有限域上的多项式理论.doc-道客多多

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1、有限域上的多项式理论Polynomial Theory of Finite Fields密级：公开I摘要域的概念的提出为代数学中的讨论的方便提供了条件，而作为在域中占有重要地位的有限域而言，更是在组合设计、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等领域发挥着自己的作用。多项式理论又是代数学中的基础，它的应用在其它领域也是常见的，本文的主要思想就是将高等代数中建立在数域中的多项式理论进行推广，将有关的性质、定理在有限域上进行验证，进而形成一套建立在有限域上的多项式理论。当下，通信技术已经飞速发展，而保证信息在传输过程中的准确性是通信安全的一个重要前提。本文在第三章给出了有限域上的多项式在该领域

2、的一个具体应用利用本原多项式来进行纠错码的操作。正文部分的结构组成包括：有限域的基本知识、一元多项式、多项式的整除和带余除法、最大公因式、因式分解定理、重因式、多元多项式及本原多项式在纠错码中的应用。本文通过大量理论证明，验证了关于多项式的定理，性质，将数域上的多项式理论建立在有限域上。从结果中可以看出，对于建立在一般数域的多项式理论，大部分的结果在有限域上也是普遍成立的，但是不排除一些特殊的情况。同时，在部分章节的最后也给出了一些只有在有限域中成立，在普通数域中不成立的结论。关键词：有限域；多项式；带余除法；纠错码IIAbstractWith the concept of the field

3、 being raised, it has provided the conditions for the convenience of the discussion in Algebra. Meanwhile, the finite field also plays an important role in combination of design, coding theory, cryptography, commuter and communications systems. Polynomial theory is the basis of Algebra. The main ide

4、a is to put the polynomial theory to the finite field and check the related properties and theorems.Nowadays, the communicational technology has developed rapidly. Keeping accuracy is an important prerequisite for communication security. In the third chapter, this paper introduces the primitive poly

5、nomials applications: Error-correcting code.The text contains: The basis knowledge of finite field, polynomial, divisibility of polynomials, greatest common factor, factorization theorem, repeated divisors, multivariate polynomial and the primitive polynomials applications: Error-correcting code.In

6、this paper, a number of properties and theorems are checked by theoretical proof. We will establish the polynomial theory of finite field. According to it, we can see that the most parts of the polynomial theory of number field are established in finite field except in some special situations. At th

7、e same time, some conclusions which only established in finite field are given in some chapters. Keywords: finite fields; polynomial; divisibility of polynomials; Error-correcting codeI目录摘要 .IAbstract II第 1 章绪论.11.1 有限域的发展 11.2 有限域的基础理论2第 2 章有限域上的多项式.52.1 一元多项式52.2 多项式的整除和带余除法92.4 最大公因式142.5 因式分

8、解定理182.6 重因式212.7 多元多项式23第 3 章有限域上的多项式的应用.28第 4 章结论.34参考文献.35致谢.361第 1 章绪论1.1 有限域的发展一般地讲，域是可以进行传统算术的四则运算的集合。由此，要定义域首先得有完善的数系，这样逆运算才能进行。历史上，人们把零、分数、负数、无理数、复数引进熟悉经历了漫长的过程。1500 年左右，人们已经接受零作为一个数，无理数也用得更随便了。到 1700 年左右，人们已经很熟悉整数、分数、无理数、负数和复数了，但是对它们还有错误的认识，甚至采取回避的态度。正是因为数系的扩大，才可以进行加法和乘法的逆运算，也就是为代数结构

9、提供了活动的场所，而这一切都是在不知不觉中发生的。从算术开始，人们就知道有理数对加减乘除是封闭的，而且满足交换律、结合律和分配律，也就是我们现在所说的域，但是他们并不知道这就是域的性质。迈向有限域论的第一步发生在古代。这个理论的基本定理是 EUCLID原本，用现代语言叙述如下:如果，那么。,1,abnNbn,1abn有限域的另一个重要结果是 C. G. Bachet 给出的一个算法，如果是自,ab然数且互素，计算非负整数，使得，且，C.G. Bachet,xy,xyxby的算法允许在有限域中计算逆元。pZ到了 19 世纪，人们所研究到的域有：有理数域、实数域、复数域和模素数的

