1、 2012 年 全国 硕 士研究 生入学 统一考 试数学 二 试题 一、选择题:1-8 小题,每小题 4 分, 共 32 分.下列每题给出的四个选项 中,只 有一个选项符合题目 要求 的,请将所选 项前的字母填在答 题纸 指 定位置上. (1)曲线 2 2 1 xx y x + = 的渐近 线条 数 ( ) (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 (2) 设函 数 2 ( ) ( 1)( 2) ( ) x x nx fx e e e n = ， 其中 n 为正整 数,则 (0) f = ( ) (A) 1 ( 1) ( 1)! n n (B) ( 1) ( 1)! n n (C) 1
2、( 1) ! n n (D) ( 1) ! n n (3) 设 123 0 ( 1, 2, 3 ), n nn a n S aaa a = =+ ，则 数列 n S 有 界是 数列 n a 收 敛的 ( ) (A) 充分 必要 条件 (B) 充分 非 必要 条件 (C) 必 要非 充分 条件 (D) 非 充分 也非 必要 (4) 设 2 0 sin d , ( 1, 2, 3), k x k I e xx k = = 则有 ( ) (A) 123 III 成 立的 一个充 分条 件是 ( ) (A) 1 21 2 , x xy y (C) 1 21 2 , x xy y (6) 设区 域 D
3、由 曲线 sin , , 1 2 y xx y = = = 围成， 则 5 ( 1)d d D xy xy = ( ) (A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设 1 1 0 0 c = , 2 2 0 1 c = , 3 3 1 1 c = , 4 4 1 1 c = , 其中 1234 , cccc 为任意常数 ，则下 列向 量组线 性相关 的 为 ( ) (A) 123 , (B) 124 , (C) 134 , (D) 234 , (8) 设 A 为3 阶矩 阵， P 为3 阶 可逆矩 阵， 且 1 100 010 002 P AP = .若 ( ) 123 , P =
4、， ( ) 1 223 , Q= + 则 1 Q AQ = ( ) (A) 100 020 001 (B) 100 010 002 (C) 200 010 002 (D) 200 020 001 二、填空题：9-14 小题, 每小题4 分,共24 分.请将 答案写在 答题纸 指 定位 置上. (9) 设 () y yx = 是由 方程 2 1 y xy e += 所确 定的 隐函数 ，则 2 0 2 x dy dx = = . (10)2 22 22 11 1 lim 12 n n n n nn + + = + + .(11) 设 1 ln , zf x y = + 其中函 数 ( ) fu
5、可微， 则 2 zz xy xy += .(12) 微分 方程 ( ) 2 d 3d0 yx x y y + = 满足 条件 1 1 x y = = 的解 为 y =.(13) 曲线 ( ) 2 0 y x xx =+ 上曲 率为 2 2 的点 的 坐标是.(14) 设 A 为3阶矩 阵， =3 A ， * A 为 A 伴随矩 阵 ，若 交换 A 的第1 行与 第2 行得 矩阵 B ， 则 * BA = . 三、解答题：15-23 小题, 共 94 分.请将解答写在答题 纸 指定位置上.解答应 写 出文字说明、证明过 程或 演算步骤. (15)( 本题 满分 10 分) 已知函 数 ( ) 1
6、1 sin x fx xx + = ，记 ( ) 0 lim x a fx = ， (I)求 a 的值; (II)若 0 x 时， ( ) fx a 与 k x 是同阶 无穷 小，求 常数 k 的值. (16)( 本题 满分 10 分) 求函数 ( ) 22 2 , xy f x y xe + = 的 极值. (17)( 本题 满分12 分) 过 (0,1) 点作 曲线 : ln Ly x = 的 切线,切点 为 A,又 L 与 x 轴交于 B 点, 区域 D 由 L 与直 线 AB 围成,求区 域 D 的面 积及 D 绕 x 轴旋 转一 周所 得旋 转体的 体积. (18)( 本题 满分 1
