1、浦东新区 2012 年高三综合练习数学（理科）试卷 2012.05注意：1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟.一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.1函数 21yx的单调递减区间为_.2. 已知 (,3)(,)/,ababx且 则=_.3. 已知 R， i为虚数单位，且 (2)1iyi，则 xy=_.4.已知 cos5x， ,02， 则2sncoi=_5. 已知 01，则 ()x的最大值是_.6.方程 2
2、22lg(4)log3lg(6)x的解是_.7.数列 na的前 项和为 nS，若点 ,n（ *N）在函数 2log(1)yx的反函数的图像上，则 =_.8.在 5 张卡片上分别写上数字 1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5 位数，则得到能被 2 整除的 5 位数的概率为_。9.若复数 zabi（ 为虚数单位）满足 1ab，则 z在复平面内所对应的图形的面积为.10.若直线 340xym与曲线 sin2coyx（ 为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是_.11.一个正三棱柱的底面的边长为 6，侧棱长为 4，则这个棱柱的表面积为_12. 已知函数 22()()fxbaxb是
3、偶函数，则函数图像与 y轴交点的纵坐标的最大值是_13. 定义一个对应法则 f： /,0,Pmnnm.现有点 /1,3A与/3,1B点，点 /M是线段 /AB上一动点，按定义的对应法则 f： /M。当点在线段 /上从点 开始运动到点 /结束时，点 /的对应点 所经过的路线长度为_.14. 若规定集合 12,na *(N)的子集 12,miia *(N)为 的第k个子集，其中 1iiik ，则 的第 211 个子集是 .二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.15.下列命题
4、正确的是（ ）A. 三点确定一个平面； B. 三条相交直线确定一个平面；C. 对于直线 a、 b、 c，若 ,abc，则 /a ；D. 对于直线 、 、 ，若 /，则 .16 “ 3”是 “直线 230xy和直线 3(1)7xya平行”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件17.已知命题 :p“若 |ba，则 ”，则命题 p及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 18. 把一张纸片剪成 4 块，再从所得的纸片中任取若干块，每块又剪成 4 块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止.那么在下面四个数中，
5、可能是剪出的纸片块数的是（ ）A.1001 B.1002 C.1003 D.1004三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.19 （本题满分 12 分，每一问 6 分）如图，弧 AEC是半径为 r的半圆， AC为直径，点 E为弧 AC的中点，点 B和点 C为线段 D的三等分点，线段 D与弧 E交于点 G，且 D32，平面 E外一点F满足 平面 B, rF2。 证明： ； 将 CG（及其内部）绕 C所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积。20.（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 4 分，第
6、 2 小题满分 8 分.已知 aR，函数 ()|fxa.()当 2时，求使 成立的 x的集合；()求函数 ()yf在区间 12， 上的最小值.21 （本大题满分 14 分）本大题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满 8 分.已知中心在原点，顶点 A1、A2 在 x 轴上，其渐近线方程是 23yx，双曲线过点(6,)P 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求双曲线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)动直线 l经过 AP的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、N，问:是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN，证明你的结论 头htp
7、:/w.xjkygcom126t:/.j 22. （本大题满分 18 分）本大题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满 6 分，第3 小题满 8 分.已知集合 *1212,(0,N,3)nnAaaa 具有性质 P：对任意)(,jij， ji与 ij至少一个属于 A.（1 ）分别判断集合 ,4M与 3,是否具有性质 ，并说明理由；（2 ） 求证： 0；求证： naa2321 ；（3 ）研究当 4,n和 5时，集合 A中的数列 是否一定成等差数列 .23 （本大题满分 18 分）本大题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满 6 分，第3 小题满 8 分.已知
