，M、N 分别是 AB、CD 的中点，AD、BC 的延长线交 MN 于 E、F求证：DENF3、如图，分别以ABC 的 AC 和 BC 为一边，在ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点 P 是 EF 的中点求证：点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半4、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且PBAPDA求证：PABPCB5.P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PAa，PB2a，PC=3a 正方形的边长6.如
2、图， P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点（ P 与 A、 C 不重合） ，点 E 在射线 BC 上，且 PE=PB.（1）求证： PE=PD ； PE PD；（2）设 AP=x, PBE 的面积为 y.ANFECDM BAPCDBPCGFBQADE 求出 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； 当 x 取何值时， y 取得最大值，并求出这个最大值.答案1、证明如下。首先，PA=PD，PAD=PDA=（180-150）2=15，PAB=90-15=75。在正方形 ABCD 之外以 AD 为底边作正三角形 ADQ， 连接 PQ， 则PDQ=60+15=75，
3、同样PAQ=75，又 AQ=DQ,，PA=PD，所以PAQPDQ， 那么PQA=PQD=602=30，在PQA 中，APQ=180-30-75=75=PAQ=PAB，于是 PQ=AQ=AB，显然PAQPAB，得PBA=PQA=30，PB=PQ=AB=BC，PBC=90-30=60，所以ABC 是正三角形。2、证明:连接 AC,并取 AC 的中点 G,连接 GF,GM.又点 N 为 CD 的中点,则 GN=AD/2;GNAD,GNM=DEM;(1)同理:GM=BC/2;GMBC,GMN=CFN;(2)又 AD=BC,则:GN=GM,GNM=GMN.故:DEM=CFN.3、证明：分别过 E、C、F
4、 作直线 AB 的垂线，垂足分别为 M、O、N，在梯形 MEFN 中，WE 平行 NF因为 P 为 EF 中点，PQ 平行于两底所以 PQ 为梯形 MEFN 中位线，所以 PQ（MENF）/2又因为，角 0CB角 OBC90角 NBF角 CBO所以角 OCB=角 NBF而角 C0B角 Rt角 BNFCB=BF所以OCB 全等于NBFMEA 全等于OAC（同理）所以 EMAO，0BNF所以 PQ=AB/2.4、过点 P 作 DA 的平行线，过点 A 作 DP 的平行线，两者相交于点 E；连接 BE 因为 DP/AE，AD/PE 所以，四边形 AEPD 为平行四边形 所以，PDA=AEP 已知，P
5、DA=PBA 所以，PBA=AEP PA DCB所以，A、E、B、P 四点共圆 所以，PAB=PEB 因为四边形 AEPD 为平行四边形，所以：PE/AD，且 PE=AD 而，四边形 ABCD 为平行四边形，所以：AD/BC，且 AD=BC 所以，PE/BC，且 PE=BC 即，四边形 EBCP 也是平行四边形 所以，PEB=PCB 所以，PAB=PCB5 解：将BAP 绕 B 点旋转 90使 BA 与 BC 重合，P 点旋转后到 Q 点，连接 PQ因为BAPBCQ所以 APCQ，BPBQ，ABPCBQ，BPABQC因为四边形 DCBA 是正方形所以CBA90，所以ABPCBP90，所以CBQ
6、CBP90即PBQ90，所以BPQ 是等腰直角三角形所以 PQ2*BP，BQP45因为 PA=a，PB=2a，PC=3a所以 PQ22a，CQa，所以 CP29a2，PQ2CQ28a2a29a2所以 CP2PQ2CQ2，所以CPQ 是直角三角形且CQA90所以BQC9045135，所以BPABQC135作 BMPQ则BPM 是等腰直角三角形所以 PMBMPB/22a/22a所以根据勾股定理得：AB2AM2BM2(2aa)2(2a)2522a2所以 AB(522)a6. 解：（1）证法一： 四边形 ABCD 是正方形， AC 为对角线， BC=DC, BCP= DCP=45. PC=PC， PB
7、C PDC （SAS）. PB= PD， PBC= PDC. 又 PB= PE ， PE=PD. （i）当点 E 在线段 BC 上( E 与 B、 C 不重合)时， PB=PE， PBE= PEB， PEB= PDC， PEB+ PEC= PDC+ PEC=180， DPE=360-( BCD+ PDC+ PEC)=90， PE PD. ）（ii）当点 E 与点 C 重合时，点 P 恰好在 AC 中点处，此时， PE PD.（iii）当点 E 在 BC 的延长线上时，如图. PEC= PDC，1=2， DPE= DCE=90，ACBPDAB CDPE12H PE PD.综合（i） （ii） （
8、iii）, PE PD. （2） 过点 P 作 PF BC，垂足为 F，则 BF=FE. AP=x， AC= ，2 PC= - x， PF=FC= .x21)(BF=FE=1-FC=1-( )= .x1 S PBE=BFPF= ( ) . 2x2即 (0 x ). xy . 41)(122 0 ，a 当 时， y 最大值 . 2x（1）证法二： 过点 P 作 GF AB，分别交 AD、 BC 于 G、 F. 如图所示. 四边形 ABCD 是正方形， 四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形， AGP 和 PFC 都是等腰直角三角形. GD=FC=FP， GP=AG=BF， PGD= PF
9、E=90.又 PB=PE， BF=FE， GP=FE， EFP PGD （SAS）. PE=PD. 1=2. 1+3=2+3=90. DPE=90. PE PD. （2） AP=x， BF=PG= ， PF=1- . 2x2 S PBE=BFPF= ( ) . 1即 (0 x ). xy12 . 4)2( 0 ，2aAB CPDEFAB CPDEFG123 当 时， y 最大值 .2x4126 （本小题满分 8 分）如图 1，在四边形 ABCD中， ， EF、 分别是 BCAD、 的中点，连结 EF并延长，分别与 BACD、 的延长线交于点 MN、 ，则 N（不需证明） （温馨提示：在图 1
10、中，连结 ，取 B的中点 H，连结 E、 ，根据三角形中位线定理，证明 HEF，从而 2，再利用平行线性质，可证得 MN ）问题一：如图 2，在四边形 中， A与 相交于点 O， ， 、 分别是 、 的中点，连结EF，分别交 、 于点 、 ，判断 的形状，请直接写出结论问题二：如图 3，在 C 中， ， D点在 C上， ABD， F、 分别是 BCAD、 的中点，连结并延长，与 BA的延长线交于点 G，若 60F，连结 G，判断 的形状并证明26 （1）等腰三角形1 分（2）判断出直角三角形1 分证明：如图连结 BD，取 的中点 H，连结 FE、 ， 1 分F是 A的中点，H， 12A，13同理， EC ， ，2FABD，H，1 1 分60EC，360AG，F是等边三角形 2 分AD，G， 390即 是直角三角形 2 分ACBDF ENMOEB CDHA FNM12图 1 图 2 图 3AB CDFGEAB CDFGHE123