7、0 分) 计算二 重积 分 d D xy ，其中 区域 D 为曲线 ( ) 1 cos 0 r =+ 与 极轴 围成. (19)( 本题 满分10 分) 已知函 数 () fx 满足方 程 () () 2 () 0 f x f x fx + = 及 () () 2 x f x fx e += , (I) 求 () fx 的表 达式; (II) 求 曲线 22 0 ( ) ( )d x y fx f t t = 的拐点. (20)( 本题 满分10 分) 证明 2 1 ln cos 1 12 xx xx x + + + , ( 1 1) x . (21)( 本题 满分10 分) (I)证明 方程
8、 1 xx x + += n n-1 + ( ) 1 n 的整数 ，在区 间 1 ,1 2 内有 且仅有 一个 实根 ；(II)记(I) 中 的实 根为 n x ， 证明 lim n n x 存在 ，并 求此 极限. (22)( 本题 满分11 分) 设 1 00 01 0 001 001 a a A a a = ， 1 1 0 0 = (I) 计算 行列 式 A ； (II) 当 实数 a 为何值 时， 方 程组 Ax = 有无穷 多解 ，并 求其 通解. (23)( 本题 满分11 分) 已知 101 011 10 01 A a a = ，二次 型 ( ) ( ) 123 , TT f x
9、 x x x AAx = 的 秩为 2， (I) 求实 数 a 的 值； (II) 求 正交 变换 x Qy = 将 f 化 为标准 形.2011 年 全国 硕 士研究 生入学 统一考 试数学 二 试题 一、选择题:1-8 小题,每小题 4 分, 共 32 分.下列每题给出的四个选项 中,只 有一个选项符合题目 要求 的,请将所选 项前的字母填在答 题纸 指 定位置上. 1.已知当 0 x 时， 函数 是等价无穷小，则 与 k cx x x x f 3 sin sin 3 ) ( = A k=1,c=4 B k=a, c=-4 C k=3,c=4 D k=3,c=-4 2. = = = 3 3
10、 2 0 ) ( 2 ) ( , 0 ) 0 ( 0 ) ( lim x x f x f x f x x f x 则 处可导，且 在 已知 A ) 0 ( 2 f B ) 0 ( f C ) 0 ( f D 0 3.函数 ) 3 )( 2 )( 1 ( ln ) ( = x x x x f 的驻点 个数 为 A 0 B 1 C 2 D 3 4.微分方 程 的特解形式为 ) 0 ( 2 + = x x e e y y A ) ( x x e e a + B ) ( x x e e ax + C ) ( x x be ae x + D ) ( 2 x x be ae x + 5 设 函数 ) (x
11、 f 具有二 阶连 续导 数， 且 0 ) 0 ( , 0 ) ( f x f ，则 函数 ) ( ln ) ( y f x f z = 在 点（0 ，0）处取 得极 小值 的 一个充 分条 件 A 0 ) 0 ( , 1 ) 0 ( f f B 0 ) 0 ( , 1 ) 0 ( f f C 0 ) 0 ( , 1 ) 0 ( = x x x f，则 = + dx x xf ) ( 13.设平 面区 域D 由y=x, 圆 y y x 2 2 2 = + 及y 轴所 组成 ，则 二重 积分 = D xyda _ 14.二次 型 3 2 3 1 2 1 2 3 2 2 2 1 3 2 1 2 2
12、 2 3 ) , , ( x x x x x x x x x x x x f + + + + + = ，则f 的正 惯性指 数 为_ 三解答 题 15. 已知函 数 x dt t x F x + = 0 2 ) 1 ln( ) ( ，设 0 ) ( lim ) ( lim 0 = = + + x F x F x x ，试求 的取 值范围 。 16. 设 函数 y=y(x) 有 参数 方程 + + = + = 3 1 3 1 3 1 3 1 3 3 t t x t t y ，求 y=y(x)的数 值和 曲线y=y(x) 的 凹凸 区间 及拐 点。 17. 设 ) ( , ( x yg xy f
