1、- 1 -2005年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2 xxxx= .（2）微分方程0 yyx满足初始条件2)1( y的特解为_.（3）设二元函数)1ln()1( yxxez yx ，则)0,1(dz _.（4）设行向量组)1,1,1,2(，),1,2( aa，),1,2,3( a，)1,2,3,4(线性相关，且1a，则a=_.（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X,2,1中任取一个数，记为Y,则2 YP =_.（6）设二维随机变量(X,Y)的概率分布为X Y 0 10 0.4
2、 a1 b 0.1已知随机事件0 X与1 YX相互独立，则a=，b= .二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a取下列哪个值时，函数axxxxf 1292)( 23恰好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. （8）设dyxID 221 cos , dyxID )cos( 222 , dyxID 2223 )cos( ,其中1),( 22 yxyxD，则(A) 123 III .（B）321 III .(C) 312 III . (D) 213 III . （9）
3、设,2,1,0 nan若1nna发散，11)1(nnn a收敛，则下列结论正确的是(A) 112nna收敛，12nna发散.（B）12nna收敛，112nna发散.- 2 -(C) )(1212 nnn aa收敛. (D) )(1212 nnn aa收敛. （10）设xxxxf cossin)( ,下列命题中正确的是(A) f(0)是极大值，)2(f是极小值.（B）f(0)是极小值，)2(f是极大值.（C）f(0)是极大值，)2(f也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(f也是极小值. （11）以下四个命题中，正确的是(A)若)(xf 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（
4、B）若)(xf在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C）若)(xf 在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）内有界.(D)若)(xf在（0，1）内有界，则)(xf 在（0，1）内有界. （12）设矩阵A= 33)( ija满足TAA *，其中*A是A的伴随矩阵，TA为A的转置矩阵.若131211 , aaa为三个相等的正数，则11a为(A) 33 . (B) 3. (C) 31 . (D) 3 . （13）设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)( 21 A线性无关的充分必要条件是(A) 01 . (B) 02 . (C) 01 . (D) 02
5、 . （14）设一批零件的长度服从正态分布),( 2N，其中2,均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20 cmx ，样本标准差)(1 cms ，则的置信度为0.90的置信区间是(A) ).16(4120),16(4120( 05.005.0 tt (B) ).16(4120),16(4120( 1.01.0 tt (C) ).15(4120),15(4120( 05.005.0 tt (D) ).15(4120),15(4120( 1.01.0 tt 三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）- 3 -求).111(l
6、im0 xexxx （16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),( yxyfxyfyxg ，求.222222ygyxgx（17）（本题满分9分）计算二重积分dyxD 122，其中10,10),( yxyxD .（18）（本题满分9分）求幂级数12)1121(nnxn在区间(-1,1)内的和函数S(x).（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0, 0)( xf , 0)( xg .证明：对任何a 1,0 ,有 a gafdxxgxfdxxfxg0 10 ).1()()()()()(（20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i）,0
7、,0532,032321321321axxxxxxxxx和（ii）,0)1(2,03221321xcxbxcxbxx同解，求a,b, c的值.（21）（本题满分13分）设BCCADT为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为nm矩阵.(I)计算DPPT，其中 nmEoCAEP 1；（II）利用(I)的结果判断矩阵CACB T 1是否为正定矩阵，并证明你的结论.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他xyxyxf - 4 -求：（I）(X,Y)的边缘概率密度)(),( yfxf YX；（II）YXZ 2的概率密度).(zf Z( I
8、II ) .2121 XYP（23）（本题满分13分）设)2(, 21 nXXX n为来自总体N(0, 2 )的简单随机样本，X为样本均值，记.,2,1, niXXY ii求：（I）iY的方差niDYi ,2,1,；（II）1Y与nY的协方差).,( 1 nYYCov（III）若21 )( nYYc 是2的无偏估计量，求常数c.- 5 -2005年考研数学（三）真题解析一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）（1）极限12sinlim 2 xxxx= 2 .【分析】本题属基本题型，直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.【详解】12sinlim 2 xxxx= .
