1、 Born to win11999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题，每小题 3分，满分15分。把正确答案填写在题中横线上。)(1) 201limtanxx(2) 2s()dd(3) 的通解为 “4xyey(4) 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的 个特征值是 n(5) 设两两相互独立的三事件A, B 和C 满足条件： 1,()(),2PB9(),16PABC则 ()P二、选择题(本题共5小题，每小题 3分，满分15分。每小题给出得四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在提后的括号内。)(1)设 是连续函数， 是 的原函数，则 ( )fx(
2、)Fxf(A) 当 是奇函数时， 必是偶函数。(B) 当 是偶函数时， 必是奇函数。(C) 当 是周期函数时， 必是周期函数。)f()(D) 当 是单调增函数时， 必是单调增函数。(xx(2)设 其中 是有界函数，则 在 处 ( ) 21cos,0)()fg()g()fx0(A)极限不存在 (B)极限存在，但不连续(C)连续，但不可导 (D)可导(3) 设 其中011,02(),()cos,2, nxaf Sxx则 等于 ( )10()cos,(,),nafxnd 52S(A) (B) (C) (D)2123434(4)设A 是 矩阵， B 是 矩阵，则mnnm(A)当 时，必有行列式 (B)
3、当 时，必有行列式A0nAB0(C)当 时，必有行列式 (D)当 时，必有行列式mBorn to win2(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布N 和N ，则(0,1)(,)(A) (B) 10.2PYPX+Y.2(C) (D) - -三、(本题满分5分)设 ， 是由方程 和 =0所确定的函数，其中 和()yx()z()zxfy(,)Fxzf分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 。Fdz四、(本题满分5分)求 其中a,b 为正常数， L 为从点Asin()cosx xLIeybdey沿曲线 到点O 的弧.2a,02=-a0,五、 (本题满分6分)设函数 二阶可导，且 ，
4、.过曲线 上任意一点yxyx01yyx作该曲线的切线及 轴的垂线，上述两直线与 轴所围成的三角形的面积记为 ，区,P xx1S间 上以 为曲边的曲边梯形面积记为 ，并设 恒为 1，求此曲线02S12S的方程.yx六、(本题满分6分)试证：当 时，0221ln.xx七、(本题满分6分)为清除井底的污泥，用缆绳将抓斗放入井底，抓起污泥后提出井口见图，已知井深 30m,抓斗自重 , 缆绳每米重 ，抓斗抓3m40N50N起的污泥重 ，提升速度为 ,在提升过程中，污泥以20N3/s2/s的速度从抓斗缝隙中漏掉，现将抓起污泥的抓斗提升至井口，问克服重力需作多少焦耳的功？(说明： 其中 分别表示1;J,ms
5、J米，牛顿，秒，焦耳；抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)八、(本题满分7分)设S 为椭球面 的上半部分，点P S,为S 在点P 处的切平面，221xyz(,)xyz为点O 到平面 的距离，求(,)xyz(0,) .,Sd九、(本题满分7分)Born to win3设 40tan,nxd(1) 求 的值；21n(2) 试证：对任意的常数0, 级数 收敛1na十、(本题满分8分)设矩阵 其行列式 又A 的伴随矩阵 有一个特征值 ，属153,0acAb,*0于 的一个特征向量为 求 和 的值.0(,),T,abc0十一、(本题满分6分)设A 为m 阶实对称矩阵且正定， B为m n实矩阵，
6、 为B的转置矩阵，试证： 为正T TBA定矩阵的充分必要条件是B的秩 .r十二、(本题满分8分)设随机变量X 与Y 相互独立，下表列出了二维随机变量 联合分布律及关于X 和关,Y于Y 的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入表中的空白处.YX 1y2y3yiiPxp1x 1828jjPYyp161十三、(本题满分6分)设总体X 的概率密度为 36(),0(), xxf其 他是取自总体X 的简单随机样本.12,n(1) 求的矩估计量 (2) 求 的方差.DBorn to win41999 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题，每小题 3分，满分15分.把正确答案