13、z = ，其中函数 f 具有二 阶连续偏导数，函数 g(x) 可导，且在 x=1 处取得 极值 g(1)=1, 求 1 , 1 2 = = y x y x z 18. 设函数 y(x) 具有 二阶 导数 ，且曲 线 l:y=y(x)与直 线 y=x 相 切于 原点 ，记 是 曲线 l 在 点（x,y)外切 线的倾 角 dx dy dx d = ，求y(x) 的 表达 式。 19.证明 ：1 ） 对任 意正 整数 n，都 有 n n n 1 ) 1 1 ln( 1 1 + +2）设 ) , 2 , 1 ( ln n 1 2 1 1 = + + + = n n a n ,证明 n a 收 敛。 2
14、0.一容 器的 内侧 是由 图中曲 线绕 y 旋转 一周 而成 的 曲面， 该曲 面由 ) 2 1 ( 1 ), 2 1 ( 2 2 2 2 2 = + = + y y x y y y x 连接 而成。 （1）求 容器 的容 积。 （2）若从容 器内将容器的水从容器顶部全部抽出，至少需要多少功？（长度单位：m；重力 加速度为 2 / s gm ；水 的密度 为 3 3 / 10 m kg ） 21. 已知函数 f(x,y) 具有二阶连续偏导数，且 f(1,y)=0,f(x,1)=0, = D a dxdy y x f ) , ( ，其中 1 0 , 1 0 ) , ( = y x y x D
15、，计算 二重 积分 dxdy y x xy I D xy ) , ( = 。 23.A 为 三阶 实矩 阵， 2 ) ( = A R ，且 = 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 A 求A 的特 征值 与特 征向 量； （2）求 A 2010 年 全国 硕 士研究 生入学 统一考 试数学 二 试题 一、选择题:1-8 小题,每小题 4 分, 共 32 分.下列每题给出的四个选项 中,只 有一个选项符合题目 要求 的,请将所选 项前的字母填在答 题纸 指 定位置上. 2009 年 全国 硕 士研究 生入学 统一考 试数学 二 试题 一、 选择题：18 小题， 每小题 4 分 ，共 3
16、2 分， 下 列每小题给出的四个 选项 中， 只有一项符合题 目要 求， 把所选 项前的字母填在题后 的括 号内. （1）函 数 ( ) 3 sin xx fx nx = 的可 去间 断点 的 个数， 则（ ） ( ) A 1. ( ) B 2. ( ) C 3. ( ) D 无穷多 个. （2）当 0 x 时， ( ) sin f x x ax = 与 ( ) ( ) 2 ln 1 g x x bx = 是 等价 无穷小 ， 则（ ） ( ) A 1 1, 6 ab = = . ( ) B 1 1, 6 ab = = . ( ) C 1 1, 6 ab = = . ( ) D 1 1, 6
17、ab = = . （3）设 函数 ( ) , z f xy = 的全微 分为 dz xdx ydy = + ，则 点 ( ) 0, 0 （ ） ( ) A 不是 ( ) , f xy 的连续 点. ( ) B 不是 ( ) , f xy 的极值 点. ( ) C 是 ( ) , f xy 的 极大 值点. ( ) D 是 ( ) , f xy 的极 小值点. （4）设 函数 ( ) , f xy 连续， 则 ( ) ( ) 22 24 11 , y xy dx f x y dy dy f x y dx += （ ） ( ) A ( ) 24 11 , x dx f x y dy . ( ) B
18、 ( ) 24 1 , x x dx f x y dy . ( ) C ( ) 24 11 , y dy f x y dx . ( ) D . ( ) 22 1 , y dy f x y dx （5）若 ( ) fx 不变号 ，且 曲线 ( ) y fx = 在点 ( ) 1,1 上的 曲率 圆为 22 2 xy += ，则 ( ) fx 在 区间 ( ) 1, 2 内（ ） ( ) A 有极值 点， 无零 点. ( ) B 无极值 点， 有零 点. ( ) C 有极值 点， 有零 点. ( ) D 无极值 点， 无零 点. （6）设 函数 ( ) y fx = 在区间 1, 3 上的 图 形