9、212lim 2 xxxx（2）微分方程0 yyx满足初始条件2)1( y的特解为2xy .【分析】直接积分即可.【详解】原方程可化为0)( xy，积分得Cxy ，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2.（3）设二元函数)1ln()1( yxxez yx ，则)0,1(dz dyeedx )2(2 .【分析】基本题型，直接套用相应的公式即可.【详解】)1ln( yxeexz yxyx ,yxxeyz yx 11 ,于是)0,1(dz dyeedx )2(2 .（4）设行向量组)1,1,1,2(，),1,2( aa，),1,2,3( a，)1,2,3,4(线性相关，且1a，则a= 21 .【
10、分析】四个4维向量线性相关，必有其对应行列式为零，由此即可确定a.【详解】由题设，有1234123121112aaa 0)12)(1( aa ,得21,1 aa，但题设1a，故.21a（5）从数1,2,3,4中任取一个数，记为X,再从X,2,1中任取一个数，记为Y,则2 YP = 4813 .【分析】本题涉及到两次随机试验，想到用全概率公式,且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.【详解】2 YP = 121 XYPXP + 222 XYPXP- 6 -+ 323 XYPXP + 424 XYPXP= .4813)4131210(41 （6）设二维随机变量(X,Y)
11、的概率分布为X Y 0 10 0.4 a1 b 0.1已知随机事件0 X与1 YX相互独立，则a= 0.4 , b= 0.1 .【分析】首先所有概率求和为1，可得a+b=0.5,其次，利用事件的独立性又可得一等式，由此可确定a,b的取值.【详解】由题设，知a+b=0.5又事件0 X与1 YX相互独立，于是有101,0 YXPXPYXXP，即a= )(4.0( baa ,由此可解得a=0.4, b=0.1二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）（7）当a取下列哪个值时，函数axxxxf 1292)( 23恰
12、好有两个不同的零点.(A) 2. (B) 4. (C) 6. (D) 8. B 【分析】先求出可能极值点，再利用单调性与极值画出函数对应简单图形进行分析，当恰好有一个极值为零时，函数f(x)恰好有两个不同的零点.【详解】12186)( 2 xxxf = )2)(1(6 xx，知可能极值点为x=1,x=2，且afaf 4)2(,5)1(，可见当a=4时，函数f(x)恰好有两个零点，故应选(B).（8）设dyxID 221 cos , dyxID )cos( 222 , dyxID 2223 )cos( ,其中1),( 22 yxyxD，则(A) 123 III .（B）321 III .(C)
13、312 III . (D) 213 III . A 【分析】关键在于比较22 yx 、22 yx 与222 )( yx 在区域1),( 22 yxyxD上的大小.【详解】在区域1),( 22 yxyxD上，有10 22 yx，从而有- 7 -2212 yx 22 yx 0)( 222 yx由于cosx在)2,0( 上为单调减函数，于是22cos0 yx )cos( 22 yx 222 )cos( yx 因此 dyxD22cos dyxD)cos( 22 dyxD 222 )cos(，故应选(A).（9）设,2,1,0 nan若1nna发散，11)1(nnn a收敛，则下列结论正确的是(A) 1
14、12nna收敛，12nna发散.（B）12nna收敛，112nna发散.(C) )(1212 nnn aa收敛. (D) )(1212 nnn aa收敛. D 【分析】可通过反例用排除法找到正确答案.【详解】取nan 1，则1nna发散，11)1(nnn a收敛，但112nna与12nna均发散，排除(A),(B)选项，且)(1212 nnn aa发散，进一步排除(C),故应选(D).事实上，级数)(1212 nnn aa的部分和数列极限存在.（10）设xxxxf cossin)( ,下列命题中正确的是(B) f(0)是极大值，)2(f是极小值.（B）f(0)是极小值，)2(f是极大值.（C）
