1、http:/ 1：一只狐狸以不变的速度 沿着直线 AB 逃跑，一只猎犬1以不变的速率 追击，其运动方向始终对准狐狸.某时刻狐狸在 F 处，2猎犬在 D 处，FDAB ，且 FD=L，如图 141 所示，求猎犬的加速度的大小.解析：猎犬的运动方向始终对准狐狸且速度大小不变，故猎犬做匀速率曲线运动，根据向心加速度 为猎ra,2犬所在处的曲率半径，因为 r 不断变化，故猎犬的加速度的大小、方向都在不断变化，题目要求猎犬在 D 处的加速度大小，由于 大小不变，如果求出 D 点的曲率半径，2此时猎犬的加速度大小也就求得了.猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小和方向都在不断改变.在所求时刻开始的一段很短的
2、时间 内，猎犬运动的轨迹可近似看做是一段圆弧，设其半径为 R，则加速度taR2其方向与速度方向垂直，如图 141甲所示.在 时间内，设狐狸与猎犬分别 到达t，猎犬的速度方向转过的角度为 /RDF与 2而狐狸跑过的距离是： 因而 /R /L，R=L /1tLt1t21图 141图 142甲http:/ = /LaR21例 2 如图 142 所示，岸高为 ，人用绳经滑轮拉船靠岸，若当绳与水平方向为 时，h 收绳速率为 ，则该位置船的速率为多大？解析 要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率.设船在 角位置经 时间向左行
3、驶 距离，滑轮右侧的绳长缩短 ，如图 142txL甲所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有=Lcosx两边同除以 得： ，即收绳速率tcostLcos船因此船的速率为 船例 3 如图 143 所示，半径为 R，质量为 m 的圆形绳圈，以角速率 绕中心轴 O 在光滑水平面上匀速转动时，绳中的张力为多大？解析 取绳上一小段来研究，当此段弧长对应的圆心角 很小时，有近似关系式.sin若取绳圈上很短的一小段绳 AB= 为研究对象，设这段绳所对应的圆心角为 ，这L段绳两端所受的张力分别为 和 （方向见图 143甲） ，因为绳圈匀速转动，无切向加ATB速度，所以 和
4、 的大小相等，均等于 T. 和 在半径方向上的合力提供这一段绳做匀ATBAB速圆周运动的向心力，设这段绳子的质量为 ，根据牛顿第二定律有：m；Rm2sin2因为 段很短，它所对应的圆心角 很小所以L2sin将此近似关系和 2R图 142 图 142甲图 143图143甲http:/ 2RmT例 4 在某铅垂面上有一固定的光滑直角三角形细管轨道ABC，光滑小球从顶点 A 处沿斜边轨道自静止出发自由地滑到端点 C 处所需时间，恰好等于小球从顶点 A 处自静止出发自由地经两直角边轨道滑到端点 C 处所需的时间.这里假设铅垂轨道 AB 与水平轨道 BC 的交接处 B 有极小的圆弧，可确保小球无碰撞的拐
5、弯，且拐弯时间可忽略不计.在此直角三角形范围内可构建一系列如图 144 中虚线所示的光滑轨道，每一轨道是由若干铅垂线轨道与水平轨道交接而成，交接处都有极小圆弧（作用同上） ，轨道均从 A 点出发到 C 点终止，且不越出该直角三角形的边界，试求小球在各条轨道中，由静止出发自由地从 A 点滑行到 C 点所经时间的上限与下限之比值.解析 直角三角形 AB、BC、CA 三边的长分别记为、 、 ，如图 144甲所示，小球从 A 到 B 的时间1l23l记为 ，再从 B 到 C 的时间为 ，而从 A 直接沿斜边到 CT2T所经历的时间记为 ，由题意知 ，可得 ： ： =3：4：5，3311l23l由此能得
6、 与 的关系.12因为 21TglgTl所以 21l因为 ： =3：4，所以 1 123T小球在图 144乙中每一虚线所示的轨道中，经各垂直线段所需时间之和为 ，1Tt经各水平段所需时间之和记为 ，则从 A 到 C 所经时间总和为 ，最短的 对应2t 21tTt2的下限 ，最长的 对应 的上限tmintt.max小球在各水平段内的运动分别为匀速运动，同一水平段路程放在低处运动速度大，所需时间短，因此，所有水平段均处在最低位置（即与 BC 重合）时 最短，其值即为 ，2t2Thttp:/ = mint.35121T的上限显然对应各水平段处在各自可达到的最高位置，实现它的方案是垂直段每下2降小量