7、填写在题中横线上.)(1)【答案】 1.3【分析】利用 的等价变换和洛必达法则求函数极限.0x【详解】方法1： 22 30001tantanlimlitlimtaxx x:20sec1li3x洛 20li3x 201tlix方法2： 2 201cossncoslililitaniixxx3 200sisilml3xx:洛 0in1lm3x(2)【答案】 2in【分析】欲求 ，唯一的办法是作变换，使含有 中的 “转移”到 之外(,)badxt (,)xt【详解】令 ，则 ，所以有udu0220sin()sinxxtd220sinsixdu(3)【答案】 其中 为任意常数 .221,4xxyCee
8、12,C【分析】先求出对应齐次方程的通解，再求出原方程的一个特解.【详解】原方程对应齐次方程 的特征方程为： 解得 ，故“0y240,12,的通解为“40y21,xxe由于非齐次项为 因此原方程的特解可设为 代入原方程可求得(),f *2,xyAe，故所求通解为1A*22114xxyC(4)【详解】因为Born to win5(对应元素相减) EA1.1.两边取行列式， 1.1.EA 1.2.n把 第 ， ， 列加 到 第 列1.1()n提 取 第 列的 公 因 子 1.103()nn行 行行 行行 行-1()n令 ，得 ，故矩阵A的n个特征值0EA12(0(1)n重 )， 重是n和0( 重)
9、(-(5)【答案】 14【详解】根据加法公式有 ()()()()()()PABCPBCAPBCPAB因为 ，设)Ap由于 两两相互独立，所以有,，2()()p，PA，BC又由于 ，因此有()(0,PABC所以 () )()()()PABPCAB22pp23p又 ，从而 ，则有9()16PABC9()16293016p，解得 230p314p或Born to win6因 ，故 ，即1()()2PABCp41()4PA二、选择题(1)【答案】( A )【详解】应用函数定义判定函数的奇偶性、周期性和单调性.的原函数 可以表示为 于是fx()Fx0()(),xFftdC00( .utxftdCfu当
10、为奇函数时， ，从而有)f()(00( )()xxFfftdFx即 F(x)为偶函数 . 故(A)为正确选项.(B)、(C)、(D)可分别举反例如下：是偶函数，但其原函数 不是奇函数，可排除(B)；2()f31()x是周期函数，但其原函数 不是周期函数，可排除(C) ；cosx sin24Fx在区间 内是单调增函数，但其原函数 在区间 内()f(,)21()x(,)非单调增函数，可排除(D).(2)【答案】( D )【详解】由于可导必连续，连续则极限必存在，可以从函数可导性入手.因为 20001()1cos()limlilim,xxxff 2000()lilili(),xxxfgf 从而， 存
11、在，且 ，故正确选项为(D).()()(3)【答案】( C )【详解】由题设知，应先将 从0,1)作偶延拓，使之成为区间 1,1上的偶函数，然后再作()fx周期(周期2) 延拓，进一步展开为傅里叶级数， Born to win7511()(2)()(2SS而 是 的间断点，按狄利克雷定理有，12xf1(0)()32) .4fS(4)【答案】B 【详解】方法1： 是 矩阵， 是 矩阵，则 是 阶方阵，因AmnBmAB.()i(),in,rr当 时，有 . ( 的系数矩阵的秩小于未知()r)0x数的个数)，故有行列式 ，故应选(B).0A方法 2： 是 矩阵, 当 时, 则 (系数矩阵的秩小于未知
12、数的个数) ，方程BnnBn组 必有非零解，即存在 ，使得 ，两边左乘 ，得 ，即0x0x0xA0Bx有非零解，从而 ，故选(B).A方法 3：用排除法(A) ，取 ， ，(A) 不成立mn1,0,mnnmB0AB0(C) ，取 ， ，(C) 不成立,1nnA(D) ，取 ， ，(D) 不成立，故选(B).n10,mnnmBA1B(5)【答案】B【详解】 根据正态分布的性质：服从正态分布的独立随机变量的线性组合仍服从正态分布. 因 相互独立，且 ， ，所以XY和 (0,1)XN(,)Y, 211(Tu2Tu其中 ， ， ，()uE)D2()EX()DXY由期望的性质： ，1( 012)Y由独立
