1、 Born to win11997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)(1) 设 ,其中 可微,则 _.()lnfxyfefdy(2) 若 ,则 _.12201()()x10()fx(3) 差分方程 的通解为_.1ttty(4) 若二次型 是正定的,则 的取值范围是222313123(,)fxxxtt_.(5) 设随机变量 和 相互独立且都服从正态分布 ,而 和 分XY2(0)N19,X 19,Y别是来自总体 的简单随机样本,则统计量 服从_和 2219UY 分布(2 分),参数为_.二、选择题(本题共 5
2、小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 设 ,则当 时, 是 的 ( )561cos20()in,()xxftdg 0x()fxg(A) 低阶无穷小 (B) 高阶无穷小(C) 等价无穷小 (D) 同阶但不等价的无穷小(2) 若 ,在 内 ,且 ,则在()()fxfx(,0)(fx()0fx内有 (0,)( )(A) , (B) ,fx()0f()0fx()f(C) , (D) ,() (3) 设向量组 , , 线性无关,则下列向量组中,线性无关的是 ( )123(A) , , 1(B) , ,12323(C)
3、 , ,Born to win2(D) , ,1231231235(4) 设 为同阶可逆矩阵,则 ( )AB(A) (B) 存在可逆矩阵 ,使 P1AB(C) 存在可逆矩阵 ,使 (D) 存在可逆矩阵 和 ,使CTABQ(5) 设两个随机变量 与 相互独立且同分布：XY,2XY1PX,则下列各式中成立的是 ( )2Y(A) (B) 11PXY(C) (D) 04PX 4三、(本题满分 6 分)在经济学中,称函数 1()()xxQAKL为固定替代弹性生产函数,而称函数 1为 Cobb-Douglas 生产函数(简称 CD 生产函数).试证明：但 时,固定替代弹性生产函数变为 CD 生产函数,即有
4、0x.lim)Q四、(本题满分 5 分)设 有连续偏导数, 和 分别由方程 和(ufxyz()yx()z0xye所确定,求 .0xezdu五、(本题满分 6 分)一商家销售某种商品的价格满足关系 (万元/吨), 为销售量(单位：吨),70.2pxx商品的成本函数 (万元).31Cx(1) 若每销售一吨商品,政府要征税 (万元),求该商家获最大利润时的销售量；t(2) 为何值时,政府税收总额最大.t六、(本题满分 6 分)Born to win3设函数 在 上连续、单调不减且 ,试证函数()fx0,)(0)f01(,()xntfdxF若若在 上连续且单调不减(其中 ).0,)七、(本题满分 6
5、分)从点 作 轴的垂线,交抛物线 于点 ；再从 作这条抛物线的切1(,Px2yx1(,)Q1线与 轴交于 ,然后又从 作 轴的垂线,交抛物线于点 ,依次重复上述过程得到一系x22Px2列的点 .1,;,nQ (1) 求 ；nO(2) 求级数 的和.12nPQP 其中 为自然数,而 表示点 与 之间的距离.()1M12八、(本题满分 6 分)设函数 在 上连续,且满足方程ft0,224241()()txytfefxyd求 .()ft九、(本题满分 6 分)设 为 阶非奇异矩阵, 为 维列向量, 为常数.记分块矩阵Annb，0TTEAPQ其中 是矩阵 的伴随矩阵, 为 阶单位矩阵. n(1) 计算
6、并化简 ；(2) 证明：矩阵 可逆的充分必要条件是 .Q1TAbBorn to win4十、(本题满分 10 分)设三阶实对称矩阵 的特征值是 1,2,3；矩阵 的属于特征值 1,2 的特征向量分别是AA.12,(1,)TT(1) 求 的属于特征值 3 的特征向量；(2) 求矩阵 .十一、(本题满分 7 分)假设随机变量 的绝对值不大于 1； ；在事件X11,84PX出现的条件下, 在 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长1(,)度成正比.试求 的分布函数 .Fxx十二、(本题满分 6 分)游客乘电梯从底层到电视塔顶层观光；电梯于每个整点的第 5 分钟、25 分钟和 55 分钟从底层起行