19、为： 则函数 ( ) ( ) 0 x F x f t dt = 的 图形 为（ ） 1 () fx-2 0 2 3 x -1 O ( ) A . ( ) B . ( ) C . ( ) D . （7）设 A 、 B 均为2 阶 矩阵， * AB ， 分别为 A 、 B 的 伴 随矩 阵。若 A =2 B =3 ， ，则 分块 矩阵 0 0 A B 的伴随 矩阵为 （ ） ( ) A . * * 03 20 B A ( ) B . * * 0 2B 3A 0 ( ) C . * * 0 3A 2B 0 ( ) D . * * 0 2A 3B 0 （8）设 AP ， 均为3 阶矩 阵， T P 为
20、 P 的转置 矩阵 ，且 T 100 P AP= 0 1 0 002 ，若 P= Q= + 123 1 223 （ ， ， ）， （ ， ， ） ，则 Q AQ T 为（ ） ( ) A . 210 110 002 ( ) B . 110 120 002 ( ) C . 200 010 002 ( ) D . 100 020 002 二、填空题：9-14 小题， 每小题 4 分，共24 分，请 将答案写在答题纸指 定位 置上. () fx0 2 3 x 1 -2 -1 1 () fx0 2 3 x 1 -1 1 () fx0 2 3 x 1 -2 -1 1 () fx0 2 3 x 1 -2
21、-1 1 （9）曲 线 2 22 1- x= 0 ln(2 ) u t e du yt t = 在 （0，0） 处 的 切线 方程为 （10）已 知 + 1 kx e dx = ,则 k = （11） n 1 lim e sin 0 x nxdx = （12）设 () y yx = 是由方 程 xy 1 y ex +=+ 确定的 隐函数 ，则 2 x=0 dy = dx 2（13）函 数 2x yx = 在 区间 ( 01 ， 上的最 小值为 (14)设 ， 为3 维 列向 量， T 为 的转置 ，若 矩阵 T 相 似于 200 000 000 ，则 T = 三、 解答题 ：1523 小 题
22、，共 94 分.请将解答写 在 答题纸指定的位置上.解 答 应写出文字说明 、 证明过 程或演算步 骤. （15） （ 本题 满分 9 分 ）求极 限 ( ) 4 0 1 cos ln(1 tan ) lim sin x xx x x +（16） （ 本题 满分 10 分）计 算 不定 积分 1 ln(1 ) x dx x + + ( 0) x （17） （ 本题 满分 10 分 ）设 ( ) , z f x yx yx y =+ ， 其中 f 具有 2 阶连 续偏 导数， 求 dz 与 2 z xy （18） （ 本题 满分 10 分） 设非负 函数 ( ) y yx = ( ) 0 x 满
23、足 微分 方程 20 xy y +=，当 曲 线 ( ) y yx = 过原点 时， 其 与 直线 1 x = 及 0 y = 围成平 面区 域 D 的面积 为 2 ，求 D 绕 y 轴旋 转所 得旋 转体 体积。 （19） （ 本题 满分 10 分） 求二重 积分 ( ) D x y dxdy ， 其中 ( ) ( ) ( ) 22 , 1 1 2, D xy x y y x = + （20） （ 本题 满分 12 分） 设 () y yx = 是区间 - （ ， ） 内过 - 22 （ ， ） 的光滑曲线 ，当 -0 x 内可导，且 ( ) 0 lim x fx A + = ，则 ( )
24、0 f + 存在， 且 ( ) 0 fA + = 。 （22） （ 本题 满分 11 分 ）设 1 11 11 1 0 42 A = ， 1 1 1 2 = （）求 满足 2 21 31 , AA = = 的所有 向量 23 , （）对 （）中 的任 一向 量 23 , ，证明 ： 123 , 线性无 关。 （23） （ 本题 满分 11 分） 设二次 型 ( ) ( ) 22 2 1 2 3 1 2 3 13 23 , 1 2 2 f x x x ax ax a x x x x x =+ （）求 二次 型 f 的矩 阵的 所有特 征值 ； （）若 二次 型 f 的 规范 形为 22 12 y