7、，便接一段水平小量 ，这两个小量之间恒有 ，角 即为1l2lcot12lACB，水平段到达斜边边界后，再下降一小量并接一相应的水平量，如此继续下去，构成如图所示的微齿形轨道，由于 、 均为小量，小球在其中的运动可处理为匀速率运1l2动，分别所经的时间小量 与 之间有如下关联：)(it)(itcot)(1212lit于是作为 之和的 上限与作为 之和的 之比也为 故 的上限必为2it2t)(1it1T.cot2，即得：1Tcot .37co1maxT这样 =7:5:axint例 5 在光滑的水平面上有两个质量可忽略的相同弹簧，它们的一对端点共同连接着一个光滑的小物体，另外一对端点 A、B 固定在
8、水平面上，并恰使两弹簧均处于自由长度状态且在同一直线上，如图 145 所示.如果小物体在此平面上沿着垂直于 A、B 连线的方向稍稍偏离初始位置，试分析判断它是否将做简谐运动？解析 因为一个物体是否做简谐运动就是要看它所受的回复力是否是一个线性力，即回复力的大小与位移大小成正经，方向相反.因此分析判断该题中的小物体是否做简谐运动，关键是求出所受的回复力的表达式（即此题中所受合外力的表达式）.以 AB 中点为原点，过中点且垂直于 AB 的直线为 轴，如图 145甲所示，取 轴xx正方向为正方向，小物体所受回复力为： sin)(20lkFx其中 为弹簧的劲度系数， 为弹簧的自由长度， 为弹簧伸长后的
9、长度， 为弹簧伸k0l 长后与 AB 直线的夹角.由几何知识可得lxsin20lhttp:/ 203202120 )1()(1 lkxlkxlkFx 由此可见，小物体受的合外力是一个非线性回复力，因此小物体将不做简谐运动.同时本题表明，平衡位置附近的小振动未必都是简谐运动.例 6 三根长度均为 ，质量均匀的直杆，构成一正三角形框架 ABC，C 点悬挂在一m光滑水平转轴上，整个框架可绕转轴转动.杆 AB 是一导轨，一电动玩具松鼠可在导轨上运动，如图 146 所示，现观察到松鼠正在导轨上运动，而框架却静止不动，试论证松鼠的运动是一种什么样的运动.解析 松鼠在 AB 轨道运动，当框架不动时，松鼠受到
10、轨道给它的水平力 F作用，框架也受到松鼠给它的水平力 F 作用，设在某一时刻，松鼠离杆 AB 的中点 O 的距离为 ，如图x146 所示，松鼠在竖直方向对导轨的作用力等于松鼠受到的重力 ，m 为松鼠的质量.以 C 点为轴，要使框架平衡，必须满足g条件 ，松鼠对 AB 杆的水平力为FLFLx2360sin，式中 L 为杆的长度.所以对松鼠而言，在其运动过程中，沿竖直方向受)/(2g到的合力为零，在水平方向受到杆 AB 的作用力为 F，由牛顿第三定律可知 F=F ，即kxmxF)3/(其中 Lk2即松鼠在水平方向受到的作用力 F作用下的运动应是以 O 点为平衡位置的简谐运动，其振动的周期为 .64
11、2/32sgLkmT当松鼠运动到杆 AB 的两端时，它应反向运动，按简谐运动规律，速度必须为零，所以松鼠做简谐运动的振幅小于或等于 L/2=1m.由以上论证可知，当框架保持静止时，松鼠在导轨 AB 上的运动是以 AB 的中点 O 为平衡位置，振幅不大于 1m、周期为 2.64s 的简谐运动.例 7 在一个横截面面积为 S 的密闭容器中，有一个质量为 m 的活塞把容器中的气体分成两部分 .活塞可在容器中无摩擦地滑动，活塞两边气体的温度相同，压强都是 ，体积分别p是 V1 和 V2，如图 147 所示.现用某种方法使活塞稍微偏离平衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动.http:/
12、 、V 1、V 2、m 和 S 表示；p（2）求气体温度 时的周期 与气体温度 =30时的周期 之比值.0t解析 （1）活塞处于平衡时的位置 O 为坐标原点 当活塞运动到右边距 O 点 处.0xx时，左边气体的体积由 V1 变为 V1+ ，右边气体的体积由 V2 变为 V2 ，设此时两边SxSx气体的压强分别为 和 ，因系统的温度恒定不变，根据玻意耳定律有：p22211 )()( pSx而以上两式解出： )1(,)(2211 VSxVSxp按题意，活塞只稍许离开平衡位置，故上式可近似为： ),1(xSp，于是活塞受的合力为 所以活塞的运动)1(22xVSp .)()(21221VSp方程是 x