13、随机变量方差的性质： 1()12TBorn to win82()12DTXYD所以 ，1(1,)TXYN(1,2N(一般来说遇到正态分布的小题，主要就考两点，标准化和对称性，考虑问题也是从这两点出发)A选项： 因0.2P1(1,2)TXY由标准化的定义：若 ，则(,)Nu0,uN所以， ，将其标准化有1(0,)2XY:10122XYXYPP(保证变换过程中概率不变，所以不等号的左边怎么变，右边也同样的变化)又因为标准正态分布图像是关于 轴对称，所以y，而 ，所以A错.102Y122YB选项： .PX将其标准化有： (根据标准正态分布的对称性)11022YXYP故B正确.C选项： 0.PX将其标
14、准化有： ，故C错.(1)()1222YXYPD选项： .将其标准化有： ，故D错.(1)()1P 222XYY三【详解】分别在 和 的两端对 求导数，得()zxfy(,)0FxzxBorn to win9(,)1(,)0xyzdzdyfxfxF整理后得 (,)(,)(,)yzxdffyfxFx 解此方程组，得 (),(0)1yxyzyzyzfffxfFdz ffxF四【详解】方法1：凑成闭合曲线，应用格林公式.添加从点 沿 到点 的有向直(0,)Oy2a,0A线段 , 如图，则1L1sin()cosx xIebdeyd1Lya利用格林公式，前一积分 21 ()()DDQPIdxbdxyby其
15、中D为 +L所围成的半圆域，后一积分选择 为参数，得 :1 1L,02,xay可直接积分 ，故 220()Ibd 2312.Iab方法2：将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，余下的积分利用曲线的参数方程计算. sin()cosx xLIeybdeyadcs()xLbxBorn to win10前一积分与路径无关，所以 (0,)2sincosinxxxaLeydyey对后一积分，取 的参数方程，则 ， 从 到 ，得siatysicodty()Lbxd2223320inisincos)atbtabttatd31从而 2223()Iabaab五【详解】如图，曲线 上点 处的切线方程为()yx
16、(,)Py()()YyxXx所以切线与 轴的交点为x,0由于 因此()0,()1y()yx)于是 21 .2Sx又 ，0()ytd根据题设 即 两边对 求导并化简得 12,S20()1,xytd:x2“y这是可降阶得二阶常微分方程，令 则 ，,ppydp:则上述方程可化为 分离变量得 ，解得 即2,dypd1,C1,yx从而有 ，根据 可得12xCe(0)1,(),y20故所求曲线得方程为 x六【详解】构造函数，利用函数的单调性，证法1：令 易知22()1ln.fxx(1)0fBorn to win11又 1()2ln,()0fxxf 2, 23(1)xf可见，当 时， ；当 时，00()f:
17、1x()0fx:因此， 为 的最小值，即当 时， ，(1)2ffx (1)20ff所以 为单调增函数. 又因为 ，所以有x()f时 ； 时 ，0)0f1()0fx所以利用函数单调性可知， 为 的最小值，即（ ） fx()f所以有 时，x22ln.证法2：先对要证的不等式作适当变形，当 时，原不等式显然成立；1当 时，原不等式等价于 01l;x当 时，原不等式等价于xn1令 1()lnxf则 20f x 又因为 利用函数单调性可知(1)0,当 时， 即 当 时， 即x()0,fx1ln;x()0,fxln;1x综上所述，当 时，0x221ln.七【详解】建立坐标轴如图所示，解法1：将抓起污泥的抓
18、斗提升至井口需做功 ，其中 是克服抓斗自重所作123W1W的功； 是克服缆绳重力作的功； 为提出污泥所作的功. 由题意知2W31403120NmJBorn to win12将抓斗由 处提升到 处，克服缆绳重力所作的功为xdx= 缆绳每米重 缆绳长提升高度2dW50(3),从而 2250.xdJ在时间间隔 内提升污泥需做功为,t3( (3)d dt原 始 污 泥 重 漏 掉 污 泥 重 ） 提 升 高 度0)3td将污泥从井底提升至井口共需时间 01,/ms所以 103(2)57.WtJ因此，共需做功1231020)9150J（解法2：将抓起污泥的抓斗提升至井口需做功记为 ，当抓斗运动到 处时，
19、作用力 包Wx()fx括抓斗的自重 , 缆绳的重力 ， 污泥的重力40N5()xN(2,3N即 20170()(3)39,fx x于是 30 2017859 245910Wxdx J八【分析】先写出切平面方程，然后求 ，最后将曲面积分化成二重积分.(,)yz【详解】点 ， 在点 处的法向量为 ，设 为 上任意(,)PxyzSP,2nxyz(,)XYZ一点，则 的方程为，化简得()()2()0XYzZ1由点到平面的公式， 到 的距离0,O122222(,) 4()xyzAxByCzxyyz z 从而 22(,)4SSxydzzdSxyBorn to win13用投影法计算此第一类曲面积分，将 投
