1、1离散数学图论部分综合练习辅导图论作为离散数学的一部分，主要介绍图论的基本概念、理论与方法。教学内容主要有图的基本概念与结论、图的连通性与连通度、图的矩阵表示、最短路问题、欧拉图与汉密尔顿图、平面图、对偶图与着色、树与生成树、根树及其应用等。本次综合练习主要是复习这一部分的主要概念与计算方法，与集合论一样，也安排了五种类型，有单项选择题、填空题，判断说明题、计算题、证明题。这样的安排也是为了让同学们熟悉期末考试的题型，能够较好地完成这一部分主要内容的学习。下面分别讲解。一、单项选择题1设图 G 的邻接矩阵为 010010则 G 的边数为( )A5 B6 C3 D4正确答案：D上学期的作业中，有
2、的同学选择答案 B。主要是对邻接矩阵的概念理解不到位。我们复习定义：定义3.3.1 设G=是一个简单图，其中V =v1， v2， ， vn，则 n阶方阵A（G ）=（a ij）称为G的邻接矩阵其中各元素 jivajiij 不 相 邻 或与 相 邻与01而当给定的简单图是无向图时，邻接矩阵为对称的即当结点v i与v j相邻时，结点v j与v i也相邻，所以连接结点 vi与v j的一条边在 邻接矩阵的第i 行第j列处和第j行第i 列处各有一个1，题中给出的邻接矩阵中共有 8个1，故有82=4 条边。2设图 G，则下列结论成立的是 ( )Adeg(V)=2E Bdeg(V )=EC Dvv2)deg
3、( vvdeg正确答案：C该题主要是检查大家对握手定理掌握的情况。复习握手定理：定理 3.1.1 设 G 是一个图，其结点集合为 V，边集合为 E，则Vv|2)deg(3图 G 如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ca bedf2A(a, d)是割边B( a, d)是边割集C( d, e)是边割集D(a, d) ,( a, c)是边割集正确答案：C上学期许多同学选择答案 A。主要是对割边、边割集的概念理解不到位。复习割边、边割集的定义：定义 3.2.9 设无向图 G=为连通图，若有边集 E1E，使图 G 删除了E1 的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了 E1 的任何真子集后，所得的子图
4、是连通图，则称 E1 是 G 的一个边割集若某个边构成一个边割集，则称该边为割边（或桥）如果答案 A 正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不连通图，但事实上它还是连通的。因此答案 A 是错误的。4设 G 是连通平面图，有 v 个结点，e 条边，r 个面，则 r= ( )Aev2 Bv e2 Cev2 De v2正确答案：A该题主要是检查大家对平面图的欧拉定理的理解情况。定理4.3.2（欧拉定理） 设连通平面图G的结点数为 v，边数为e，面数为r，则下列欧拉公式成立v-e+r =25无向图 G 存在欧拉通路，当且仅当( )AG 中所有结点的度数全为偶数 BG 中至多有两个奇数度结点CG 连通
5、且所有结点的度数全为偶数DG 连通且至多有两个奇数度结点正确答案：D上学期许多同学选择答案 C。主要是将题中的“欧拉通路”误认为“欧拉回路”了。其实应该运用定理 4.1.1 进行选择，才是正确的。复习定义和定理：定义4.1.1 给定无孤立结点图G，若存在一条路经过图 G的每条边一次且仅一次，则该路称为欧拉路；若存在一条回路经过图G的每条边一次且仅一次，在该回路称为欧拉回路；定理 4.1.1 无向图 G 具有一条欧拉路，当且仅当 G 是连通的，且有零个或 2 个奇数度数的结点推论 一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的3结点度数都是偶数所以，正确答案应该是 D6设 G 是有
6、n 个结点，m 条边的连通图，必须删去 G 的( )条边，才能确定 G 的一棵生成树A B C D1n1mn1nm正确答案：A上学期许多同学选择答案 D。主要是把定理 5.1.1 给出的图 T 为树的等价定义之一是图 T 连通且 e=v-1 中的公式用错了大家只要把 m 代入公式 e=v-1中的 e，把 n 代入公式 e=v-1 中的 v，可以知道答案 A 是正确。定理5.1.1 给定图T ，则以下关于图 T为树的定义等价（1）无回路的连通图（2）无回路且e=v-1，其中e是边数，v 是顶点数（3）连通且e=v-1（4）无回路，但增加任一新边，得到且仅得到一个回路（5）连通，但删去任一边后图便
7、不连通（v2）（6）每一对顶点之间有且仅有一条路（v2）定理 5.1.1 的六个等价定义，大家应该熟记的最主要的是：无向简单图 G 是棵树，当且仅当 G 连通且边数比结点数少 1二、填空题1已知图 G 中有 1 个 1 度结点，2 个 2 度结点， 3 个 3 度结点，4 个 4 度结点，则 G 的边数是 应该填写：15主要检查大家对握手定理掌握的情况。定理 3.1.1（握手定理） 设 G 是一个图，其结点集合为 V，边集合为 E，则 VvE|2)deg(因为图 G 中有 1 个 1 度结点，2 个 2 度结点，3 个 3 度结点，4 个 4 度结点，即 ，所以边数有 。Vv 043)deg(
