1、 Born to win11998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.把答案填在题中横线上.)(1) 设曲线 在点 处的切线与 轴的交点为 ,则 .()nfx(1,)x(0)nlim()nf(2) .2l1d(3) 差分方程 的通解为 .105tty(4) 设矩阵 满足 ,其中 , 为单位矩阵, 为,AB*28AE102E*A的伴随矩阵,则 .(5) 设 是来自正态总体 的简单随机样本,1234,X20N21Xa.则当 , 时,统计量 服从 分布,其bab自由度为 .二、选择题(本题共 5小题,每小题 3分,共 15分.每小题给出的四个
2、选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设周期函数 在 内可导,周期为 4.又 则曲线fx01lim1,2xfx在点 处的切线的斜率为 ( )yf5,f(A) (B) (C) (D) 1201(2) 设函数 讨论函数 的间断点,其结论为 ( )21lim,nnxfxfx(A) 不存在间断点 (B) 存在间断点 x(C) 存在间断点 (D) 存在间断点0 1(3) 齐次线性方程组 的系数矩阵记为 .若存在三阶矩阵 使得21320,xA0B,则 ( )0AB(A) 且 (B) 且2|02|0(C) 且 (D) 且 1 B(4) 设 阶矩阵3nBorn to win
3、2,11aaAa若矩阵 的秩为 ,则 必为 ( )1n(A) (B) (C) (D) 1 11n(5) 设 与 分别为随机变量 与 的分布函数.为使 ()Fx21X212()FxabFx是某一变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取 ( )(A) (B) 3,5ab2,3ab(C) (D) 12 1三、(本题满分 5分)设 ,求 与 .arctn2(yxzxedz2y四、(本题满分 5分)设 ,求 .2,DxyxDdxy五、(本题满分 6分)设某酒厂有一批新酿的好酒,如果现在(假定 )就售出,总收入为 .如果窖藏0t0()R元起来待来日按陈酒价格出售, 年末总收入为 假定银行的年利率为 ,并
4、以连续t250.tRer复利计息,试求窖藏多少年售出可使总收入的现值最大.并求 时的 值6rt六、(本题满分 6分)设函数 在 上连续,在 内可导,且 试证存在 使得(fxab()ab()0.fx,(,)ab).(ef七、(本题满分 6分)设有两条抛物线 和 ,记它们交点的横坐标的绝对值为21ynx21()ynxBorn to win3.na(1) 求这两条抛物线所围成的平面图形的面积 ；nS(2) 求级数 的和.1nSa八、(本题满分 7分)设函数 在 上连续.若由曲线 直线 与 轴所围(fx,(),yfx1,()xtx成的平面图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体体积为 2()()1.3Vttf
5、试求 所满足的微分方程,并求该微分方程满足条件 的解.yfx 29xy九、(本题满分 9分)设向量 都是非零向量,且满足条件 记1212(,),(,)TTnnab 0.T矩阵 求：n.TA(1) ；2(2) 矩阵 的特征值和特征向量.十、(本题满分 7分)设矩阵 矩阵 其中 为实数, 为单位矩阵.求对角矩阵102,A2(),BkEAkE,使 与 相似,并求 为何值时, 为正定矩阵.Bk十一、(本题满分 10分)一商店经销某种商品,每周进货的数量 与顾客对该种商品的需求量 是相互独立的XY随机变量,且都服从区间10,20上的均匀分布.商店每售出一单位商品可得利润 1000元；若需求量超过了进货量
6、,商店可从其他商店调剂供应,这时每单位商品获利润为 500元.试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值.十二、(本题满分 9分)设有来自三个地区的各 10名、15 名和 25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7 份和 5份.随机地取一个地区的报名表,从中先后抽出两份.(1) 求先抽到的一份是女生表的概率 ；p(2) 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率 .qBorn to win41998年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共 5小题,每小题 3分,满分 15分.把答案填在题中横线上.)(1)【答案】 1e【解析】曲线 在点 处的切线斜率