10、剩余类域等，然而第一个有具体域的概念，并且构造出一个新的有限域P的数学家是年轻的 E. Galois，这来源于代数方程的求根问题。1830 年，E. Galois 发表了一片题为“论数论”的重要论文。他在元域p的基础上，采用域扩张的方法构作出全部可能的有限域，结果表面：每个有限域的元素个数必为某个素数的方幂。而且对某个素数幂，本质p1nn上只有一个元有限域。所以后来，为了纪念 E. Galois，人们把有限域也叫np做 Galois 域。2有限域的理论最早可以追溯到费尔马（FERMAT 16011665）、欧拉（EULER 17071783）和高斯（GAUSS 17771855

11、）,他们实质上研究了一种称之为有限素域的有限域。有限域的一般理论则主要是从伽罗瓦（GALOIS 18111832）的工作开始。1830 年，他在元有限域的基础上，P采用域扩张方法构造出全部可能的有限域，证明了每个有限域的元素个数一定是某个素数的幂，而且对每个素数幂，本质上也只有一个对应的有限域。如今，由于计算机和信息科学的发展，离散的数学结构（对比于连续的数学结构）的研究日益重要、有限域在纠错码、密码学、实验设计、有限群、有限几何等问题中担任重要角色。12数域是代数中的一个基本概念。有理数域、实数域和复数域都是我们比较熟悉的数域，这些域有个共同的特点，就是它们的元素个数都是无限的，而有限域

12、最大的特点是只含有有限多个元素。有限域是现代代数学的重要分支之一。有限域作为域，当然具有通常域的一般性质，但又因为它只含有有限多个元素，使得它与我们所熟悉的数域又有很大的不同。有限域具有许多优美的性质，在组合设计、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等许多实际领域有着广泛的应用。特别是最近几十年，随着计算机技术的蓬勃发展，有限域的地位愈加重要。例如有限域的计算和算法分析对计算机代数和符号计算的影响，许多从事应用研究的数学家，开始重视有限域理论的研究和应用，有限域已经成为许多工程技术人员不可缺少的数学工具。另一方面，有限域理论本身也吸引了人们的广泛兴趣，成为许多优秀数学家施展自己才华的场所。数

13、学本身和实际应用领域也不断提出关于有限域的大量数学问题，这些问题的解决或者有益于应用，或者推动数学的发展。有限域上的多项式理论对研究有限域的代数结构，以及对有限域的应用是非常重要的。1.2 有限域的基础理论有限域是域的一种，首先给出一般的域的概念。定义 1.1 设是至少包含两个元的集合，在中有一个代数运算，称作FF加法：这就是说，对中任意两个元，，有中唯一一个元与之对应，abc3称为与的和，并记为 (这里的等式表示集合相等，即等号两边的元abbac素相同)。在中还有另一个代数运算叫做乘法，即对中任意两个元，FFa，在中都有唯一的一个元与之对应，称为与的积，并记为

14、。dabbd如果的这两个运算还满足. 1. 加法交换律，，。ab2. 加法结合律，，，。ccFc3. 中有一个零元满足，。F04. 对中任一元，有中的元，使得，称为的一个负F0baa元。. 1. 乘法交换律，，。ba2. 乘法结合律，，。cF3. 中有一个单位元，满足，。F1a14. 对中任意非零元，有中的元，使得，称为的b1baa一个逆元。. 乘法对加法的分配律，ca, , 。abF这时我们称为一个域。F而所谓的有限域，就是满足上述条件，且元的个数为有限个的一种域。有限域作为一种只含有有限多个元素的域，有着许多其他域所

