1、 2015 年 复旦附中自招 数学 试卷填空 A 1、若 22x ab y a b ， ，则 22x y x y （ ） （ ） _ 2、 12 3xx，求 12xx、 的方差 _ 3、从 1,4,7 295,298（隔 3 的自然数）中任选两个数相加，和的不同值有 _个 4、解方程： 2 12 2xx x 5、2 8 15231xxxx的解有 _个。 6、3 7 53 1 (1 2 ) 8mx mxmx x m x 有 正 数解，求 m的取值范围 _ 7、 2 10 4y x x m 与 x轴两个交点在 x的正半轴，求 m的取值范围。 8、 4 9 52 3 5x y xzz 时，求 xy
2、的值 9、矩形 ABCD中， 3AB BC ，将矩形折叠，点 B落在边 AD上的点 M 处，C落在 N 处，求 EC FBAM EBAD CFMN填空 B 1、 扫雷游戏 2、已知不等式： 2 1y x px 求能使 xy 最大值为 2 的负实数 p的取值范围。 3、如图所示，直线 l经过点 P，且垂直于 AB，当长方形 AOBP的周长为 20 时，请求出无论图形如何变化， l始终经过的定点坐标 _。 4、在反比例函数 ky x 上存在点 C，以点 C为圆心， 1 为半径画圆，圆上存在两点到 O点距离为 2，则 k的取值范围 _ 5、已知直线 MA NB、 均与线段 MN 为直径的半圆相切，直
3、线 AB与半圆相切于点 F ， P在线段 MN 上且 PF MN ，当直线 AB变化时，求 +PA PBAB 的最大值 6、在 1,2,3 ,39,40 数列中能找出 _对数字使它们的差的绝对值为质数。 yxPA BO5 1 3 1 1 解答题： 1、 已知在 BAC 的内部存在一点 M ，在不画出 A点的情况下过 M 点作一条直线，使它经过 A点。 2、设 12xx、 为 2 20x px p 的两根， p为实数 求证： 2122 3 0px x p 当 1223x x p 时，求 p的最大值 3、实数 12 na a a、 满足： 12 =0na a a 12 1na a a 求证： k个
4、数 1 2 3kn（ ， ， ， ） ， 12 12ka a a 4 、锐角 ABC 中， AD BE CF， ， 分别为BC AC AB， ， 边上的高，设 BC a ， AC b ，AB c ， BD x ， EC y ， AF z 用 a b c、 、 表示 x 当 a b c、 、 满 足 什 么 关 系 时 ， 有2( )x y z a b c MEFDB CA（2）2015 年 复旦附中自招 数学 试卷一、 填空： 1. 已知实数 x， y， z满足 4xy， | 1| 2 9z xy y ，则 32x y z 。 2. 抛物线 2y ax bx c 与 x轴交于 A、 B两点，与
5、 y 轴交于点 C，若 ABC 是直角三角形，则 ac的值等于 。 3. 如图 ABC 是直角三角形， 1S ， 2S ， 3S为正方形，已知 a， b， c分别是 1S ， 2S ，3S 的边长，则 a， b， c满足的关系式为 。 4. 若满足关于 x的不等式组1252xxxa 或的整数解只有 2 一个，则实数 a的取值范围为 。 5. 已知关于 x的方程 21 2 1 0a x x a 的根都是整数，则满足条件的整数 a的值为 。 6. 如图，在 Rt ABC 中， 3AC ， 4BC ，点 D为斜边 AB上的一个动点，过 D作 DE BC ， DF AC ，垂足分别为 E 、F ，则线
6、段 EF 长度的最小值为 。 7. 从 1到 100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于 100，则可有 种不同的取法。 8. 已知 1x ， 2x ， 3x ， nx 中每一个数值只能取 2 ， 0，1中的一个，且满足 12 17nx x x ， 2 2 212 37nx x x ，则3 3 312 =nx x x 。 S3S2S1CA BFEDA CB12B CA9. 如图，半径分别为 1和 2的两个圆外切，且两圆与等腰三角形 ABC 的两腰 AB和 AC 都相切，则 ABC 的面积为 。 10. 如图， ABCDE是正五边形，已知 1AG ，则FG JH CD 。 二、 解答题： 11. 如图， ABC 内接于圆 O， AB BC ， AO BC ，垂足为 D。 求证： ABC 是等边三角形； 若 1AB ， P是劣弧 BC上的动点（点 P与 B 、 C不重合）， PA交 BC于点 E ，设 AE x ， EP y ，求 y关于 x的函数关系式，并写出自变量 x 取值范围； 在的前提下，令 PAC ， APC ，当 y 取何值时， 22sin sin 1。 12. 定义 x 表示不超过 x的最大整数，如 2.3 2 ， 0.4 1 。 若 04x，解方程： 2 20x x x ； 求所有的实数 x，使得 3 43xx 。 ED CBOAPJIHGF BCDEA