7、,根据点斜nyx(1,)1xy1nx1nx式,切线方程为： ().令 ,代入 ,则 ,即在 轴上的截距为 ,0y1nx1nx1n.lim()nflinlim()n1li()xxe(2)【答案】 Cx【解析】由分部积分公式, 2ln1d1lnxdx1lndx(l)分 部 2.ln1xdxn1Cxlnx【相关知识点】分部积分公式：假定 与 均具有连续的导函数,则()u()v或者,uvdxvdx.du(3)【答案】 51()()26ttyC【解析】首先把差分方程改写成标准形式 ,其齐次方程对应的特征方程152tty及特征根分别为 50,r故齐次方程的通解为 为常数.()ttYC将方程右边的 改写成
8、,此处“1”不是特征根,故令非齐次方程的一个特解为21t,tyABBorn to win5从而 代入原方程,得1()tyAtB5(),2Att56,0,2故 .17B于是通解为 51()().26ttttyYC(4)【答案】204【解析】由题设 ,*28ABE由于 ,所以 可逆.上式两边左乘 ,右乘 ,得20AA1*111(利用公式： )8BAE*1,E(移项)2(矩阵乘法的运算法则)将 代入上式,整理得 .A14EAB由矩阵可逆的定义,知 均可逆,且.114BEA1020241204(5)【答案】 ,201【解析】由于 相互独立,均服从 ,所以由数学期望和方差的性质,得 ,34,X2(0)N
9、 221212()0,()0EXDX所以 ,同理 .12()(0)N:34()(,1)X:Born to win6又因为 与 相互独立,且12()X34()X； ,12(0,10N:34()(01)XN:由 分布的定义,当 时,2,ab.22134()()()200X:即当 时, 服从 分布,其自由度为 .1,ab严格地说,当 时, ；当 时, 也是正确的.2(1)X:0ab2(1)X【相关知识点】1、对于随机变量 与 均服从正态分布,则 与 的线性组合亦服从正YY态分布.若 与 相互独立,由数学期望和方差的性质,有XY,()()(EabcaEbc,22)DXYDXY其中 为常数.,abc2、
10、定理：若 ,则 .2()XN:(0,1)N:3、 分布的定义：若 相互独立,且都服从标准正态分布 ,则1nZ (01)N.21()niZ二、选择题(本题共 5小题,每小题 3分,共 15分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)【答案】(D)【解析】根据导数定义： 0()(limxffxf0(1)lim2xf11)2f1所以 (2.xff因为 周期为 4, 的周期亦是 4,即 ,()f()(4)fxf所以 .514ffBorn to win7所以曲线 在点 处的切线的斜率为 .选(D).()yfx5,()f (5)f12f(2)【答案】(B)【
11、分析】讨论由极限表示的函数的性质,应分两步走.先求出该 的(分段)表达式,fx然后再讨论 的性质.不能隔着极限号去讨论.()fx【解析】现求 的(分段)表达式：当 时,1x；21()limnnxf21linx21lim0nx当 时, 1x；2()li1nnfx2li1n当 时, ；2()limnnf2lin0当 时, 1x.21()linnxf2li1nx201x由此, 即0,()1,1,0,.xfx当当当当当 ,1,()1,.xfx当 或当当再讨论函数 的性质：在 处,()fxx, ,1limx1lix101lim10xff所以, ,函数 在 处连续,不是间断点.li 0xff()f在 处,
12、 ； ；1lix1lix1lix1lix2所以 ,函数 在 处不连续,是第一类间断点.故选(B).1lixff()f(3)【答案】(C)Born to win8【解析】方法 1:由 知 ,又 ,于是0AB()3rB0,AB1()3,rA,故 ,即1()3rB,2 21100(1)0得 应选(C).1.方法 2:由 知 ,又 ,于是 ,故0AB()3rB,0AB()3,rA()rB.显然, 时 ,有 故应选(C).11()3,r作为选择题,只需在 与 中选择一个,因而可以用特殊值代入法.2评注：对于条件 应当有两个思路：一是 的列向量是齐次方程组 的解；二0ABB0Ax是秩的信息,即 ,要有这两
