1、 Born to win1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.把答案填在题中横线上.)(1) 设 ,则 .1)xf()nf(2) 设 , 可导,则 .(yzuxyz(3) 设 ,则 .ln)1fx()f(4) 设 , 是 的伴随矩阵,则 .02345AA 1()A(5) 设 是来自正态总体 的简单随机样本,其中参数 和 未知,12,nX 2()N2记 则假设 的 检验使用统计量 _.2211,(),iiiiQX0:Htt二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要
2、求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设 为可导函数,且满足条件 ,则曲线 在点)fx0(1)lim12xfx()yfx处的切线斜率为 ( )(1(A) (B) (C) (D) 21 2(2) 下列广义积分发散的是 ( )(A) (B) 1sindx 12dx(C) (D) 20xe 2ln(3) 设矩阵 的秩为 , 为 阶单位矩阵,下述结论中正确的是 ( )mnA()rnmE(A) 的任意 个行向量必线性无关(B) 的任意一个 阶子式不等于零(C) 若矩阵 满足 ,则B0B(D) 通过初等行变换,必可以化为 的形式(,0)m(4) 设随机变量 和 独立同分布,记 ,则随机变量 与
3、必然XYUXYVUV( )Born to win(A) 不独立 (B) 独立 (C) 相关系数不为零 (D) 相关系数为零(5) 设随即变量 服从正态分布 ,则随 的增大,概率 ( )X2()NPX(A) 单调增大 (B) 单调减少 (C) 保持不变 (D) 增减不定三、(本题满分 6 分)设 ,试讨论 在 处的连续性和可导性. 220(1cos),0()s,xxftd()fx0四、(本题满分 6 分)已知连续函数 满足条件 ,求 .(fx320()xxtffde()f五、(本题满分 6 分)将函数 展成 的幂级数,并指出其收敛区间.2ln(1)yxx六、(本题满分 5 分)计算 .2()mi
4、,xyed七、(本题满分 6 分)设某产品的需求函数为 ,收益函数为 ,其中 为产品价格, 为需求()QpRpQQ量(产品的产量), 为单调减函数.如果当价格为 ,对应产量为 时,边际收益()p00,收益对价格的边际效应 ,需求对价格的弹性 .0QdRa0pdc1pEb求 和 .p八、(本题满分 6 分)设 、 在区间 ( )上连续, 为偶函数,且 满足条件fx(g,a0()gx()fx( 为常数).()A(1) 证明 ；0()aafxdgxdBorn to win(2) 利用(1)的结论计算定积分 .2sinarctxed九、(本题满分 9 分)已知向量组() ；() ；() ,如果各向量组
5、的123,1234,1235,秩分别为 , .(I)r(I)4r证明:向量组 的秩为 4.1235十、(本题满分 10 分)已知二次型 .212331232(,)448fxxxx(1) 写出二次型 的矩阵表达式；(2) 用正交变换把二次型 化为标准形,并写出相应的正交矩阵.f十一、(本题满分 8 分)假设一厂家生产的每台仪器,以概率 0.70 可以直接出厂；以概率 0.30 需进一步调试,经调试后以概率 0.80 可以出厂；以概率 0.20 定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立).求：2)n(1) 全部能出厂的概率 ；(2) 其中恰好有两台不能出厂的概率
6、；(3) 其中至少有两台不能出厂的概率 .十二、(本题满分 8 分)已知随机变量 和 的联合概率密度为XY4,01,(,)xyyf其 他求 和 联合分布函数 .Y,FxBorn to win1995 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】 12()!nx【解析】由于 12()(),f xx1)(,x3(2),f 所以 .1() (1)(1)!2!nnnnfxxx(2)【答案】 2yf【解析】根据复合函数求导法则, ,22xyyyzfxfffxx .1yffff 所以 .22xyyyyffxfffxxxz 【相关
7、知识点】复合函数求导法则： 的导数为 .()f()f(3)【答案】 xeC【解析】在 中令 ,则 ,从而(ln)1flnxt()1tfte.tt xtedCC(4)【答案】012345Born to win【解析】由 ,有 ,故 .AEA1A而 ,102345所以 .102A(5)【答案】 ()XnQ【解析】假设检验是统计推断的另一个基本问题,它是根据具体情况和问题的要求,首先提出原假设 ,再由样本提供的信息,通过适当的方法来判断对总体所作的假设 是否成0H 0H立.首先分析该题是属于一个正态总体方差未知的关于期望值 的假设检验问题.据此类型应该选取 检验的统计量是t,0 21()()niiX