7、. 假设一游客在早晨八点的第 分钟到达底层候梯处,且 在 上均匀XX0,6分布,求该游客等候时间的数学期望.十三、(本题满分 6 分)两台同样自动记录仪,每台无故障工作的时间服从参数为 5 的指数分布；首先开动其中一台,当其发生故障时停用而另一台自行开动.试求两台记录仪无故障工作的总时间 的概率密度 、数学期望和方差.T()ftBorn to win51997 年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题共 5 分,每小题 3 分,满分 15 分.把答案在题中横线上.)(1)【答案】 ()1lnlnfxexfxd【解析】题目考察复合函数的微分法,利用链式法则计算如下：由 可知()
8、lfxyf()()()1nlnl.fxfxfxdedfed (2)【答案】 4【分析】本题中 是个常数,只要定出这个数问题就解决了.10()fxd【解析】令 ,则 ,两边从 0 到 1 作定积分得A221()fAx,11200xx10arctn4A解得 . 4A【评注】本题主要考查定积分的概念和计算.本题中出现的积分 表示单位120xd圆在第一象限部分的面积,可直接根据几何意义求得.考生务必注意这种技巧的应用.(3)【答案】 (2)ttyC【解析】对应的齐次差分方程是 ,显然有不恒等于零的特解 .10tty1ty因方程的右端函数 ,可设非齐次差分方程的特解有形式()tf,2tyAB代入方程得
9、由于 ,于是()0,12.ttt 0t,t可确定 ,即非齐次差分方程有一个特解是 .1,2AB(2)ty从而,差分方程的通解是 .(2)ttyCBorn to win6(4)【答案】 2t【解析】二次型 对应的矩阵为123(,)fx.012tA因为 正定 的顺序主子式全大于零.又f,212311,At故 正定 ,即 .f20tt(5)【答案】 分布,参数为 9【解析】由 是来自总体 的简单随机样本,故 独立,且都服从正态1,X X19,X分布 .类似有 相互独立,且都服从正态分布 .2(0,3)N9Y 2(03)N又因服从正态分布的独立随机变量的线性组合也服从正态分布,即.219(,)XN 其
10、中 , .()E 19()DXX由期望的性质, ；192() 0EEE 由独立随机变量方差的性质, ,21919()81D 故 .2(0,9)XN因 ,故 ,所以,21(3)Y 0(,),2)iYNi.9219)ii由 分布的定义,现已有 ,将其标准化得 ,故 .t 2(0)XN 0(1)9XN09()XtYBorn to win7化简有 ,即 .(9)XtY19192222()()XXtYY 【相关知识点】1.数学期望的性质： ,其中 为()(EabcaEbYc,ab常数.2.方差的性质： 与 相互独立时, ,其中 为XY22()()()DXYDX,常数.3. 分布的定义：若 相互独立,且都
11、服从标准正态分布 ,则21,nZ (01)N, .2()i21()i4.若 ,则 .2(ZNu0,uN5. 分布的定义：若 , , 独立,则 .t()X2()YnX()XTtnY二、选择题(本题共 5 小题,每小题 3 分,满分 15 分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)【答案】(B)【分析】只要求出极限 就能判断出正确的选项.0()limxfg【解析】用变上限积分求导公式及重要的等价无穷小关系,得 1cos2 205640 05244000in()(sin)(1cos)lilil1(cos)limlilim,xxxxxxxtdf xg故应
12、选(B).【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一()tFfxd()t阶可导,则.()()()Ftfttft2.无穷小的比较：Born to win8设在同一个极限过程中, 为无穷小且存在极限 ,(),x()limxl(1) 若 称 在该极限过程中为同阶无穷小；0,l,(2) 若 称 在该极限过程中为等价无穷小,记为 ；1()x()x:(3) 若 称在该极限过程中 是 的高阶无穷小,记为 .,l ()x()ox若 不存在(不为 ),称 不可比较.)limx,(2)【答案】(C) 【解析】题目考察抽象函数的凹凸性和单调性的问题.方法 1：由 知, 的图形关于 轴对称.由在