15、没有的特殊性质，比如说每一个有限域中元素的个数一定是某一素数的幂，而且对任一素数幂，也一定存在相应的有限域；再比如说，任何两个元素个数相同的有限域一定同构，从而可以把它们等同起来，等等。举个有限域的例子。对于非空集合，在的情况下做加法和乘0,1234,5678,910Fmod1法运算，定义运算规则为：加法：如果，则,abod,abrF乘法：如果，则 s易得，在的情况下是个有限域。Fmod1实际上，对于素数，集合在普通加法和乘法下，p0,123,p再加上运算，就成为有限域。4对于域而言，有一个重要的概念是域的特征。定义 1.2 设是一个域。若对任何正整数，都有，就称为特

16、Fm01F征为的域；若是使的最小的正整数，则称是特征为的域，这时0m01F必为素数。数域的特征为 0，而的特征为 2。若是一个有限域，可证它的特征是2某个素数。这只要证明有某个正整数，使。考察，它们01 ， n2都是 1 的倍数，都属于。因中仅有有限个元，上述倍数中必有两个是相F同的。设，且，于是，而是正整数。故以某个素lklklklkF数为特征。对于有限域的元素个数有如下限制：定理 1.1 有限域的元素个数必为，其中为素数，。np1n证明有限域的特征必为素数，于是为的子域。我们把的一个FpFF子集叫做生成集，是指中每个元素均可表成12,

17、nx x(1-1)12nxaa其中，本身显然是的一个生成集。在所有的生成集中取ipaFiF其中包含元素最少的一个，仍记为，则中每个元素均可表成(1-12,nx x1)的形式。现在我们证明对每个，表达式(1-1)是唯一的。因为若又有12nxbb ipF则。如果有某个不为零，不妨设，1 0nnabxa ia0nab则(1-2)111n nnnabxbx即可以用表示 (系数仍属于 )。由于中每个元素均可用nx11,nx pFx表示，将(1-2) 代入表达式中，可知可用表示。这表明1, x11,nx5是生成组，与生成组元素最少相矛盾。所以，11,nx 1,nx 0i

18、ab即 (对每个， )。从而表达式(1-1)是唯一的。iabin于是，在(1-1)中分别取中的个元素，共有种取法。由12,a pFnp上述知不同的取法给出中不同的元素，从而中共有个元素。346第 2 章有限域上的多项式2.1 一元多项式在对多项式的讨论中，我们总是以预先给定的数域作为基础。在这里，P我们假定所选取的数域为有限域，记为 ,并以此作为基础。PqF定义 2.1 设是一非负整数，形式表达式n， (2-1)01axann其中全属于有限域，称为系数在有限域中的一元多项式，na,10 qFqF或者简称为有限域上的一元多项式。qF在多项式(2-1)中，称为

19、次项，称为次项的系数。以后我们用ixaiai，或等来代表多项式。xf,g,gf定义 2.2 如果在多项式与中，除去系数为零的项外，同次项的fxg系数全相等，那么与就称为相等，记为xf。f系数全为零的多项式称为零多项式，记为。0在(2-1)中，如果，那么称为多项式(2-1)的首项，称为首项0nanxana系数，称为多项式(2-1) 的次数。零多项式是唯一不定义次数的多项式。多项n式的次数记为xf。xf我们对形式表达式(2-1)，可类似地引入相加、想减、相乘这些运算，为便于计算和讨论，我们常常用和号来表达多项式。设，xf 01axann01bbxgmm7是有限域上两个

20、多项式。那么它们可以写成qF，niixaf0。mjjbg0在表示多项式与的和时，如，为了方便起见，在中令xf nxg。那么与的和为nb101mb xf 0111 baxbaagxf nnn 。niiix0而与的乘积为xfg，010111 baxbaxbaxbamnmnmn 其中次项的系数是s。 sjijissss 0110所以可表示成xgf。snmssjijixbaxgf0显然，有限域上的两个多项式经过加、减、乘等运算后，所得结果仍qF然是有限域上的多项式。q对于多项式的加减法，不难看出。xgfxgf ,ma对于多项式的乘法，可以证明，如果，，那么0，并且0xgf。