8、XtSn经过化简得 .(1)tQ【相关知识点】假设检验的一般步骤：(1) 确定所要检验的基本假设 ；0H(2) 选择检验的统计量,并要求知道其在一定条件下的分布；(3) 对确定的显著性水平 ,查相应的概率分布,得临界值,从而确定否定域；(4) 由样本计算统计量,并判断其是否落入否定域,从而对假设 作出拒绝还是接受的判断.0H二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.) (1)【答案】(D)【解析】因 0 0(1)(1)()limlimx xfffff:Born to win0(1)lim22,xfxf所以应选(D).(2)【答案】(A)【解析】由计算知 ,112arcsin
9、dx,22lnllxx且泊松积分 ,20xed故应选(A).注：对于本题选项(A),由于当 时 ,故在积分区间 中 是瑕点,反常xsin01,0x积分 应分解为两个反常积分之和:1sindx,10110sinsisindxxdx而且 收敛的充要条件是两个反常积分 与 都收敛.1six 110i由于广义积分 ,100ltasin2xdx即 发散,故 发散.10sindx1i在此不可误以为 是奇函数,于是 ,从而得出它是收敛的错误结论.snx1sindx(3)【答案】(C)【解析】 表示 中有 个列向量线性无关,有 阶子式不等于零,并不是任意()rAmm的,因此(A)、(B)均不正确.经初等变换可
10、把 化成标准形,一般应当既有初等行变换也有初等列变换,只用一种不一定能化为标准形.例如 ,只用初等行变换就不能化成 的形式,故(D)不正01 2(0)E确.关于(C),由 知 ,又 ,从而 ,按定义又有BA()rAm()r()rBBorn to win,于是 ,即 .故应选(C).()0rB()0rB(4)【答案】(D)【解析】 .(,)(,)CovUVvXY(,)CovXY(,),(,)vCovY.DXY由于 和 同分布, 因此 ,于是有 .XY(,)0ovUV由相关系数的计算公式 ,()Cv所以 与 的相关系数也为零,应选(D).UV【相关知识点】协方差的性质：；(,)(,)ovaXbYo
11、vXY.1212(,)CCovY(5)【答案】(C)【解析】由于 将此正态分布标准化,故 ,2()XN: 01XN:12PP.计算看出概率 的值与 大小无关.所以本题应选(C).三、(本题满分 6 分)【解析】这是一道讨论分段函数在分界点处的连续性和可导性的问题.一般要用连续性与可导性的定义并借助函数在分界点处的左极限与右极限以及左导数和右导数.,220001(1cos)lim()lilimxxxf,2000sli()lili1xxxtdf故 ,即 在 处连续.()f()fBorn to win200 4220001cos1()()limlicosslililim,xxxxxxtdfftd 2
12、00320(1co)()()lili21cossin(cos1)mli0.36xxx xxff 即 ,故 在 处可导,且 .(0)ff()f ()f四、(本题满分 6 分)【解析】首先,在变上限定积分中引入新变量 ,于是3ts.300()xxtfdfs代入题设函数 所满足的关系式,得 .()fx 203xxffde在上式中令 得 ,将上式两端对 求导数得0()1f.2()xfxfe由此可见 是一阶线性方程 满足初始条件 的特解.()fx3(0)1f用 同乘方程两端,得 ,积分即得 .3e()2xxfe 32xfCe由 可确定常数 ,于是,所求的函数是 .(0)1fC32()xf五、(本题满分
13、6 分)【解析】由 知2(1)xx.lnln(2)l(1)x因为 ,3l(1) nx 其收敛区间为 ；,Born to win又 ,231()()(2)ln(12) nnxxx 其收敛区间为 .,于是有 ,12111(2)()2ln(1)()nnnnnxxx x 其收敛区间为 .,【相关知识点】收敛区间：若幂级数 的收敛半径是正数 ,则其收敛区间是开区间0naxR；若其收敛半径是 ,则收敛区间是 .(,)R(,)六、(本题满分 5 分)【解析】方法一：本题中二重积分的积分区域 是全平面,设 ,D0a,(,|,aDxyay则当 时,有 .从而a.2 2() ()min,limin,axy xyD
14、Ieded 注意当 时, ；当 时, .于是xyi,i,xy,2 2 2() () ()n,a ayaxxy yDededed且2 2 22222() () ()11)1.axax ay y xxaxxadededed由于 ,从而可得2xed2 2()1lim0limax ay xeded Born to win.212limattxed同理可得 .2()limayxyded于是 .2I方法二：设 ,则圆域 当 时也趋于全平面,从而0R22(,)|RDxyR.2 2() ()min,limin,RxyDIeded 引入极坐标系 ,则cos,ixryr当 与 时, ；0452n,sinxyr当