25、y + ，求 a 的 值。 2008 年 全国 硕 士研究 生入学 统一考 试数学 二试题 一、 选择题：18 小题， 每小题 4 分 ，共 32 分， 下 列每小题给出的四个 选项 中， 只有一项符合题 目要 求， 把所选 项前的字母填在题后 的括 号内. （1）设 2 ( ) ( 1)( 2) fx x x x = ，则 () fx 的 零 点个 数为（ ） ( ) A 0 ( ) B 1. ( ) C 2 ( ) D 3 （2）曲 线方 程为 () y fx = 函 数 在区间0, a 上 有连 续导 数， 则定 积分 0 () a t af x dx （ ） ( ) A 曲边梯 形 A
26、BOD 面积. ( ) B 梯形ABOD 面积. ( ) C 曲边三 角形 ACD 面积. ( ) D 三角形 ACD 面积. （3）在 下列 微分 方程 中，以 12 3 cos 2 sin 2 x y Ce C x C x = + （ 123 , CCC 为任意 常数 ）为 通解 的是（ ） ( ) A 440 yy y y + = ( ) B 4 40 yy y y + + = ( ) C 4 40 yy y y + = ( ) D 440 yy y y + = （5）设 函数 () fx 在 (,) + 内 单调 有界， n x 为数 列， 下列 命题 正确 的是（ ） ( ) A 若
27、 n x 收敛 ，则 () n fx 收敛. ( ) B 若 n x 单调 ，则 () n fx 收敛. ( ) C 若 () n fx 收敛 ，则 n x 收敛. ( ) D 若 () n fx 单调 ，则 n x 收敛. （6）设 函数 f 连续， 若 22 22 () (,) uv D fx y F u v dxdy xy + = + ，其 中区域 uv D 为 图中 阴影 部分 ，则 F u = ( ) A 2 () vf u ( ) B 2 () v fu u( ) C () vf u ( ) D () v fu u（7）设 A 为 n 阶非 零矩 阵， E 为 n 阶单位 矩阵.
28、若 3 0 A = ， 则（ ） ( ) A EA 不可逆 ， EA + 不可逆. ( ) B EA 不可逆，EA + 可逆. ( ) C EA 可逆， EA + 可逆. ( ) D EA 可逆， EA + 不 可逆. （8）设 12 21 A = ，则在 实数 域上 与 A 合同的 矩阵 为（ ） ( ) A 21 12 . ( ) B 21 12 . ( ) C 21 12 . ( ) D 12 21 . 二、填空题：9-14 小题， 每小题 4 分，共24 分，请 将答案写在答题纸指 定位 置上. （9） 已知 函数 () fx 连续 ，且 2 0 1 cos ( ) lim 1 ( 1
29、) ( ) x x xf x e fx = ，则 (0) _ f = . （10）微 分方 程 2 () 0 x y x e dx xdy + = 的通 解是 _ y = . （11）曲 线 ( ) ( ) sin ln xy y x x + = 在点 ( ) 0,1 处的 切线 方程为 . （12）曲 线 2 3 ( 5) yx x = 的拐 点坐 标为_. （13）设 x y y z x = ，则 (1,2) _ z x = . （14）设 3 阶矩 阵 A 的特征 值为 2, 3, .若行 列式 2 48 A = ，则 _ = . 三、解答题：1523 题 ，共 94 分.请将解答写在答
30、 题纸指定位置上.解答应 写 出文字说明、证明过 程或 演算步骤. (15)（本 题满分 9 分） 求极 限 ( ) 4 0 sin sin sin sin lim x x xx x . (16)（本 题满分 10 分） 设函数 () y yx = 由 参数 方程 2 0 () ln(1 ) t x xt y u du = = + 确定， 其中 () xt 是初值 问题 0 20 0 x t dx te dt x = = 的解.求 2 2 y x . (17)（本 题满分 9 分） 求积 分 1 2 0 arcsin 1 xx dx x . (18)（本 题满分 11 分） 求二重 积分 ma