20、影到 平面，其投影域为SxOy2(,)|Dxy由曲面方程知 于是21,(),xyzD22, ,1zyxyx因此 22 2411yzdSddxyx故有 22(,)4SSzzzSxy2 20114(4)Dddrd极 坐 标 3.九【详解】(1) 因为 224 420 01tan(t)tansecnaxxxd tan4001t ()dtd又由部分和数列 21111(),()nnnii iiSa n有 lm,n因此 21.n(2) 先估计 的值，因为a，令 ，则 ，即40tnnxdtanx2secdtx21dt所以 1120,at所以 1,()nnBorn to win14由于 ，所以 收敛，从而 也
21、收敛.101n1na十【详解】根据题设， 有一个特征值 ，属于 的一个特征向量为 根据*A00(1,),T特征值和特征向量的概念，有 ,把 代入 中，得 则 . 把1*E*,AE*AE代入，于是 即*0A0,0也即 ，1531acb0153()acb常数 乘以矩阵 ，需用 乘以矩阵的每一个元素0()ca0001(1)15353()ccbba矩阵相等，则矩阵的对应元素都相同，可得 01(1)(53)2acb因 ， 的特征值 ， 的特征值 ，故10A0*A*0A由(1),(3)两式得，00()(1)acca两边同除 ，得 整理得 ，代入(1)中，得 . 再把 代入(2)中得0013b又由 ， 以及
22、 ，有1A3bc50a1530a行 行 125230a列 列(其中 的指数3，1分别是1的行数和列数)31()2按 第 行 展 开 Born to win153(1)2a31故 因此,c0,.bc十一【详解】“必要性”. 设 为正定矩阵，则由定义知，对任意的实 维列向量 ，有TBAn0x即 于是， ，即对任意的实 维列向量 ，都0,Tx0,x0Bx有 . (若 ，则 矛盾). 因此， 只有零解，故有 (B()rBn有唯一零解的充要条件是 ).rn“充分性”. 因 为 阶实对称矩阵，则 ，故 根据AmTA,TTBA实对称矩阵的定义知 也为实对称矩阵. 若 ，则线性方程组 只有零解，TBrn0x从
23、而对任意的实 维列向量 ，有 . 又 为正定矩阵，所以对于 有n0xB故 为正定矩阵 (对任意的实 维列向量 ，有,TTBxT).0A十二【详解】离散型随机变量边缘分布律的定义： ,12,ii ijijjpPXxxYyp,jj ijijiYy (通俗点说就是在求关于 的边缘分布时，就把对应 的所有 都加起来，同理求关于 的边xyY缘分布时，就把对应 的所有 都加起来)x故 即1 11,i iiPypPXYyp12,Yxy而由表知 ， ，所以16y218xy21, ,6824PXxPYXxYy又根据 相互独立，则有：Y和即,ij ijyxijijp因 ， ，而124x16Yy111,PxYyPX
24、xYyBorn to win16所以 11,1246PXxYyx再由边缘分布的定义有 111213,xxyPXxYyPXxYy所以 3 2,PXYy428又由独立性知 1313,xyPXxYy所以 31,24YPYy由边缘分布定义有 31323,yPXxyPXxYy所以 2 1, ,4XxY再由 ，所以1ip214xx而 21223, ,PxyPXYyPXxYy故 21,XYy3148又 ，所以jp21362PyYyPy所以有：YX 123iiPXxp1x2418121428343jjPYyp1612131Born to win17十三【详解】矩估计的实质在于用样本矩来估计相应的总体矩，此题中
25、被估参数只有一个，故只需要用样本矩(样本均值)来估计总体的一阶原点矩(期望)(1) 矩估计：由期望的定义： 2330066()()()()xxEXxfddd206 342 2样本均值 ，用样本均值估计期望有 ，1niiEX即 解得的矩估计量 ,2X2(2) 由随机变量方差的性质： ，所以()()Dc()2)4()DX又由独立随机变量方差的性质：若 独立，则XY和 Y因 是取自总体 的简单随机样本，所以 独立且12,n 12,n与 服从同一分布，即Xii而 2221111()()()()nni i ii ii iDX 221(niXD方差的定义： ，所以求方差只需要求出 和2)(E2()E(X根据二阶原点矩的定义： 2)xfd故 334222 200666()()()0xEXxfdd而 ，所以2226()(00DEX因此 的方差为2X)4()D2().5DXn