15、时, .micosxyr于是 2()n,RDed2 2 254 4500 0 04si cossinRRRr r reded .2 25244500 04siniR Rr red 由此可得 2 200limlim()RRr rIede22 200 2li .rrrR 七、(本题满分 6 分)【解析】本题的关键在于 和 之间存在函数关系,因此 既可看作 的函数,也可pQRpQ看作 的函数,由此分别求出 及 ,并将它们与弹性 联系起来,进而求得QdRpdE问题的解.Born to win由 是单调减函数知 ,从而需求对价格的弹性 ,这表明()Qp0dQp0pdQE题设 应理解为 .又由 是单调减函
16、数知存在反函数1pEb1pEb()且 .由收益 对 求导,有()dR,1()pdpQE从而 ,得 .01()QRpadb01b由收益 对 求导,有p,(1)(1)pRpdQpEd从而 ,于是 .0()pbc0cb八、(本题满分 6 分)【解析】(1)由要证的结论可知,应将左端积分化成 上的积分,即0a,00()()()aafxgdfxgdfxgd再将 作适当的变量代换化为在 上的定积分.0()afxgd ,方法一：由于 ,00()()()a aafxfxfx在 中令 ,则由 ,得 ,且0()afxt:t,000()()()()aaagdxfgtdfgtdfxgd所以 .0()af fxA方法二
17、：在 中令 ,则由 ,得 ,且()axt:a:ta.0()()()()()aafgdfgdtfgdfxgd Born to win所以 1()()()2aaafxgdfxgdfxgd 0()().2aaa Axgdx(2)令 , ,可以验证 和 符合(1)中条件,从而可以用()arctnxfxe()sinx()fx(1)中结果计算题目中的定积分.方法一：取 , , .()rtxf()ig2a由于 满足acnrtxxe,22rtt 01xxxxe故 .actnrtaxxeA令 ,得 ,即 .于是有0x2r12A()2fx.2002sinarctsinsin2xeddxd 方法二：取 , , ,于
18、是()txfx()iga.1rctnrt2xxfe(这里利用了对任何 ,有 )0xaa以下同方法一.九、(本题满分 9 分)【解析】因为 ,所以 线性无关,而 线性相关,(I3r123,1234,因此 可由 线性表出,设为 .412, 4123ll若 ,35()0kk即 ,14124234345() 0llklk由于 ,所以 线性无关.故必有I)r35,Born to win142340,.kll解出 .43210,0,kk于是 线性无关,即其秩为 4.1254十、(本题满分 10 分)【解析】(1)因为 对应的矩阵为123(,)fx,0243A故 的矩阵表示为123(,)fx.1123123
19、230(,)(,)4T xfxAx(2)由 的特征方程A2424031E,210()36)24得到 的特征值为 .A13,6,由 得基础解系 ,即属于 的特征向量.()0Ex1(,0)TX1由 得基础解系 ,即属于 的特征向量.6256由 得基础解系 ,即属于 的特征向量.()Ax3()T对于实对称矩阵,特征值不同特征向量已正交,故只须单位化,有Born to win312110, 5, ,53062XXX那么令 ,123165()0326Q经正交变换 ,二次型化为标准形112233xy.2212 13(,)6TfxAxyy十一、(本题满分 8 分)【解析】对于新生产的每台仪器,设事件 表示“
20、仪器需要进一步调试”, 表示“仪器能B出厂”,则 “仪器能直接出厂”, “仪器经调试后能出厂”.且 , 与ABA互不相容,应用加法公式与乘法公式,且由条件概率公式B,()(|)()(|)(PAPBA有 .0738094B|设 为所生产的 台仪器中能出厂的台数,则 服从二项分布 .由二项分XnXn,布的概率计算公式,可得所求概率为(1) ；0.94nP(2) 22.0.6;nC(3) 11110.6.940.nnXPXn 【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若 ,则 , .()YBnp()knknYp,十二、(本题满分 8 分)【解析】将整个平面分为五个区域(如右图).当 时, , 1,xyD(,0Fxy xyO1D243Born to win其中 .1(,)0Dxy或当 ,即 且 时, .4,1(,)1Fxy当 时,即 时,()xyx.2200,xyFstdsydx当 ,即 时,2()D1.2000,44xyxxststs当 ,即 时,与 类似,有 .3()xy,2D(,)Fy综上分析, 的联合分布函数为(,)XY20,1(,),.xyxyxy或