31、x( ,1) , D xy dxdy 其中 ( , ) 0 2, 0 2 D xy x y = (19)（本 题满分 11 分） 设 () fx是区间 ) 0, + 上具有连续导数的单调增加函数，且 (0) 1 f = . 对任意的 ) 0, t + ，直线 0, x xt = = ，曲 线 () y fx = 以及 x 轴所 围成 的曲 边梯形 绕 x 轴旋转 一周 生成 一旋转 体. 若该 旋转 体的 侧 面积在 数值 上 等 于其 体积的 2 倍， 求函 数 () fx 的表达 式. (20)（本 题满分 11 分） (1) 证明积分中值定理：若函数 () fx在闭区间, ab 上连续，
32、则至少存在一点 , ab ，使得 ( ) ( )( ) b a f x dx f b a = (2)若函 数 () x 具 有二 阶导 数， 且满 足 3 2 (2) (1), (2) ( ) x dx ， 证 明至 少存在 一 点 (1, 3), ( ) 0 使得 （21） （ 本题 满分 11 分） 求函数 2 22 ux y z =+ 在 约束 条件 22 zx y = + 和 4 xyz += 下的 最大值 与最 小值. （22） （ 本题 满分 12 分） 设矩阵 2 2 21 2 1 2 nn a aa A aa = ，现 矩阵 A 满足 方程 AX B = ，其中 ( ) 1 ,
33、 T n Xx x = ， ( ) 1 ,0, ,0 B = ， （1）求 证 ( ) 1 n An a = + ； （2） a 为何 值， 方程 组有 唯 一解， 并求 1 x ； （3） a 为 何值 ，方 程组 有无穷 多 解， 并求 通解. （23 ） （本 题满 分10 分） 设 A 为3 阶矩 阵， 12 , 为 A 的分别 属于特 征值 1,1 特 征向 量， 向量 3 满足 3 23 A = + ， （1）证 明 123 , 线 性无 关； （2）令 ( ) 123 , P = ，求 1 P AP . 2007 年 全国 硕 士研究 生入学 统一考 试数学 二试题 一、选择题：
34、1 10 小题， 每 小题 4 分 ，共 40 分. 在每 小题 给出 的四 个选 项 中，只 有一 项符 合题 目要 求，把 所选 项前的 字母 填在 题后 的括 号内. （1）当 0 x + 时，与 x 等价 的无 穷 小量是 （A ）1e x （B ） 1 ln 1 x x + （C ） 11 x + （D ）1 cos x （2）函 数 1 (e e) tan () ee x x x fx x + = 在 , 上的第 一类 间 断点是 x = （A）0 （B）1 （C ） 2 （D ） 2 （3） 如 图， 连续 函数 () y fx = 在 区间 3, 2 , 2, 3 上的图 形分
35、 别是 直径 为 1 的上、 下半 圆周， 在区 间 2, 0 , 0, 2 的 图 形分 别是 直径为 2 的下 、 上半 圆周 ，设 0 ( ) ( )d x Fx ft t = ，则下 列结论 正确 的是 ： （A ） 3 (3) ( 2) 4 FF = (B) 5 (3) (2) 4 FF = （C） 3 (3) (2) 4 FF = （D） 5 (3) ( 2) 4 FF = （4）设 函数 () fx 在 0 x = 处 连续 ，下列 命 题错 误的 是： （A ）若 0 () lim x fx x 存在 ，则 (0) 0 f = （B ）若 0 () ( ) lim x fx f
36、 x x + 存在， 则 (0) 0 f = . （C ）若 0 () lim x fx x 存在 ，则 (0) 0 f = （D ）若 0 () ( ) lim x fx f x x 存在， 则 (0) 0 f = . （5）曲 线 ( ) 1 ln 1 e x y x = + 的 渐近 线的 条数为 （A）0. （B）1. （C ）2. （D ）3. （6）设 函数 () fx 在 (0, ) + 上 具有 二阶导 数 ，且 () 0 fx ，令 () n u fn = ，则下 列结 论正确 的是 ： (A) 若 12 uu ，则 n u 必收敛. (B) 若 12 uu ，则 n u 必