15、f(0)是极大值，)2(f也是极大值. (D) f(0)是极小值，)2(f也是极小值. B 【分析】先求出)(),( xfxf ，再用取极值的充分条件判断即可.【详解】xxxxxxxf cossincossin)( ，显然0)2(,0)0( ff，又xxxxf sincos)( ，且02)2(,01)0( ff，故f(0)是极小值，)2(f是极大值，应选(B).（11）以下四个命题中，正确的是(A)若)(xf 在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.- 8 -（B）若)(xf在（0，1）内连续，则f(x)在（0，1）内有界.（C）若)(xf 在（0，1）内有界，则f(x)在（0，1）
16、内有界.(D)若)(xf在（0，1）内有界，则)(xf 在（0，1）内有界. C 【分析】通过反例用排除法找到正确答案即可.【详解】设f(x)= x1 ,则f(x)及21)( xxf 均在（0，1）内连续，但f(x)在（0，1）内无界，排除(A)、(B);又xxf )(在（0，1）内有界，但xxf 2 1)( 在（0，1）内无界，排除(D).故应选(C).（12）设矩阵A= 33)( ija满足TAA *，其中*A是A的伴随矩阵，TA为A的转置矩阵.若131211 , aaa为三个相等的正数，则11a为(A) 33 . (B) 3. (C) 31 . (D) 3 . A 【分析】题设与A的伴随
17、矩阵有关，一般联想到用行列展开定理和相应公式：.* EAAAAA .【详解】由TAA *及EAAAAA *，有3,2,1, jiAa ijij，其中ijA为ija的代数余子式，且032 AAAEAAAT或1A而03 211131312121111 aAaAaAaA，于是1A，且.3311 a故正确选项为(A).（13）设21,是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为21,，则1，)( 21 A线性无关的充分必要条件是(A) 01 . (B) 02 . (C) 01 . (D) 02 . D 【分析】讨论一组抽象向量的线性无关性，可用定义或转化为求其秩即可.【详解】方法一：令0)( 21
18、211 Akk，则022211211 kkk，0)( 2221121 kkk .由于21,线性无关，于是有- 9 -.0,022121kkk当02 时，显然有0,0 21 kk，此时1，)( 21 A线性无关；反过来，若1，)( 21 A线性无关，则必然有02 (,否则，1与)( 21 A = 11线性相关)，故应选(B).方法二：由于212122111211 01,)(, A，可见1，)( 21 A线性无关的充要条件是.001 221 故应选(D).（14）设一批零件的长度服从正态分布),( 2N，其中2,均未知.现从中随机抽取16个零件，测得样本均值)(20 cmx ，样本标准差)(1 c
19、ms ，则的置信度为0.90的置信区间是(A) ).16(4120),16(4120( 05.005.0 tt (B) ).16(4120),16(4120( 1.01.0 tt (C) ).15(4120),15(4120( 05.005.0 tt (D) ).15(4120),15(4120( 1.01.0 tt C 【分析】总体方差未知，求期望的区间估计，用统计量：).1( ntnsx 【详解】由正态总体抽样分布的性质知，)1( ntnsx ，故的置信度为0.90的置信区间是)1(1),1(1(22 ntnxntnx ，即).15(4120),15(4120( 05.005.0 tt 故
20、应选(C).三、解答题（本题共9小题，满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）（15）（本题满分8分）求).111(lim0 xexxx 【分析】“ 型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】)1( 1lim)111(lim200 xxxxx exexxxex = 2201limxexx xx- 10 -= x exxx 221lim0= .2322lim0xxe（16）（本题满分8分）设f(u)具有二阶连续导数，且)()(),( yxyfxyfyxg ，求.222222ygyxgx【分析】先求出二阶偏导数，再代入相应表达式即可.【详解】由已知条件可得)()(2 yxfxyf