8、 152/0问：若无向树 T 中有 8 个结点， 4 度，3 度，2 度的分支点各一个，那么 T 的树叶数为多少？2设给定图 G(如右图所示)，则图 G 的点割集是应该填写：f ，c，e 上学期许多同学填错答案主要对点割集的概念理解不正确。定义3.2.7 设无向图G=为连通图，若有点集V 1V，使图G删除了V 1ca be df4的所有结点后，所得的子图是不连通图，而删除了V 1的任何真子集后，所得的子图是连通图，则称V 1是G的一个点割集若某个结点构成一个点割集，则称该结点为割点上学期许多同学填写的f ，c，主要是没有完全理解定义 3.2.7，因为f 是f，c的真子集，而删除 f后，图是不连
9、通的。3设无向图 G是汉密尔顿图，则 V 的任意非空子集 V1，都有 V1应该填写：W( G- V1)因为具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图而由定理4.2.1 若图G=中具有一条汉密尔顿回路，则对于结点集 V的每个非空子集S均有W( G-S) |S|成立，其中W (G-S)是（G-S）中连通分支数因此应该填写：W( G- V1)4设有向图 D 为欧拉图，则图 D 中每个结点的入度 应该填写：等于出度如果大家记住“具有欧拉回路的图称为欧拉图”和定理 4.1.2：一个有向图具有单向欧拉回路，当且仅当它是连通的，且每个结点的入度等于出度大家一定能填写出正确答案的。5设完全图 K 有 n 个结点(n2
10、)，m 条边，当 时，K 中存在欧n拉回路应该填写：n 为奇数上学期许多同学填错答案主要对完全图的概念理解不正确。定义 3.1.6 简单图 G=中，若每一对结点间都有边相连，则称该图为完全图有 n 个结点的无向完全图记为 Kn由定义可知，完全图 Kn 中的任一结点 v 到其它结点都有一条边，共有 n-1条边，即每个结点的度数是 n-1，当 n 为奇数时，n-1 为偶数。由定理 4.1.1 的推论可知，应该填写：n 为奇数。6给定一个序列集合1， 01，10，11，001，000，若去掉其中的元素 ，则该序列集合构成前缀码应该填写：1因为在二进制中1是10和11的前缀。而前缀码的定义是（定义5.
11、2.10）：给定一个序列集合，若没有一个序列是另一个序列的前缀，该序列集合称为前缀码填写该题答案时大家一定要对前缀码的定义理解非常清楚。问：若把序列集合中的 1 换成 0，应该去掉哪个元素？三、判断说明题1给定两个图 G1，G 2（如下图所示）：（1）试判断它们是否为欧拉图、汉密尔顿图？并说明理由5（2）若是欧拉图，请写出一条欧拉回路分析：先复习欧拉图的判别定理和汉密尔顿图的定义：定理 4.1.1 的推论：一个无向图具有一条欧拉回路，当且仅当该图是连通的，并且它的结点度数都是偶数定义 4.2.1：若存在一条回路经过图 G 的每个结点一次且仅一次，则该回路称为汉密尔顿回路；具有汉密尔顿回路的图称
12、为汉密尔顿图解：（1）图 G1 是欧拉图因为图 G1 中每个结点的度数都是偶数图G 2是汉密尔顿图因为图 G2 存在一条汉密尔顿回路（不惟一）：a(a, b)b(b, e) e(e, f) f (f, g) g(g, d) d(d, c) c(c, a)a问题：请大家想一想，为什么图 G1 不是汉密尔顿图，图 G2 不是欧拉图。（2）图 G1 的欧拉回路为：（不惟一）：v1(v1, v2) v2 (v2, v3) v3 (v3, v4) v4 (v4, v5)v5 (v5, v2) v2 (v2, v6)v6 (v6, v4) v4 (v4, v1)v1（上学期的学生在书写欧拉回路时不规范，大
13、家要按照正确的方法写法。）2判别图 G(如右图所示)是不是平面图，并说明理由分析：平面图的定义是定义4.3.1 设G=是一个无向图，如果能把G的所有结点与边画在平面上，并且使得任何两条边除端点外没有其他的交点，则称G是一个平面图（也称可平面图）显然平面图的边与边只在结点处相交解：图 G 是平面图因为只要把结点 v2 与 v6 的连线 (v2, v6)拽到结点 v1 的外面，把把结点 v3 与 v6 的连线(v3, v6)拽到结点 v4, v5 的外面，就得到一个平面图注意：定理4.3.3 设G是一个有v个结点e 条边的连通简单平面图，若v 3，则e3v -6会用于判断不是平面图。四、计算题v1
14、 v2v3v4v5v6v5v1 v2v4v6v3v5v1 v2v4v6v361设图 GV，E，其中 Va1, a2, a3, a4, a5,Ea1, a2，a 2, a4，a 3, a1，a 4, a5，a 5, a2（1）试给出 G 的图形表示；（2）求 G 的邻接矩阵；（3）判断图 G 是强连通图、单侧连通图还是弱连通图？解：（1）图 G 是有向图： （2）邻接矩阵如下： ,010010)(DA（3）图 G 是单侧连通图，也是弱连通图 关于强连通图、单侧连通图还是弱连通图的判断，希望大家掌握图论综合作业单项选择题中的第 4 题。2图 G=，其中 V=a, b, c, d, e, f ，E=