13、种思考问题的意识.()rn(4)【答案】(B)【解析】 110()11aaaaAaaa (1)002) 1naa 其中 变换：将 1行乘以(-1)再分别加到其余各行； 变换：将其余各列分别加到第 1() ()列.由阶梯形矩阵知,当 ,即 时,有 ,故应选(B).()0na1n()1rAn(5)【答案】(A)【解析】根据分布函数的性质 ,即lim()xFBorn to win9yxO.121lim()()()xFaFbab在所给的四个选项中只有(A)满足 ,故应选(A).【相关知识点】分布函数 的性质： (1) 单调不减；Fx(2) lim()0,lim()1;x xF(3) 是右连续的.三、(
14、本题满分 5分)【解析】 arctn arctn22()()()y yx xdzexde rtarctn22arctn2arct t12()()(2)()xyxyxyxdyyexdxydxed 由全微分与偏微分的关系可知,其中 的系数就是 ,即 .再对 求偏xzxarctn(2)yxxe导数,得 2 22arctnarctn arctn21(2) .yy yxx xz yeeex x 四、(本题满分 5分)【解析】 表示圆心为 ,半径为2(,Dxyx102的圆及其内部,画出区域 ,如右图.12方法 1: 22(,)|01xyxyx所以, ,2112000xDdddxdBorn to win10
15、令 ,则 , , 所以1xt21tdxt:10上式 .13502210 08()4()4ttttd方法 2:引入极坐标系 ,于是cos,inxryr,(,)|,0cos2D3cos cos2 220 032048.515Dxdyrddr 其中倒数第二步用了华里士公式：,其中 为大于 1的正奇数.20 42cos3nnd n五、(本题满分 6分)【分析】根据连续复利公式,在年利率为 的情况下,现时的 (元)在 时的总收入为rAt,反之, 时总收入为 的现值为 ,将 代入即得到总收()ertRtAt()Rt()erttR250e入的现值与窖藏时间 之间的关系式,从而可用微分法求其最大值.【解析】由
16、连续复利公式知,这批酒在窖藏 年末售出总收入 的现值为 ,而由t ()rttR题设, 年末的总收入 ,据此可列出 ：t 250tRe()At,()trrtAt令 ,dt250etr2501e0trt得惟一驻点 .021r2dAtt2501etrdRt2 25 50 01etr trdrrdtt t225500311tr trReRt tBorn to win112250 310trRertt.012325(.)rtdAe根据极值的第二充分条件,知： 是 的极大值点,又因驻点惟一,所以也是最大0t()At值点.故窖藏 年出售,总收入的现值最大.215tr当 时, (年).0.6r20.6t19【
17、相关知识点】极值的第二充分条件：设函数 在 处具有二阶导数且 ,)fx0 0()fx,当 时,函数 在 处取得极大值；当 时,函数0()fx0()fx()f0 0()f在 处取得极小值.六、(本题满分 6分)【分析】本题要证的结论中出现两个中值点 和 ,这种问题一般应将含有 和 的项分别移到等式两边后再用微分中值定理,为此本题只要证.()()(bafefe 【解析】方法 1: 函数 在 上连续,在 内可导,满足拉格朗日中值定理的条fx)ab件,对函数 在 上用拉格朗日中值定理,有()fxab()(),.f又函数 与 满足柯西中值定理的条件,将函数 与 在 上用柯西中值定理,()fxe ()fx
18、eab有 ,即 .()(),baffbee()()baff e（ ）从而有 ,即 .()()baff （ ） (),(,)bafeb方法 2：题中没有限制 ,因此取 ,即成为要去证存在 使(,)a.aeBorn to win12在 上对函数 用拉格朗日中值定理,存在 使,abxe(,)ab,1.abae即再取 ,则 ,原题得证.()1baf【相关知识点】1.拉格朗日中值定理：如果函数 满足在闭区间 上连续,在开区间 内可导,那么在 内至()fxabab,ab少有一点 ,使等式 成立.ab()()ff2. 柯西中值定理：如果函数 及 满足xF(1) 在闭区间 上连续；,(2) 在开区间 内可导；
19、()ab(3) 对任一 , ,x(0Fx那么在 内至少有一点 ,使等式 成立.(,)ab()()fbafF七、(本题满分 6分)【解析】(1)由 与 得21ynx21()ynx1.()na因图形关于 轴对称,所以,所求图形的面积为 220 3(1)41.()()()()nna nnSxxdan(2)由(1)的结果知,411()3()nSan根据级数和的定义, 1114414limlilim.333nnnk nkSaBorn to win13八、(本题满分 7分)【分析】本题是微分方程的几何应用问题.在题目中给出了由曲线 等围成的平面()yfx图形绕 轴旋转一周所形成的旋转体体积 与包含函数 的