21、xyxg ，)(1)()(2 42322yxfyyxfxyxyfxyxg ，)()()(1 yxfyxyxfxyfxyg ，)()()()(1 3222222yxfyxyxfyxyxfyxxyfxyg ，所以222222ygyxgx= )()()(2222yxfyxyxfxyxyfxy )()( 222yxfyxxyfxy = ).(2 xyfxy （17）（本题满分9分）计算二重积分dyxD 122，其中10,10),( yxyxD .【分析】被积函数含有绝对值，应当作分区域函数看待，利用积分的可加性分区域积分即可.【详解】记),(,1),( 221 DyxyxyxD ，),(,1),( 2
22、22 DyxyxyxD ，于是dyxD 122 = 1)1( 22Ddxdyyx 2)1( 22Ddxdyyx- 11 -= 20210)1( rdrrd Ddxdyyx )1( 22 1)1( 22Ddxdyyx= 8 + 20102210210)1()1( rdrrddyyxdx = .314 （18）（本题满分9分）求幂级数12)1121(nnxn在区间(-1,1)内的和函数S(x).【分析】幂级数求和函数一般采用逐项求导或逐项积分，转化为几何级数或已知函数的幂级数展开式，从而达到求和的目的.【详解】设12)1121()(nnxnxS， 121 121)(nnxnxS，122 )(nnx
23、xS，则)()()( 21 xSxSxS ，).1,1(x由于122 )(nnxxS =221 xx，)1,1(,1)( 22121 xxxxxxSnn ,因此 x xxxdtttxxS0 221 11ln211)(，又由于0)0(1 S，故.0,1,0,11ln211)(1 xxxxxxS所以)()()( 21 xSxSxS .0,1,0,1 111ln21 2 xxxxxx（19）（本题满分8分）设f(x),g(x)在0，1上的导数连续，且f(0)=0, 0)( xf , 0)( xg .证明：对任何a 1,0 ,- 12 -有 a gafdxxgxfdxxfxg0 10 ).1()()(
24、)()()(【分析】可用参数变易法转化为函数不等式证明，或根据被积函数的形式，通过分部积分讨论.【详解】方法一：设)(xF x gxfdttgtfdttftg010)1()()()()()(，则F(x)在0，1上的导数连续，并且 )(xF )1()()()1()()()( gxgxfgxfxfxg ，由于1,0x时，0)(,0)( xgxf，因此0)( xF，即F(x)在0，1上单调递减.注意到)1(F 1010)1()1()()()()( gfdttgtfdttftg，而 10101010)()()()()()()()( dttgtftftgtdftgdttftg= 10)()()1()1(
25、 dttgtfgf，故F(1)=0.因此1,0x时，0)( xF，由此可得对任何1,0a，有 a gafdxxgxfdxxfxg0 10 ).1()()()()()(方法二： a aa dxxgxfxfxgdxxfxg0 00)()()()()()(= a dxxgxfagaf0)()()()(， a dxxgxfdxxfxg0 10 )()()()(= 100)()()()()()( dxxgxfdxxgxfagaf a 1 .)()()()( a dxxgxfagaf由于1,0x时，0)( xg，因此)()()()( xgafxgxf ，1,ax， 10 10 )()1()()()()()
26、( aggafdxxgafdxxgxf，从而 a dxxgxfdxxfxg010)()()()(- 13 -).1()()()1()()()( gafaggafagaf （20）（本题满分13分）已知齐次线性方程组（i）,0,0532,032321321321axxxxxxxxx和（ii）,0)1(2,03221321xcxbxcxbxx同解，求a,b, c的值.【分析】方程组（ii）显然有无穷多解，于是方程组（i）也有无穷多解，从而可确定a，这样先求出（i）的通解，再代入方程组（ii）确定b,c即可.【详解】方程组（ii）的未知量个数大于方程个数，故方程组方程组（ii）有无穷多解.因为方程组