13、内,()fxf()(fxy(0)且 知, 的图形在 内单调上升且是凸的；由对称性知,在0fx0)内, 的图形单调下降,且是凸的,所以应选(C).()(f方法 2：由 可知 .)xf()(,)(fxfxf当 时, ,此时由题设知 , ,则(000)x,)()()fxfx故应选(C).方法 3：排除法.取 ,易验证 符合原题条件,计算可知(A)、(B)、(D)三个2()f()f选项均不正确,故应选(C).方法 4：由题设可知 是一个二阶可导的偶函数,则 为奇函数, 为偶函数,又()fx()fx()fx在 内 ,则在 内 ,故应选(C).(,0)0(,)0(3)【答案】(C) 【分析】这一类题目最好
14、把观察法与 技巧相结合.123123(,)(,)C【解析】对于(A), ,即存在一组不全为零的数 1,1230-1,1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知 线性相关,排除(A)；1231对于(B), ,即存在一组不全为零的数 1,1,1231230Born to win9-1,使得等式为零,根据线性相关的定义可知 线性相关,排除123123,(B)；对于(C),简单的加加减减得不到零,就不应继续观察下去,而应立即转为计算行列式.设有数 使得123k,1223130kk整理得 312.k a已知 , , 线性无关,上式成立,当且仅当 1231320k因的系数行列式 ,故有唯一零解,即 .故原向
15、量组0123123k, , 线性无关.应选(C).121或者也可以将 , , 用 线性表出,且写成矩阵形式,有123123,12312312310, ,C记,则 可逆,故两向量组是等价向量组,由 , , 线性无关知 ,20C12312, 线性无关.31(4)【答案】(D)【解析】方法 1：用排除法.任意两个同阶可逆矩阵不具备乘法的交换律,不一定相似,也不一定合同.例如,若 ,由于特征值不同,故不相似,又对应二次型的正、01032A,B负惯性指数不同,故也不合同,(B)、(C)不成立；若 ,则 10,10236ABBorn to win10.1012306BA,AB故(A)不成立；应取(D).方
16、法 2：因 是同阶(设为 )可逆阵,故有 而,nrn,等价 存在可逆阵 使得rABPQAB.(这里只需取 既有 成立),故应选(D).1P,Q,1PAB或者,因 是同阶可逆阵,故 均可以通过初等行变换化成单位阵,AE,B,行 变 换 行 变 换即存在初等阵 使得1212srPW, ,从而有 ,得 .故(D)成立.AEB1APQB1(5)【答案】(A)【解析】因 和 相互独立, 而XY,11,122PXPY故有：；, 4P；1112XYY；,PX；4P,11,2XYYY故(A)正确,(B)错；,0,4PPX故(C)错；,111,2XYYY故(D)错.三、(本题满分 6 分.)Born to wi
17、n11【分析】要证明 ,只须证明 即可,因为 为指数函数,因0lim()xQ0limn()lxQ()Qx此化为对数形式便于极限计算.【解析】因为 ,而且1ln()ll()xxAKL0 1()illnlm(1)nll(),xxxxx LKK所以, ,10li()xQAAL于是, .1L四、(本题满分 5 分.)【解析】由题设有. (*)dufdyfzxx在 中,将 视为 的函数,两边对 求导,得0xyex. (1)2()01xyxydyde在 中,将 视为 的函数,两边对 求导,得0zez. (2)0z zddxxexy将(1)、(2)两式代入( )式,得.21ufyfzfdxxx【相关知识点】