8、函数 AyDxfy,),(； )(xg1)tan7(2x，（1）当 sin为偶函数时，求 的值。（2）当 )3sin()62() f 时， )(在 A上是单调递增函数，求 的取值范围。（3）当 )sin()i()sin()( 2211 nxaxaxaxf 时， （其中iRai ,32,， 0） ，若 0ff，且函数 f的图像关于点0,对称，在 x处取得最小值，试探讨 应该满足的条件。浦东新区 2012 年高三综合练习卷数学（理科）答案及评分细则 2012.05注意：1答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟
9、.一、填空题（本大题满分 56 分）本大题共有 14 题，考生应在答题纸编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分.注：答案只要等价即得分1函数 21yx的单调递减区间为_.【答案】 (,或 (,)都对.2. 已知 3)4/,ababx且 则=_.【答案】63. 已知 ,xyR， i为虚数单位，且 (2)1iyi，则 xy=_.【答案】4【解析】由 1,2有 4xy 4.已知 3cos5x， ,0， 则2sinco1ix=_【答案】 725. 已知 01x，则 ()x的最大值是_.【答案】6.方程 222log(4)log()3log(6)x的解是_.【答案】 x7.在
10、5 张卡片上分别写上数字 1，2，3，4，5，然后把它们混合，再任意排成一行，组成5 位数，则得到能被 2 整除的 5 位数的概率为_.【答案】0.48.数列 na的前 项和为 nS，若点 (,)n（ *N）在函数 2log(1)yx的反函数的图像上，则 =_.【答案】 129.若复数 zbi（ 为虚数单位）满足 1ab，则 z在复平面内所对应的图形的面积为.【答案】210.若直线 340xym与曲线 sin2co1yx（ 为参数）没有公共点，则实数的取值范围是_.【答案】 1或 .11.一个正三棱柱的底面的边长为 6，侧棱长为 4，则这个棱柱的表面积为_【答案】 7283.12. 已知函数
11、22()()fxbaxb是偶函数，则函数图像与 y轴交点的纵坐标的最大值是_【答案】4 13. 定义一个对应法则 f： /,0,Pmnnm.现有点 /1,3A与/3,1B点，点 /M是线段 /AB上一动点，按定义的对应法则 f： /M。当点在线段 /上从点 开始运动到点 /结束时，点 /的对应点 所经过的路线长度为_.【答案】 314. 若规定集合 12,na *(N)的子集 12,miia *(N)为 的第k个子集，其中 1iiik ，则 M的第 211 个子集是 【答案】 12578,二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上
12、，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分.15.下列命题正确的是（ ）A. 三点确定一个平面； B. 三条相交直线确定一个平面；C. 对于直线 a、 b、 c，若 ,abc，则 /a ；D. 对于直线 、 、 ，若 /，则 .【答案】D16 “ 3”是 “直线 230xy和直线 3(1)7xya平行”的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件【答案】C17.已知命题 :p“若 |ba，则 ”，则命题 p及其逆命题、否命题、逆否命题中，正确命题的个数是（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】B18. 把一张纸片剪成 4 块，再从所
13、得的纸片中任取若干块，每块又剪成 4 块，像这样依次地进行下去，到剪完某一次为止.那么在下面四个数中，可能是剪出的纸片块数的是（ ）A.1001 B.1002 C.1003 D.1004【答案】C三、解答题（本大题满分 74 分）本大题共有 5 题，解答下列各题必须在答题纸相应编号规定的区域内写出必要的步骤.注：本答案只给出了一种解法，其他解法相应给分19 （本题满分 12 分，每一问 6 分）如图，弧 AEC是半径为 r的半圆， AC为直径，点 E为弧 AC的中点，点 B和点 C为线段 D的三等分点，线段 D与弧 E交于点 G，且 D32，平面 E外一点F满足 平面 B, rF2。 证明：
14、； 将 CG（及其内部）绕 C所在直线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积。【解答】 证明： A为直径，点 E为弧A的中点，2BE，即 D。2 分又 FC平面 , B平面 ，由 EADEB平面 F，4 分又 F平面 ，。6 分 如图所示，建立空间直角坐标系，则相关点的坐标为 0,C， 0,rB，0,rE， ,r，7 分设 yxG 则由 GDE32，得 ryx51,3,513r，9 分则 2222 50rrC，由题设知，所得几何体为圆锥，其底面积为225G，高为 FC。11 分所以该圆锥的体积为 32154531rrV。12 分20.（本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分
15、 4 分，第 2 小题满分 8 分.已知 aR，函数 ()|fxa.()当 2a时，求使 ()fx成立的 x的集合；()求函数 y在区间 12， 上的最小值.【解答】 （）由题意， ()f. 1 分当 2x时， fxx，解得 0,1； 2 分当 时， ()2)，解得 3). 3 分综上，所求解集为 0,13,4 分（）当 a时，在区间 ， 上，22()()4afxx，其图像是开口向上的抛物线，对称轴是 2x， 1a， ， min()()fxfa6 分 当 12a时，在区间1,2 上， ()|0fxa， min()0fx8 分当 时，在区间1,2上，22(4，其图像是开口向下的抛物线，对称轴是