13、VSxma2121)(其中 是加速度，由此说明活塞做简谐运动，周期为 )(2212VpSm（2）设温度为 时，周期为 ，温度为 时，周期为 .由于 ，得出ttTVpSmVSpm )(2)( 21212所以 ，将数值代入得T95.0:例 8 如图 148 所示，在边长为 的正三角形三个a顶点 A、B、C 处分别固定电量为 Q 的正点电荷，在其中三条中线的交点 O 上放置一个质量为 m，电量为 的带正q电质点，O 点显然为带电质点的平衡位置，设该质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置，试证明它将做简谐运动，并求http:/ 要想证明带电质点是否做简谐运动，则需证明该带电质点沿某一中线稍稍偏离平衡位置时，所
14、受的回复力是否与它的位移大小成正比，方向相反.因此该题的关键是求出它所受回复力的表达式，在此题也就是合外力的表达式.以 O 为坐标原点，以 AOD 中线为坐标 轴，如图x148甲所示，设带电质点在该轴上偏移 ，A 处 Q 对其作用力为 ，B、C 处两个 Q 对其作用的合力为 ，取 轴方向为正方向. 有1F2Fx2221 )()(rxkqxr因为 aOCBA3当 很小时可忽略高次项所以rxrx21)( )361(21axQqkF2322222 )()( )( xhaxhkQqxkF（略去 项）232)4)(2xxk 2x232)(ahQq2323)1()(2xxk)(363ahQqhttp:/
15、项）)23(36xhaQqk2)1(3)2(3xaQqk因此带电质点所受合力为 qxaQkxaqaQkFx 3221 29)36(3由此可知，合外力 与 大小成正比，方向相反.xF即该带电质点将做简谐运动，其振动周期为 kQqmkT32例 9 欲测电阻 R 的阻值，现有几个标准电阻、一个电池和一个未经标定的电流计，连成如图 149 所示的电路.第一次与电流计并联的电阻 为 50.00，电流计的示度为 3.9 格；第二r次 为 100.00，电流计的示度为 5.2 格；第三次 为 10.00，r r同时将待测电阻 R 换成一个 20.00k 的标准电阻，结果电流计的示度为 7.8 格.已知电流计
16、的示度与所通过的电流成正比，求电阻R 的阻值.解析 在测试中，除待求量 R 外，电源电动势 E，电源内阻 ，电流计内阻 以及电rgR流计每偏转一格的电流 ，均属未知.本题数据不足，且电流计读数只有两位有效数字，故0I本题需要用近似方法求解.设电源电动势为 E，电流计内阻为 ，电流计每偏转一格的电流为 ，用欧姆定律g 0I对三次测量的结果列式如下： 09.315050IRrRgg 图 149http:/ 08.7120Irgg从第三次测量数据可知，当用 20k 电阻取代 R，而且 阻值减小时电流计偏转格数r明显增大，可推知 R 的阻值明显大于 20k，因此电源内阻完全可以忽略不计，与 R 相比，
17、电流计内阻 与 的并联值对干路电流的影响同样也可以忽略不计，故以上三式可近似为：gr09.350IREg02.1Ig08.720IREg待测电阻 R=120k解、三式，可得 =50g例 10 如图 1410 所示，两个带正电的点电荷A、B 带电量均为 Q，固定放在 轴上的两处，离原x点都等于 .若在原点 O 放另一正点电荷 P，其带电量r为 ，质量为 m，限制 P 在哪些方向上运动时，它在q原点 O 才是稳定的？解析 设 轴与 轴的夹角为 ，正电点电荷 P 在原点沿 轴方向有微小的位移 时，yxysA、B 两处的点电荷对 P 的库仑力分别为 、 ，方向如图 1410 所示，P 所受的库仑AFB
18、力在 轴上的分量为 y cossAyF根据库仑定律和余弦定理得 s22rrkqQ图 1410http:/ )cos()cs( rsrkqQrsrkqQFy 因为 很小，忽略 得：s)cos21()cos21( 23233 rrkqy 又因为 ,s所以利用近似计算 得xx231)()cos31)(cos()s(cos3 rrrrkqQFy 忽略 得2s12当（ 时 具有恢复线性形式，所以在 范围内，P 可围绕原0)1cyF3cs2点做微小振动，所以 P 在原点处是稳定的.例 11 某水池的实际深度为 ，垂直于水面往下看，h水池底的视深为多少？（设水的折射率为 ）n解析 如图 1411 所示，设 S 为水池底的点光源，在由 S 点发出的光线中选取一条垂直于面 MN 的光线，由 O 点垂直射出，由于观察者在 S 正方，所以另一条光线与光线 SO 成极小的角度从点 S 射向水面点 A，由点 A远离法线折射到空气中，因入射角极小，故折射角也很小，进入人眼的两条折射光线的反向延长线交于点 S，该点即为我们看到水池底光源 S 的像，像点 S到水面的距离 ，即为视深.h