18、1.多元复合函数求导法则：若 和 在点 处偏导(,)uy(,)vxy(,)数存在,函数 在对应点 具有连续偏导数,则复合函数(,)zfuv()v在点 处的偏导数存在,且(,)zfxyxy.,zffvzfufvuyBorn to win12五、(本题满分 6 分)【分析】要求获得最大利润时的销售量,需写出利润与销售量之间的的关系 ,它是商品()x销售总收入减去成本和政府税收.正确写出 后,满足 的 即为利润最大时()x0()x0的销售量,此时, 是 的函数,当商家获得最大利润时,政府税收总额 ,再由导0()xt ()Ttx数知识即可求出既保证商家获利最多,又保证政府税收总额达到最大的税值 .【解
19、析】(1)设 为总税额,则 .商品销售总收入为Ttx.2(7.2)0Rpx利润函数为 .2.310.(4)1Ctxtx令 ,即 ,得 .()0x.4xt45().t由于 ,因此, 即为利润最大时的销售量5()2(2)将 代入 ,得 .5()2xtTtx4tt210t由 ,得惟一驻点 ；由于 ,可见当 时 有极10T ()5T2tT大值,这时也是最大值,此时政府税收总额最大.六、(本题满分 6 分)【分析】当 时, 显然连续,故只要证 ,且当 时,0x(Fx0lim()xF0x即可.()F【解析】方法 1：显然 时, 连续,又由洛必达法则知0x()x,00 0lim()lilim()(0)nnx
20、xxtfdFfF所以 在 上连续.(),当 时,x.1 1022()()()()() ,0xnnnnxftfdxffxF x由于 单调不减,故 ,又 ,从而 .()fx()fnnnffBorn to win13O 3P21x1Q21 2yxy于是有 .故 在 上单调不减.()0Fxx()Fx0,)方法 2：连续性证明同上.由于 1020002 2()()() ()0,xnnxxxnnnnftfdftftftfdt可见, 在 上单调不减.()Fx,)【评注】本题主要考查变上限定积分求导,洛必达法则.请考生注意本题两种证法中对于的不同处理方法.()【相关知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若
21、, , 均一()tFfxd()t阶可导,则.()()()Ftfttft七、(本题满分 6 分)【分析】先作出草图,再求出曲线 在任一点 上的切线方程及其与 轴的交点,2yx2(,)ax然后依此类推,得出一系列与 轴交点的坐标.最后进行相应计算即可.【解析】(1)由 ,得 .对于任意 ,2yx(01)抛物线 在点 处的切线方程为()a.2yx且该切线与 轴的交点为 ,故由 可见x(0)1OP213221,.nOPP (2)由于 ,可见214nnnQOBorn to win14.1104mnnQP利用几何级数求和公式 即得0()nx.101443mnQP【评注】本题是级数与微分学的综合题,本题中所
22、得的级数仍为收敛的几何级数,利用几何级数求和公式即可求出它的和.八、(本题满分 6 分)【解析】将直角坐标化为极坐标,由于,2 2 220 041()()()t txyt rrfxydfdfd可得 .在积分中作换元 ,又有20()trfef s.0()()t trdsd于是, 满足积分关系式 .()ft 248t tftfse在上式中令 得 .利用变上限积分的求导公式,将上式两端对 求导,得t()1 t.24()tffte上述方程为关于 的一阶线性微分方程,利用一阶线性微分方程通解公式,得t,其中常数 待定.224()tfCe由 可确定常数 ,因此, .(0)1f1224(1)tftte【相关
23、知识点】1.对积分上限的函数的求导公式：若 , , 均一()tFfxd()t阶可导,则.()()()Ftfttft2. 一阶线性非齐次微分方程的标准形式为 ,其通解公式为 ypxq,其中 为常数.()()pxdpxdyeqeCBorn to win15九、(本题满分 6 分)【解析】(1)由 及 ,有*AE1*A*10.T TTTAPQ bAbA (2)用行列式拉普拉斯展开式及行列式乘法公式,有,0TEP2110TTAQAbb又因 是非奇异矩阵,所以 ,故 .A1TQ由此可知 可逆的充要条件是 ,即 ,亦即 .01Tb评注：本题考查分块矩阵的运算,要看清 是 1 阶矩阵,是一个数.TA【相关知