16、2x，1当 3()a即 ()a时， min()(2)4fxfa10 分2当 即 时， in1ff综上， min1102()43afx12 分21 （本大题满分 14 分）本大题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满 8 分.已知中心在原点，顶点 A1、A2 在 x 轴上，其渐近线方程是 3yx，双曲线过点(6,)P 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (1)求双曲线方程 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j (2)动直线 l经过 AP的重心 G，与双曲线交于不同的两点 M、N，问 头htp:/w.xjkygcom126t126.hp:/wxjkyg
17、co 是否存在直线 l,使 G 平分线段 MN，证明你的结论 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 【解答】 (1)如图，设双曲线方程为 2ba=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 1 分 由已知得2613ab3 分解得291b 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 5 分 所以所求双曲线方程为 12y=1 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 6 分(2)P、A 1、A 2 的坐标依次为(6,6)、(3，0)、( 3，0） ，其重心 G 的坐标为(2，2） 8 分假设存在直线 l，使 G(2，2)平分线段 MN，设 M(x1,y1)，N(
18、x 2,y2) 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 则有2 121249084, 93xyyx，k l= 10 分l 的方程为 y= 3(x2)+2,12 分由 )2(41089x,消去 y,整理得 x24x +28=0 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j =164280,所求直线 l不存在 头htp:/w.xjkygcom126t:/.j 14 分22. （本大题满分 18 分）本大题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满 6 分，第3 小题满 8 分.已知集合 *1212,(0,N,3)nnAaaa 具有性质 P：对任意)(,jij， ji与
19、 ij至少一个属于 A，（1 ）分别判断集合 ,4M与 3,是否具有性质 ，并说明理由；（2 ） 求证： 0；求证： naa2321 ；（3 ）研究当 4,n和 5时，集合 A中的数列 是否一定成等差数列？解：（1）对于集合 ：0,04,20,4.A集合 M具有 P 2 分对于集合 N：24,A，集合 不具性质 4 分（2 ） 1,0,nnnaa 6 分A1 A2M NGPoy x 120,naa 11n na。,i niA 。1n， 21321,.n na2a10 分（3 ） 当 3时，集合 A中元素 321,a一定成等差数列证明：当 n时， 0 332310a 31,0.aaA32322A
20、,即 3，又 10， 213a故 123,a成等差数列13 分当 4n时，集合 中元素 321,a不一定成等差数列 14 分如 A中 0,1,2,3 组成等差数列； A中 0,2,3,5 不组成等差数列15 分当 5时， 12345,a成等差数列证明：当 时， 123450,55455210 .aaa123432,又 4345A234320aaaa。12345,成等差数列18 分23 （本大题满分 18 分）本大题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满 6 分，第3 小题满 8 分.已知函数 AyDxfy,),(； )(xg1)tan7(2x，（1）当 sin为偶函数时，求
21、 的值。（2）当 )3sin()62() f 时， )(在 A上是单调递增函数，求 的取值范围。（3）当 )sin()i()sin()( 2211 nxaxaxaxf 时， （其中iRai ,32,， 0） ，若 0ff，且函数 f的图像关于点0,对称，在 x处取得最小值，试探讨 应该满足的条件。解：（1）因为函数 )sin()xf为偶函数，所以 )sin()si(xx， 2 分0cosin2x， cs，所以 k， Z 4 分（2） )32sin()62si() xxf x2cossin 6 分7,in71，其中 73,7i11，所以 7,A， 8 分)(xg)tan74(2x22tan8ta
22、n由题意可知： 7， 1，所以 21arct2kxk， Zk 10 分（3） )sin()sin()sin()( 211 nxaxf oci1a co22innnxxxasi)csos(21 noiii21 12 分因为 0022ff，所以 0coscss21 naa 与insinsi21 aa不能同时成立，不妨设mcoco， nniiin21 ，所以 )s(si)( 2xxmxf ，其中 02m；由 的图像关于点 0,2对称，在 处取得最小值， 4)3(T，Nn, )34(， 所以， 34n， N 14 分由 )(xf的图像关于点 0,2对称知道 0)2si(， Zk,2，Zkn,342， Zk,3 ，又因为 )(xf在 处取得最小值，所以 1)si(， 11,2，所以 Nk, 16 分由可知， 34n， 。 18 分