21、xgfxgf8事实上，设，xf 01axann，1bbgmm其中，，于是的首项是0nambxf。na显然，因此，而且它的次数就是。n 0gf n由以上得出的结果都可以推广到多个多项式的情形。和数的运算一样，有限域上的多项式的运算也满足下面的一些规律。1.加法交换律：。xfgxf2.加法结合律：。hfhgxf3.乘法交换律：。xfgf4.乘法结合律：。hfhxf5.乘法对加法的分配律：。xfgfgf 这些规律都很容易证明。下面只给出乘法结合律的证明。设；；。niixaf0mjjxbg0lkxch0现在来证。xfxhf等式左边，中次项的系数为xgfs9，sjijiba因此左边

22、次项的系数为t。tkjijitksksjiji cc在右边，中次项的系数为xhgr。rkjjb因此右边次项的系数为t。tkjijitri krkijj cac与左边次项的系数一样，所以左右两边相等，这就证明了乘法满足结合律t。59对于多项式的乘法，我们还可以证明乘法消去律如果且，那么xhfgxf0f。xhg因为，fxf有，0hgf而，所以，也就是0xf 0xhg。x接下来我们引入定义 2.3 所有系数在有限域中的一元多项式的全体，称为有限域qF上的一元多项式环，记为，称为的系数域。qFxqx我们举一个在有限域里进行多项式加法和乘法的实际例子（系数模）。210在上计

23、算。2Zx523211xx53253x在上计算2x21x244241xx通过(2-1)给出的多项式的一般形式以及有限域中的元的个数为有限个的特殊性质，我们可以知道，对于有限域上的多项式，只要次数给定了以后，所有满足要求的多项式的个数也是有限的。例如，我们取定有限域为，规定3Zx多项式的次数为，那么所有满足条件的多项式为2，，221fxfxf2221fxfxf2221fxfxxf共 18 个。2.2 多项式的整除和带余除法在一元多项式环中，可以作加、减、乘三种运算，但是乘法的逆运算除法并不是普遍可以做的。因之整除就成了两个多项式之间的一种特殊的关系。我们可以用一个多项式去除另一个多项式

24、，求得商和余式。我们不妨取中的多项式，来说明两个多项式的带余除法。设1Fx,327fx。g我们可以按下面的格式来作除法:112322679xxx于是求得商为，余式为。所得结果可以写成6x29。3227679xx同样的，类似上述的过程，如果我们取定系数域为有理数域，得到的结果是。3221772xxx下面就按照这个想法来证明一元多项式环的一个基本性质。带余除法对于中任意两个多项式与，其中，一xFq xfg0x定有中的多项式，存在，使xFqr(2-2)xrgqxf成立，其中或者，并且这样的，是唯一决定gxr0rqxr的。证明 (2-2)中和的存在性可以由上面所说的出发

25、直接得出。下面qx用归纳法的语言来加以叙述。如果，取即可。0xf 0r以下设。令，的次数分别为，。对的次数作xfgnmxfn（第二）数学归纳法。当时，显然取，，(2-2)式成立。mnqxfr下面讨论的情形。假设当次数小于时，，的存在已证。qxr现在来看次数为的情形。令，分别是，的首项，显然与有相同naxmbxfggabmn1f12的首项，因而多项式 xgabxffmn11的次数小于或为。对于后者，取，；对于前者，由n0q0r归纳法假设，对，有，存在使xf1g1r1，xgf其中或者。于是r1 01r，rabxqfmn11也就是说，