15、(a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (d, e), (d, f), (e, f)，对应边的权值依次为 5，2，1，2，6，1，9，3 及8（1）画出 G 的图形；（2）写出 G 的邻接矩阵；（3）求出 G 权最小的生成树及其权值解：（1）因为 V=a, b, c, d, e, f E=(a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (d, e), (d, f), (e, f)， 权值依次为 5，2，1，2，6，1，9，3 及 8所以，G 的图形如右图所示：（2）分析：定义3.3.1 设G
16、=是一个简单图，其中V =v1，v 2，v n，则n阶方阵A( G)=(aij)称为G 的邻接矩阵其中.01jivjiij 不 相 邻 或与 相 邻与邻接矩阵： 0101010（3）用避圈法： 第 1 步：选(a, e )和(c, e)边；第 2 步：选(b, d) 边；（为什么不选(a, c )？） a1a2 a3a4 a5 ca bedf152 261938 ca bedf152 2619387第 3 步：选(d, f) 边；第 4 步：选(a, b) 边这样，得到了最小的生成树，如右图中粗线所示最小的生成树的权为 1+1+5+2+3=12 上学期作业中的最小的生成树求的不对，主要是没有把
17、握“取权数最小的边，且与前面取到的边不构成圈”，常常是只注意取权数最小的边了，而忽略“不构成圈”的要求。问：如果结点集是 V=a, b, c, d, e ，边集 E= (a, b), (a, c), (a, e), (b, d), (b, e), (c, e), (d, e) ，对应边的权值依次为 5，2，1，2，6，1，9，那么会求吗？3设有一组权为 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,试（1）画出相应的最优二叉树；（2）计算它们的权值解：（1）最优二叉树如右图所示：方法（Huffman）：从 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31 中选 2,3 为最
18、低层结点，并从权数中删去，再添上他们的和数，即5,5,7,11,13,17,19,23,29,31；再从 5,5,7,11,13,17,19,23,29,31 中选5,5 为倒数第 2 层结点，并从上述数列中删去，再添上他们的和数，即 7,10,11,13,17,19,23,29,31；然后，从 7,10,11,13,17,19,23,29,31 中选 7,10 和 11,13 为倒数第 3 层结点，并从上述数列中删去，再添上他们的和数，即 17,17,24,19,23,29,31；（2）权值为：26+36+55+74+114+134+173+193+233+293+312=12+18+25+
19、28+44+52+51+57+69+87+62=505讲评：作业中最优二叉树都画对了，但计算总权值时把有些权的层数计算错了，导致总权值计算错误。问：如果一组权为 2,3,6,9,13,15,能否画出最优二叉树？五、证明题证明题上学期的学生做的很不好，原因是他们对证明题方法没有掌握，也是对一些概念不清楚所造成的。因此，希望大家认真学习教材和老师讲课中的证明方法，并通过作业逐步掌握做证明题的方法。1若无向图 G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定是连通的证明：用反证法设 G 中的两个奇数度结点分别为 u 和 v假设 u 和 v 不连通，即它们之间无任何通路，则 G 至少有两个连通分支 G1，G
20、 2，且 u 和 v 分别属于 G1 和 G2，于是 G1 和 G2 各含有一个奇数度结点这与定理 3.1.2 的推论 327 1355111734160291023194217 24 533195658矛盾因而 u 和 v 一定是连通的2设 G 是一个 n 阶无向简单图，n 是大于等于 2 的奇数证明图 G 与它的补图 中的奇数度顶点个数相等证明：设 ， 则 是由 n 阶无向完全图 的边删,VE,E nK去 E 所得到的所以对于任意结点 ，u 在 G 和 中的度数之和等于 u 在V中的度数由于 n 是大于等于 2 的奇数，从而 的每个结点都是偶数度的nK nK（ 度），于是若 在 G 中是奇数度结点，则它在 中也是奇数度1 (2)u结点故图 G 与它的补图 中的奇数度结点个数相等3设连通图 G 有 k 个奇数度的结点，证明在图 G 中至少要添加 条边才2k能使其成为欧拉图证明：由定理 3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知 k 是偶数又根据定理 4.1.1 的推论，图 G 是欧拉图的充分必要条件是图 G 不含奇数度结点因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图 G 的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图故最少要加 条边到图 G 才能使其成为欧拉图。2k