24、识点】1.两种特殊的拉普拉斯展开式：设 是 阶矩阵, 是 阶矩阵,则 mBn.*,AOBB *1mOA2.行列式乘积公式：设 是两个 阶矩阵,则乘积 的行列式等于 和 的行列式的,nA乘积,即 .A十、(本题满分 10 分)【解析】(1)设 的属于 的特征向量为 ,因为实对称矩阵属于不同特33123Tx,征值的特征向量相互正交,故 1312320Tx,.解上述方程组,设方程组的系数矩阵为 ,对 进行初等行变换：12BB,101203BBorn to win16系数矩阵的秩为 2,根据基础解系的个数与系数矩阵秩之间的关系,我们得到基础解系的个数为 1,解得 ,即 的对应于 的特征向量为 其中 为
25、非零常10TA3310Tk,k数.(2)方法 1：令 ,则有123120P,1203PA,即 ,其中 计算如下：A 21313 12 230001321036010022E 得 ,121630P.1021325210613A 方法 2：因 是对称矩阵,不同特征值对应的特征向量互相正交,故存在正交阵 (对 单QP位化),使 , ,其中 .1TQATAQ11362011362Born to win1711113623302661111036233251242100636102TAQ .方法 3：由于矩阵 的特征值是 1,2,3,特征向量依次为 ,利用分块矩阵有A123,.123123(,)(,)因
26、为 是不同特征值的特征向量,它们线性无关,于是矩阵 可逆.故123, 123(,)1112312323(,)(,)40054021.6612333A 【评注】本题有两个难点,一是能否由“实对称矩阵”挖掘出隐含的信息,通过正交性求出,另一个难点就是反求矩阵 .3A十一、(本题满分 7 分)【分析】求分布函数 实质上是求 的概率.(FxPXxXx【解析】由 的绝对值不大于 1,可得X当 时, ；1x()0当 时, ；1x又 ,则84PX；15184xPXBorn to win18由题意 在 内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间长度成正比,那么当X(1)的值属于 的条件下 ,事件 的条件概率为：
27、,1Xx(其中 为比例正常数),(1)1| 2xPxkkk又 ,|X而 ,11| 2k所以 ,故 ；k|xPx当 时, ,1x11XX所以 .,x由条件概率公式,有 11,1|15,286PPXxPXx,()1FxPx而 ,1108XPX所以 ,57() 61xxxx故所求的 的分布函数为 .X0,157()16,Fx 十二、(本题满分 6 分)【解析】已知 在 上均匀分布,则其密度函数为：X01,60,()6xfx 其 他 .设 表示游客等候电梯的时间(单位：分钟),由于电梯于每个整点的第 5 分钟,25 分钟,Y55 分钟起行,则Born to win19当 时,游客需等候时间 ；05X5
28、YX当 时,游客需等候时间 ；22当 时,游客需等候时间 ；当 时,游客需等候时间 (这个时间段到达,就需要6605X等下个整点的第分钟,所以是 ).故 是关于到达时刻 的函数：YX,22()5,5,660.YgXX由随机变量函数期望的定义,有 5255600 251()()()01 ()6(2.437.)1.6EYgxfdgxdgxdxd 【相关知识点】1.随机变量函数期望的定义：若随机变量 ,且 存在,则有 .()YgXEY()gxfd十三、(本题满分 6 分)【解析】设 表示先后开动的记录仪无故障工作的时间,则两台记录仪无故障工作的12和总时间为 .TX由于每台无故障工作的时间都服从参数
29、为的指数分布,则 的概率密度函数为12X和.5,0()xef因为两台仪器是独立的,则其无故障工作的时间显然也是相互独立的,即 独立,应用12和两个独立随机变量之和的卷积公式：当 时, 的概率密度为0tT.5()5120()() 2txt tftfxtdede当 时, ,即t5,()0,.teft由指数分布的期望和方差的结论,有Born to win20, ,1215EX215DX由期望的性质,有,1212()TE由独立随机变量方差的性质,有.121212()5DXDX【相关知识点】1.指数分布的期望和方差的结论：若 服从参数为 的指数分布,则其期望 ,方差 .E2DX2. 与 相互独立,数学期望和方差的性质:XY,()()(EaXbYcabYc,22)DX其中 为常数.,abc