37、发散 (C) 若 12 uu ，则 n u 必收敛. (D) 若 12 uu ，则 n u 必发散. （7）二 元函 数 (, ) f xy 在点 ( ) 0, 0 处 可微的 一 个充 要条 件是 （A） ( ) ( , ) 0,0 lim ( , ) (0, 0) 0 xy f xy f = . （B） 00 ( , 0) (0, 0) (0, ) (0, 0) lim 0, lim 0 xy fx f f y f xy = = 且 . （C） ( ) 22 ( , ) 0,0 ( , ) (0, 0) lim 0 xy f xy f xy = + . （D） 00 lim ( , 0)
38、(0, 0) 0, lim (0, ) (0, 0) 0 xx y y xy fx f f y f = 且 . （8）设 函数 (, ) f xy 连续， 则二 次 积分 1 sin 2 d ( , )d x x f xy y 等于 （A） 1 0 arcsin d ( , )d y y f xy x + （B ） 1 0 arcsin d ( , )d y y f xy x （C） 1 arcsin 0 2 d ( , )d y y f xy x + （D ） 1 arcsin 0 2 d ( , )d y y f xy x （9）设 向量 组 123 , 线性 无关 ，则 下 列向 量组
39、线性 相关 的是 线性相 关， 则 (A) 1 22 33 1 , (B) 1 22 33 1 , + (C) 1 22 33 1 2, 2, 2 . (D) 1 22 33 1 2, 2, 2 + . （10） 设 矩阵 2 1 1 100 1 2 1, 0 1 0 1 1 2 000 AB = = ，则 A 与 B (A) 合同 且相 似 （B） 合同 ，但 不相似. (C) 不合 同， 但相 似. (D) 既不 合 同也不 相似 二、填空题：11 16 小题，每小题4 分，共24 分. 把答案填在题中横线 上. （11） 3 0 arctan sin lim x xx x = _. （1
40、2）曲 线 2 cos cos 1 sin xt t yt = + = + 上对 应于 4 t = 的点 处的法 线斜 率为_. （13）设 函数 1 23 y x = + ，则 () (0) n y =_. （14） 二阶 常系 数非 齐次微 分 方程 2 4 3 2e x y yy += 的通解 为 y =_. （15） 设 (,) f uv 是 二元 可微 函数， , yx zf xy = ，则 zz xy xy = _. （16）设 矩阵 0100 0010 0001 0000 A = ，则 3 A 的秩为 . 三、解答题：1724 小题 ，共 86 分. 解答应写出文 字说明、证明过
41、程或 演算 步骤. （17） ( 本题 满分 10 分) 设 () fx 是 区间 0, 4 上单调 、可 导的 函数， 且满 足 () 1 00 cos sin ( )d d sin cos fx x tt f tt t t tt = + ， 其中 1 f 是 f 的反 函数 ，求 () fx. （18） （ 本题 满分 11 分） 设 D 是位于 曲线 2 ( 1, 0 ) x a y xa a x = + 下 方、x 轴上方 的无 界区 域. （ ）求 区 域 D 绕 x 轴旋转一 周所成 旋转 体的 体积 () Va；（ ）当 a 为何值 时， () Va 最小 ？并 求此最 小值.
42、（19） （ 本题 满分 10 分） 求微分 方程 2 () yx y y += 满足 初始 条件 (1) (1) 1 yy = = 的特解. （20） （ 本题 满分 11 分） 已知函 数 () fu 具有二 阶导 数， 且 (0) 1 f = ， 函数 () y yx = 由方程 1 e1 y yx = 所 确定， 设 ( ) ln sin zf y x = ，求 2 00 2 dd , dd xx zz xx = = . （21 ） ( 本题满分 11 分) 设函数 () , () f x gx 在 , ab 上连续，在 (,) ab 内具有二阶导数且存在相等的最大值， () () , () () f a ga f b gb = = ，证明 ：存 在 (,) ab ，使得 () () fg = . （22） ( 本 题满分 11 分) 设 二元 函数 2 22 , | 1 1 (, ) ,1 | 2 x xy f xy xy xy + = + + ， 计 算二 重积分 D ( , )d f xy ，其 中 ( ) , | 2 D xy x y = +.