26、有，使nxq11xrgf成立。由归纳法原理，对任意的，，，的存在性就证明x0qxr了。下面来证明唯一性。设另有多项式，使r，xgqxf其中或者。于是xgr 0rrq，即。xrxgx如果，又据假设，那么，且有xq00。rq但是,xrxg所以上式不可能成立。这就证明了，因此。qxr定义 2.4 有限域上的多项式称为整除，如果有有限域上qFf qF的多项式使等式xh13xhgf成立。我们用“ ”表示称为整除。 |gxf f当时，就称为的因式，称为的倍式。|f f xg当时，带余除法给出了整除性的一个判别法。0 10定理 2.1 对于有限域上

28、由有|f fh1|fxghf2于是14。xfhxf21如果为零，那么也为零，结论显然成立。如果，那么消xfg0xf去 f就有，121xh从而。由此即得021xh。021这就是说是一非零常数。22.如果，，那么（整除的传递性）。显|fxg|xh|fxh然，由，fg1g1即得。xfhx13.如果，，那么|ifxgri,2，12rruugug其中是有限域上任意的多项式。ui qF由，，即得xfhxgiiri,xguxgur21。fhhr通常，称为多项式xxxgur21的一个组合。xgr,21由以上的性质可以看出，多项式与它的任一个非零常数倍f有相同的因式，也有相

29、同的倍式。因之，在多项式整除性的讨论中，0cf常常可以用来代替。xxcf最后我们指出，两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变。也就是说，如果，是 xFq中两个多项式，是包含的一个fgqFq较15大的有限域。当然，，也可以看成是中的多项式。从带余除法xfgxFq可以看出，不论把，看成是中或者是中的多项式，用q去除所得的商式及余式都是一样的。因此，如果在中不能xgf xqg整除，那么在中，也不能整除。xFqgxf2.4 最大公因式多项式称为多项式，的公因式，如果既是的因式，xxfgxf又是的因式。在公因式中占有特殊地位的是所谓的最大公因式

30、。g定义 2.5 设，是中的两个多项式。中多项式称fFq Fqxd为，的一个最大公因式，如果它满足下面两个条件:xf1) 是，的公因式；dxfg2），的公因式全是的因式。f xd例如，对于任意的多项式，它就是本身与的一个最大公因式。特别f0地，根据定义可以知道两个零多项式的最大公因式就是。有了以上的定义以后，我们接下来所关心的问题是最大公因式的存在性问题，以下的证明同时也给出了一种具体的求法。关于存在性的证明主要根据是带余除法，关于带余除法，我们介绍以下事实：引理 2.1 如果有等式(2-3)xrgqxf成立，那么，和，有相同的公因式。xfgr证明如果

31、，，那么由(2-3)，。这就是| |xf说，，的公因式全是，的公因式。反过来，如果grxfg，，那么一定整除它们的组合|xf|x。xqfr这就是说，是 , 的公因式。由此可见，如果 , 有一个最大g xgr公因式，那么也就是，的最大公因式。xdxxfg16定理 2.2 对于中任意两个多项式，，在中存在一qFxxfgqFx个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多df项式，使xuv(2-4)xgvfxud证明如果，有一个为零，不妨设，那么就是一个xfg0xf最大公因式，且。1xff下面来看一般的情形。无妨再设。按照带余除法，用除

32、，0gxgf得到商，余式；如果，就再用除，得到商，xq1xr11rr1q2余式；又如果，就用除，得到商，余式；如r202x2q3r3此辗转相除下去，显然余式的次数不断降低，即 xrg21因此在有限次之后，必然有余式为零。余式我们有一串等式:，rxqf11，g22,xrxqriiii 12,rrssss 1213,xxqsss 2。011rrsss与的最大公因式是。根据前面的说明，与也就是与xrs0xxrsxrs的一个最大公因式；同样的理由，逐步推上去，就是与1 f17的一个最大公因式。xg由上面的倒数第二个等式，我们有。xrqxrsss 12再由倒数第三式，

