1、2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、填空题（本题共 6 小题，每小题 4 分，满分 24 分. 把答案填在题中横线上） （ 1） 设,0,0,0,1cos)(=xxxxxf若若其导函数在 x=0 处连续，则 的取值范围是. （ 2） 已知曲线 与 x 轴相切，则 可以通过 a 表示为 . bxaxy +=2332b =2b（ 3 ） 设 a0 ， 而 D 表示全平面，则= . ，xaxgxf其他若 ,10,0,)()(=DdxdyxygxfI )()(（ 4） 设 n 维向量 ；E 为 n 阶单位矩阵，矩阵 0,),0,0,( += bxbxxxaxAXXxxxfT， 中二
2、次型的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为-12. (1) 求 a,b 的值； (2) 利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 十一、 （本题满分 13 分） 设随机变量 X 的概率密度为 ;,8,1,0,31)(32其他若 =xxxf F(x)是 X 的分布函数. 求随机变量 Y=F(X)的分布函数. 十二、 （本题满分 13 分） 设随机变量 X 与 Y 独立，其中 X 的概率分布为 ， 7.03.021X而 Y 的概率密度为 f(y)，求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u). 2003 年全国硕士研究生入学统一考试 数学三答案 一、填空题
3、 (1)【答案】 2 【解 】 当 1 时，有 ,0,0,0,1sin1cos)(21=+=xxxxxxxf若若显然当 2 时，有 )0(0)(lim0fxfx=，即其导函数在 x=0 处连续. (2)【答案】 64a【解 】 由题设，在切点处有 4，有 03322= axy .220ax =又在此点 y 坐标为 0，于是有 0300230=+= bxax , 故 .44)3(6422202202aaaxaxb =(3)【答案】 2a【解 】 = =DdxdyxygxfI )()( dxdyaxyx 10,102= .)1(21021012adxxxadydxaxx=+=+(4)【答案】-1
4、【解 】 由题设，有 )1)(TTaEEAB += =TTTTaaE +11=TTTTaaE )(11+ =TTTaaE 21+ = EaaET=+ )121( , 于是有 0121 =+aa ，即 ，解得 0122=+aa .1,21= aa 由于 A8 时， F(x)=1. 对于 ，有 8,1x.131)(31 32=xdttxFx设 G(y)是随机变量 Y=F(X)的分布函数. 显然，当 0y 时， G(y)=0；当 时， G(y)=1. 1y对于 ，有 )1,0y)()( yXFPyYPyG = = )1(133+= yXPyXP = .)1(3yyF =+于是，Y =F(X)的分布函数为 .1,10,0,1,0)(=yyyyyG若若若十二、 【解 】 设 F(y)是 Y 的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y 的分布函数为 )( uYXPuG += 27.013.0 =+=+ XuYXPXuYXP 12= 227.0113.0 =+= XuYPXuYP . 由于 X 和 Y 独立，可见 G(u)= 27.013.0 + uYPuYP = ).2(7.0)1(3.0 + uFuF 由此, 得 U 的概率密度 )2(7.0)1(3.0)()( += uFuFuGug = ).2(7.0)1(3.0 + ufuf 13
