1、 N ME DAB C2007 第三届北方数学奥林匹克邀请赛试题及参考答案（陕西 西安）第一天2007 年 8 月 1 日 9:00 12:00一、(本题 25 分) 在锐角 ABC中， D、 E分别是 AC、 B边上的高.以 B为直径作圆交 CE于 M，在 D上取点 N使 M.证明： N 二、(本题 25 分) 设 ABC三边长分别为 ,abc，且 3c.求 224,)3fabccab的最小值.三、(本题 25 分) 在数列 n中， 207， 121na( N).求证：当 014n时，有 nan (其中 x表示不超过 x的最大整数).四、(本题 25 分) 平面上每个点被染为 种颜色之一，同
2、时满足：(1)每种颜色的点都有无穷多个，且不全在同一条直线上；(2)至少有一条直线上所有的点恰为 2 种颜色.求 n的最小值，使得存在互不同色的 4 个点共圆.第二天2007 年 8 月 2 日 8:30 11:30五、(本题 25 分) 设 ),0(,，求 A= cott2an1的最大值.N ME DCBA N ME DAB C六、(本题 25 分) 已知 xxf 3log21)lg().(1)解方程 0(xf；(2)求集合 21498)0Mnf n，Z的子集个数.七、(本题 25 分) 设 是正整数, a= (其中 x表示不超过 x的最大整数)，求同时满足下列条件的 n的最大值：(1) 不
3、是完全平方数；(2) 32n.八、(本题 25 分) 设 ABC的内切圆半径为 1，三边长 aBC, bA, cB.若 a、 b、c都是整数，求证： 为直角三角形.参考答案一、证法一：连结 DM，由 AB为直径, AC得 、 B、 、 D四点共圆 .又 AE09 ADM C 2AN, N(射影定理的逆定理)证法二：连结 BM、 E，则由射影定理，得 2AA. EN:， NB，又 ,BCD四点共圆， CE A ,AE四点共圆， 90ANCE，即 ANC.二、解： 224(,)3fabccab=abcbcac342= 9因为 ,abc是 ABC三边长，且 3abc，所以 0,2abc， 于是 33
4、3122()()()2 8bc即 7aa 319,cf .等号当且仅当 1abc时取到，故 (,)fb的最小值为 .三、证明：先考虑一般问题：设 1,021naa，求证： nan0( )2(10a)对于任何正整数 n，由递推公式知 n,由于 0121nnnaa，所以有 naa210当 为正整数时，有 )1(1)( 00110 niiniiiniin aaaanii0110)(另一方面，由于 )(0nan，且 naa210所以， 1时， 101ii ，2n时， 2101 naanii（ )2),2(100nan总之， 1nii，l334 BGSE1OHF2 P故有， 1)1(00 nanaiin
5、所有 n0.取 27a，即得本题四、解：由已知 4，若 n，在平面上取一定圆 O及上面三点 A、 B、 C，将弧AB(含 不含 )，弧 BC(含 不含 )，弧 CA(含 不含 )，分别染为 1、2、3 色，平面上其他点染为 4 色，则满足题意且不存在四个不同色的点共圆.所以 5n.当 5n时，假设不存在四个互不同色的点共圆，由条件(2)知，存在直线 l上恰有两种颜色的点(设 l上仅有颜色 1，2 的点)，再由条件(1) 知存在颜色分别为 3，4，5 的点 A、B、 C不共线，设过 A、 B、 C的圆为 O，若 O与 l有公共点，则存在四个互不同色的点共圆，矛盾；若 与 相离，过 作 l的垂线交
6、 l于 D，设 D的颜色为 1，垂线交 于点 E， S，如图，设 E的颜色为 3，考虑 l上颜色为 2 的点 F， 交 O于 ， GF， 、 、 F、 G四点共圆，由假设 G只能为 3 色，又 B， C必有一点不同于 S，设为 B， S交 l于 H， HE， ， E， D， 四点共圆， FS ， 、 、 F、 四点共圆.若 为 1 色，则 B、 、 、 G互不同色且共圆；若 为 2 色，则 、 、 、 E互不同色且共圆.综上，假设不成立，当 5n时，存在四个互不同色的点共圆.所以 n的最小值是 5.五、解： cot+ = 2tan12+ ta2= 2tan)t1)(t(tn A= cott2a
7、n1= 2tan12tanttt 2令 tan2x， tay，则 ()()(1)1xyxyxyA再令 ty，则 )1,0(t，所以 A t)(= t2= tt2)1(3)(2=3-( 1t+ 2)3-2 1)(t=3- .当且仅当 2t，即 2an=t= 1时，等号成立.所以， A= cott1的最大值是 3- 2.六、(1)解：任取 210x，则)(11xff )lg()l- )log(l12313x= 1l- 213logx=lg21- 219lo. 2121x, 2121lglx. )(11ffl21x- 219lox= 9lgl21x 9lg0, )(11ff21l- =0 )(xf为
8、 ),上的减函数，注意到 09，当 9x时， 0)9(fxf，当 9x时， 0)9(fxf， )(xf有且仅有一个根 .(2)由 )9(1824(0)19824( fnfnf 2n0972222 153471098)107(3n或 9n或 23或 9， 23,M， 的子集的个数是 4.七、解: 由(1)得 a +1 所以 a2n 2+2a+1 即2+1n 2+2令 n= +t t1,2,2 由(2)有 342at 2att再由 342t 3记 2tka 则 ak由于 ,nN ,所以 N 由于 t1,2,2 , 所以 tka2 即 ka2所以 ka=1 或 2, 4ka由于 n= 2+t, 且
9、, t2 , 所以 令 4 t=2 =8, 则 n= 2+t=16+8=24 为最大.经验证 n=24 满足(1),(2)两个条件,所以 n 的最大值 24.八、证明：设 ABC的内切圆在三边 BC、 A、 上的切点分别为 FED,，记 xA，yDBF， zE，则 2,2,2cbacabx ,都是整数， cbacb,同为偶数或同为奇数.于是， zyx,均为整数或均为奇数的一半。下面证明后者是不可能的. 1r， 2cot,t,2cotCzByA 又 11)tan(2coxyC， 1xyz若 yx,均为奇数的一半，不妨设 ),(2,2*Nnm，则 324)(nmz )1(n为偶数， 324n为奇数， z不可能是奇数的一半，矛盾。故 zyx,均为整数。不妨设 CBA，则 06，于是 cotCz，又 *Nz， 1z，即 1r四边形 DEI为正方形，其中 I为 AB的内心，即 09AB.故 为直角三角形.