20、一个恒等式,这正是列方程x()Vtf的依据.【解析】由绕 轴旋转的旋转体体积公式得 ,于是,依题意得21()()tfxd,即 .221()3tfxdtf 23()1ttf两边对 求导,化成微分方程t,223()()ftftft其中 为未知函数.按通常以 表示自变量, 表示未知函数 ,于是上述方程可写为()ft xy()ft22xyy即 3().dx这是一阶齐次微分方程.令 ,有 ,则上式化为yudux2()uxd即 (*)31.若 ,则 不满足初始条件 ,舍弃；00,yx29xy若 ,则 也不满足初始条件 ,舍弃；1u所以, ,且 .由(*)式分离变量得 两边积分得 .从而方程(*)的通解为3
21、,(1)dux31uCx为任意常数.3,yxC再代入初值,由 ,得 ,从而所求的解为29x33(1).xyy或【相关知识点】1. 对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均()tFfxd()t一阶可导,则 .()()()FtfttftBorn to win14九、(本题满分 9分)【解析】(1)对等式 两边取转置,有 ,即 .0T0TT利用 及矩阵乘法的运算法则,有0T,22TTATT即 是 阶零矩阵.2n(2)设 是 的任一特征值, 是 属于特征值 的特征向量,即 .(0)AA对上式两边左乘 得 ,由(1)的结果 ,得A2()220,因 ,故 ( 重根),即矩阵的全部特征值为零.20n下面求
22、 的特征向量：先将 写成矩阵形式.112122212, nTnn nnaababAb 不妨设 ,则有10,ab12112222212 1212() ()01(,)n nnnnni abbbaaEAbai 行行 加 到 行 0 于是得方程组 同解方程组 ,这样基础解系所含向量(0)EAx120nbxbx个数为 .1nrn选 为自由未知量,将它们的组值 代入,2x 111(,0),(,)(,)b 可解得基础解系为 12123111(,0,)(,)(,0,)nnbb 则 的属于 的全部特征向量为 ,其中 为不全为A12kk 2kBorn to win15零的任意常数.十、(本题满分 7分)【分析】由
23、于 是实对称矩阵, 必可相似对角化,而对角矩阵 即 的特征值,只要求出BBB的特征值即知 ,又因正定的充分必要条件是特征值全大于零, 的取值亦可求出.k【解析】方法 1：由,21012(2)()1EA可得 的特征值是 123,0.那么, 的特征值是 ,而 的特征值是kEA,k2()BkEA22(),.kk又由题设知 是实对称矩阵,则 故TA,22 2()()()T TBkkkB即 也是实对称矩阵,故 必可相似对角化,且.220()k:当 时, 的全部特征值大于零,这时 为正定矩阵.20k且 BB方法 2：由,21012(2)()1EA可得 的特征值是 123,0.因为 是实对称矩阵,故存在可逆
24、矩阵 使 ,即 .AP120A1AP那么 221121()()()BkEkkEP2.PP即 .故 .12()k22()0()kk:当 时, 的全部特征值大于零,这时 为正定矩阵.0且 BBBorn to win16O 10 20 xy 2D11020【相关知识点】1.特征值的性质：若 有特征值 ,则 的特征多项式 有特征值AA()fA.()f2.矩阵正定的充要条件是特征值全大于零.十一、(本题满分 10分)【解析】设 表示商店每周所得的利润,Z当 时,卖得利润为 (元)；YX10Y当 时,调剂了 ,总共得到利润X(元).105()5所以, , ,().ZY由题设 与 都服从区间 上的均匀分布,
25、联合概率密度为X102, ,102,(,)xyfxy其 他 .由二维连续型随机变量的数学期望定义得 1 21 220012100()(,)5()(,105()3()5246.7().3DDyyEZyfxdyxyfdxydxdxdy 元十二、(本题满分 9分)【解析】记事件 “第 次抽到的报名表是女生表” , “报名表是第 个jBj (12)jiAi地区的” .易见, 构成一个完备事件组,且(123)i123,A11213(,)75,.052iPBPBABorn to win17(1) 应用全概率公式,知.31137529()010iiipPBAPB(2) .需先计算概率 与 .对事件 再次用全概率公式：12q1222B,312121 37852()091490iii由“抽签原理”可知 ,26()90PB.1212()21q【相关知识点】1.全概率公式：如果事件 构成一个完备事件组,即它们是两两互1,nA不相容,其和为 (总体的样本空间)；并且 ,则对任一事件 有0,2iPn B.1()|niiiPB