33、 ,代入上式可消去，得到xrss 121 xrs1，gvfus这就是定理中的(2-4)式。由最大公因式的定义不难看出，如果，是与的两个最xd12xfg大公因式，那么一定有与，也就是，12|dx2| xcd21。也就是说，两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意0c义下是唯一确定的。我们知道，两个不全为零的多项式的最大公因式总是一个非零多项式。在这个情形，我们约定，用 xgf,来表示首相系数是的那个最大公因式。1定义 2.6 中两个多项式，称为互素（也称互质）的，如xFqf果有。xgf,1显然，如果两个多项式互素，那么它们出去零次多项式以外没有其他的公因式，反之

35、定理 2.4 有，xf2|h1,21f，即1，xhfx21代入上式即得，fg21这就是说，。xf21|g事实上，对于任意多个多项式，也可以定义最大公因式。i si,1设 , ,多项式称为的最大公因式，如果满xfiFqsi21xdfi xd19足:1) , 。xdfi s,.212) 如果，，那么。xi .xd在这里我们仍然用来表示首相系数为的最大公因式。ffs,21 1不难证明，的最大公因式存在，而且当不全fs,21 ,sfxf为零时， fxffxss,121就是的最大公因式。fxfs,21我们取上的两个多项式5Z324fxg易知，，的最大公因式为。fxgx2

36、.5 因式分解定理对于一个给定的多项式而言，我们对它进行因式分解的结果往往和所选取的数域有直接的关系，对于多项式而言，在有理数域上，我们得4xf到的结果是，但是在上，我们得到的结果是22xxf 2Q，而在复数域上，我们可以得到更彻底的分解结xf果。在这一节，我们将讨论有限域上的多项式的因式分解问题。定义 2.7 上次数的多项式称为上的不可约多项式，如果它qF1xpqF不能表示成上的两个次数比的次数低的多项式的乘积。从定义中我们可以看出，任意的一次多项式都是不可约多项式。从本节开始的文字中说明了，一个多项式是否不可约是依赖于所选取的系数域的。而且，不可约多项式与任一多项式的关

38、不可约多项式的乘积。所谓的唯一性是说，如果有两个qF分解式，xqxpxpxf ts 2121那么必有，并且适当排列因式的次序后有ts，，qcii s,其中是一些非零常数。sic,21证明先证分解式的存在性。我们对的次数作数学归纳法。xf因为一次多项式都是不可约的，所以时结论成立。1n假设结论对于次数低于的多项式已经成立，且。nnxf如果是不可约多项式，那么结论是显然成立的。现在设不是不xf f可约多项式，即有，xfxf21其中都是次数低于的多项式。由归纳法假定，，都可xf21, nxf1f2以分解成上一些不可约多项式的乘积。把，的分解式合起来，我们qFxf1f

39、2就得到了一个的分解式。xf由归纳法原理，结论普遍成立。21再证唯一性。设可以分解成不可约多项式的乘积xf。xpxpf s,21如果还有另一个分解式xf，qqft,21其中都是不可约多项式，于是tiq,21(2-5) xxpxpxf ts 2121我们对作数学归纳法。当时，是不可约多项式，由定义必有s f，ts且。xqpxf1现在设不可约因式的个数为时唯一性已证。s由(2-5)，，因此，必能除尽其中的一个，无xp1|qt2 1妨设， xp1|q因为也是不可约多项式，所以有xq1(2-c116)在（ 2-5）式两边消去 xq1，就有.xqcpts 212由归纳法假定，有，即

40、， tts(2-7)并且适当排列次序之后有，即，xqcxp212xqcp22(2-8) siii ,3(2-6) ，(2-7) ，(2-8)合起来即为所证，这就证明了分解的唯一性。应该指出的是，因式分解定理虽然在理论上有其基本重要性，但是它并没22有给出一个具体的分解多项式的方法。实际上，对于一般的情形，普遍可行的分解多项式的方法是不存在的。137接下来介绍标准分解式的概念。在多项式的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，xf使他们成为首项系数为 1 的多项式，再把相同的不可约因式进行合并。这时具有形为xf xpxcpf rsrr21的分解式，其中是的首项系数，是不同