27、（i）与（ii）同解，所以方程组（i）的系数矩阵的秩小于3.对方程组（i）的系数矩阵施以初等行变换20011010111532321aa，从而a=2.此时，方程组（i）的系数矩阵可化为000110101211532321，故T)1,1,1( 是方程组（i）的一个基础解系.将1,1,1 321 xxx代入方程组（ii）可得2,1 cb或.1,0 cb当2,1 cb时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有110101312211，显然此时方程组（i）与（ii）同解.当1,0 cb时，对方程组（ii）的系数矩阵施以初等行变换，有000101202101，- 14 -显然此时方程组（i）与（i
28、i）的解不相同.综上所述，当a=2,b=1,c=2时，方程组（i）与（ii）同解.（21）（本题满分13分）设BCCADT为正定矩阵，其中A,B分别为m阶，n阶对称矩阵，C为nm矩阵.(I)计算DPPT，其中 nmEoCAEP 1；（II）利用(I)的结果判断矩阵CACB T 1是否为正定矩阵，并证明你的结论.【分析】第一部分直接利用分块矩阵的乘法即可；第二部分是讨论抽象矩阵的正定性，一般用定义.【详解】(I)因 nTmTEACoEP1，有DPPT = nTmEACoE1 BCCAT nmEoCAE 1= CACBoCAT 1 nmEoCAE 1= CACBooAT 1 .（II）矩阵CACB
29、 T 1是正定矩阵.由(I)的结果可知，矩阵D合同于矩阵.1 CACBooAMT又D为正定矩阵，可知矩阵M为正定矩阵.因矩阵M为对称矩阵，故CACB T 1为对称矩阵.对TX )0,0,0(及任意的0),( 21 TnyyyY，有.0)(),( 11 YCACBYYXCACBooAYX TTTTT故CACB T 1为正定矩阵.（22）（本题满分13分）设二维随机变量(X,Y)的概率密度为.,20,10,0,1),(其他xyxyxf - 15 -求：（I）(X,Y)的边缘概率密度)(),( yfxf YX；（II）YXZ 2的概率密度).(zf Z( III ) .2121 XYP【分析】求边缘
30、概率密度直接用公式即可；而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法，即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度;直接用条件概率公式计算即可.【详解】（I）关于X的边缘概率密度)(xf X =dyyxf ),( = . ,10,0,20其他 xdyx= . ,10,0 ,2其他 xx关于Y的边缘概率密度)(yfY =dxyxf ),( = . ,20,0,12其他 ydxy= . ,20,0,21其他 yy（II）令2)( zYXPzZPzFZ ，1）当0z时，02)( zYXPzFZ；2）当20 z时，2)( zYXPzFZ = 241 zz ;3)当2z时，.12)( zYXPz
31、FZ即分布函数为：.2,20,0,1,41,0)( 2zzzzzzFZ故所求的概率密度为：. ,20,0,211)(其他 zzzfZ- 16 -（III）.43411632121,212121 XPYXPXYP（23）（本题满分13分）设)2(, 21 nXXX n为来自总体N(0, 2 )的简单随机样本，X为样本均值，记.,2,1, niXXY ii求：（I）iY的方差niDYi ,2,1,；（II）1Y与nY的协方差).,( 1 nYYCov（III）若21 )( nYYc 是2的无偏估计量，求常数c.【分析】先将iY表示为相互独立的随机变量求和，再用方差的性质进行计算即可；求1Y与nY的
32、协方差),( 1 nYYCov，本质上还是数学期望的计算，同样应注意利用数学期望的运算性质；估计21 )( nYYc ，利用其数学期望等于2确定c即可.【详解】由题设，知)2(, 21 nXXX n相互独立，且),2,1(,0 2 niDXEX ii ，.0XE（I）nijjiii XnXnDXXDDY 1)11()(= nijji DXnDXn 22 1)11(= .1)1(1)1( 222222 nnnnnn （II）)(),( 111 nnn EYYEYYEYYCov = )()( 11 XXXXEYYE nn = )( 211 XXXXXXXE nn = 211 )(2)( XEXXEXXE n = 22121 )(20 XEXDXXXEnnjj - 17 -= .112 222 nnn （III）)()( 121 nn YYcDYYcE = ),(2 121 nYYCovDYDYc = 222 )2(2211 cnnnnnnnc，故.)2(2 nnc