41、的首项系数为 1 的不可约cxfi多项式，是正整数。这种分解式称为标准分解式。ir如果有了两个多项式的标准分解式，我们就可以直接写出两个多项式的最大公因式。多项式，的最大公因式就是那些同时在与xfgxdxf的标准分解式中出现的不可约多项式方幂的乘积，所带的方幂的指数等于xg它在与中所带的方幂中较小的一个。f最后补充一个不可约多项式的内容。首先，对于二次和三次多项式而言，若其可约，分解式中必含有一次因式，故可用有限域中的元依次检验是否为该多项式的根来判断其是否可约，此方法对于一些特征较小的有限域而言是很方便的；其次，对于有理数域而言，有任意次数的不可约多项式。对于复数域而言，不可约

42、多项式只有一次的。而对于有限域而言，它仍然具有任意次的不可约多项式，这一点将在第三章中给予证明。2.6 重因式定义 2.8 不可约多项式称为多项式的重因式，若，xpxfkxpk|f而不整除。1kpxf如果，那么根本不是的因式；如果，那么称为0f 1的单因式；如果，那么称为的重因式。xf 1kxf显然，如果的标准分解式为xf，xpcpf rsrr21那么分别是的重因式，。指数为 1 的那些不可约因式xpifiri,是单因式；指数大于 1 的那些不可约因式是重因式。23设多项式，onn axxaxf 11那么它的微商为。121f nnn 同样也可以类似的定义高

43、阶微商。一个次多项式的微商是一个次多项式；它的阶微商是一个常数；它的阶微商等于零。1n 定理 2.6 如果不可约多项式是的重因式，那么它是微xpfk1商的重因式。xfk证明:由假设，可以分解为xf，xgxfk其中不能整除。因此pg，ppfk 1这说明。如果令xk1|f。xgxgxh那么整除等式右端的第二项，但是不能整除第一项，因此不能整除p xp，从而不能整除。这说明是的重因式。 xhxkfpf1k这里要补充的一点是，定理 2.6 只是一个充分条件，而非必要条件。而下面的推论 2.2 将给出的是一个充要条件。推论 2.2 如果不可约多项式是的重因式

44、，那么是xfkxp，，的因式，但不是的因式。xffxfk1， xf推论 2.3 不可约多项式是的重因式当且仅当是与pf f的公因式。f证明的重因式显然是的因式，也就是与的公因式；xf xf xff反过来，如果的不可约因式也是的因式，它必定不是的单因式。推论 2.4 多项式没有重因式的充分必要条件是与互素。xf xff推论 2.4 表明，要判断一个多项式有没有重因式，可以通过代数运算24辗转相除法来解决。在有些时候，特别是在讨论与解方程有关的问题时，我们常常希望所考虑的多项式没有重因式。为此，以下的结果是有用的。设具有标准分解式xf。xpxcpf rsrr2

45、1根据定理 2.6，与的最大公因式必有具有标准分解式fx。srrr 1121于是。xpxcpfxs21,这是一个没有重因式的多项式，但是它与具有完全相同的不可约因f式。因此，这是一个去掉因式重数的有效办法。2.7 多元多项式除去前面的介绍的一元多项式外，还有很有多个文字的多项式，即多元多项式。现在来介绍它的概念。设是一个数域，是个文字。形式为Pnx， 21(2-9)nkkxa21的式子，其中属于，是非负整数，称为一个单项式。ank， 21如果两个多项式中相同文字的幂全一样，那么它们就称为同类项。一些多项式的和(2-10)n nkkkxa,212121 就称为元多项式，或者简称多项式。n和一元多项式一样，元多项式也可以定义相等、相加、想减、相乘。与一元多项式的情况相仿，我们有定义 2.9 所有系数在有限域中的元多项式的全体，称为有限域上qFnqF的元多项式环，记为n2

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