1、第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何圆锥曲线中的存在性问题一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替（1）点：坐标 0,xy（2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量）（3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程3、解决存在性问题的一些技巧：（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。（2）核心变量的选取：
2、因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。（3）核心变量的求法：直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组） ，运用方程思想求解。二、典型例题：例 1：已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点 的直线 与 相2:10xyCab3FlC交于 两点，当 的斜率为 时，坐标原点 到 的距离为 。 ,ABl Ol2（1）求 的值 ,ab（2） 上是否存在点 ，使得当 绕 旋转到某一位置时，有 成立？若CPlFPOAB存在，求出所有的 的坐标
3、和 的方程，若不存在，说明理由解：（1） 3:3:21ceabc第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何则 ，依题意可得： ，当 的斜率为 时3,2acb,0Fcl1: 0lyxyc解得： 2Olcd1椭圆方程为： 3,ab23xy（2）设 ，0,Pxy12,AyB当 斜率存在时，设 l:lkxO012y联立直线与椭圆方程： 消去 可得： ，整理可得：236kxy22316xk22360kxk12312122264kkykx因为 在椭圆上2264,3kPP22 63kk 2 24 2786436kk22kk当 时， ， :1lyx2,P当 时， ，2k:2l3,第九章 圆锥曲线中的存在性问题
4、解析几何当斜率不存在时，可知 ， ，则 不在椭圆上:1lx2323,1AB2,0P综上所述： ， 或 ，:2ly,P:1lyx3,例 2：过椭圆 的右焦点 的直线交椭圆于 两点， 为其2:10xab2F,AB1F左焦点，已知 的周长为 8，椭圆的离心率为1AFB3（1）求椭圆 的方程（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 恒有两个交点 ，,PQ且 ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由OPQ解：（1）由 的周长可得：1AFB482a32cea21bc椭圆 :14xy（2）假设满足条件的圆为 ，依题意，若切线与椭圆相交，则圆应含在椭圆内22xyr01r若直线 斜率存在
5、，设 ，PQ:Pkm12,PxyQ与圆相切 22Oldrk即0OP120xy联立方程： 24ykxm24840kmx212128,xxkk2212111ymxx第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何2 212121xykxkmx22 2484km2541k对任意的 均成立20mk,m将 代入可得：r225140rk22541k存在符合条件的圆，其方程为： 25xy当 斜率不存在时，可知切线 为PQPQ若 ，则2:5x22,55符合题意0O:x若 ，同理可得也符合条件2:5PQx综上所述，圆的方程为： 245xy例 3：已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，左，右焦点分别为210ab,312和1,0
6、Fc2,（1）求椭圆 的方程C（2）设椭圆 与 轴负半轴交点为 ，过点 作斜率为 的直线 ，交椭xA4,0M0kl圆 于 两点（ 在 之间） ， 为 中点，并设直线 的斜率为,BD,NBDON1k 证明： 为定值1k 是否存在实数 ，使得 ？如果存在，求直线 的方程；如果不存在，请说明1FAl理由第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何解：（1）依题意可知： 可得：12cea:2:31bc椭圆方程为： ，代入 可得：243xyc0,椭圆方程为：21（2） 证明：设 ，线段 的中点12,BxyDB0,Nxy设直线 的方程为： ，联立方程：l 4k化为：2431ykx22236410xk由 解得：
7、 且024k221213,3kxk212063x024y104ykxk13k 假设存在实数 ，使得 ，则1FNAD1FNADk1 20 2436FNykkx22AD1 2441FNAkxk即 22222688xkxk因为 在椭圆上，所以 ，矛盾D2,x所以不存在符合条件的直线 l例 4：设 为椭圆 的右焦点，点 在椭圆 上，直线F2:10yEab31,2PE第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何与以原点为圆心，以椭圆 的长半轴长为半径的圆相切0:3410lxyE（1）求椭圆 的方程E（2）过点 的直线 与椭圆相交于 两点，过点 且平行于 的直线与椭圆交于另Fl,ABPAB一点 ，问是否存在直
8、线 ，使得四边形 的对角线互相平分？若存在，求出 的方QQl程；若不存在，说明理由解：（1） 与圆相切0l25Oldr2a将 代入椭圆方程 可得：31,P214xyb3椭圆方程为：23（2）由椭圆方程可得： 1,0F设直线 ，则:lykx3:12PQykx联立直线 与椭圆方程：消去 可得：2134xyy2243840kxk22221811k221 243kABxk同理：联立直线 与椭圆方程：PQ消去 可得：23134ykxy22243814130kxkxk222222814k 第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何222141433kPQkk因为四边形 的对角线互相平分AB四边形 为平行四边
9、形PQ222141433kkk解得： 存在直线 时，四边形 的对角线互相平分:40lxyPABQ例 5：椭圆 的左右焦点分别为 ，右顶点为 ， 为椭圆2:1Cab12,FAP上任意一点，且 的最大值的取值范围是 ，其中112PF,3c2cab（1）求椭圆 的离心率 的取值范围e（2）设双曲线 以椭圆 的焦点为顶点，顶点为焦点， 是双曲线 在第一象限上任2C1 B2C意一点，当 取得最小值时，试问是否存在常数 ，使得 恒成e 011AFB立？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由解：（1）设 12,0,PxyFc2Fcxy21xyc由 可得： 代入可得：2ab22bxa2222221 1cPF
10、xycxbca,a212maxPFb第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何22222334cacbca2114ee（2）当 时，可得：2,3acb双曲线方程为 ， ，设 ，213xyc1,0,AFc0,Bxy0,y当 轴时，AB00,c因为1tan3Fc14B12A12所以 ，下面证明 对任意 点均使得 成立211BF考虑 10 01tan,tanAByyFkAkxcxc0011 222 00tanta2 yxcc 由双曲线方程 ，可得：23xyc2203yx 222200000042ccxcx01 100tan tanyxyBFABAFcx112结论得证时， 恒成立11BAF例 6：如图，
11、椭圆 的离心率是 ，过点 的动直线 与2:0xyEab20,1Pl第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何椭圆相交于 两点，当直线 平行于 轴时，直线 被椭圆 截得的线段长为,ABlxlE2（1）求椭圆 的方程E（2）在平面直角坐标系 中，是否存在与点 不同的定点 ，使得对于任意直线 ，xOyPQl恒成立？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由QAPBQ解：（1） 2cea:2:1abc椭圆方程为21xyb由直线 被椭圆 截得的线段长为 及椭圆的对称性可得：lE2点 在椭圆上2,12bb24a椭圆方程为14xy（2）当 与 轴平行时，由对称性可得：l PAB即1QAPBAQB在 的中垂线
12、上，即 位于 轴上，设y0,y当 与 轴垂直时，则lx0,2,21,1PAB002,2QAyBy可解得 或02yQ010不重合 ,002下面判断 能否对任意直线均成立,Q第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何若直线 的斜率存在，设 ，l:1lykx12,AyBx联立方程可得：22440xk由 可想到角平分线公式，即只需证明 平分QAPBQPBA只需证明0AQBAQBkk12,xy12,QAQBykkx2112212121AByxyxyx因为 在直线 上， 代入可得：12,xyk12kyx2112112QABkxxk联立方程可得：22440ykkx12122,x2401QABkkk成立0AB平
13、分 由角平分线公式可得：PQAPB例 7：椭圆 的上顶点为 ， 是 上的一点，以 为2:10xyCab4,3bCAP直径的圆经过椭圆 的右焦点 F（1）求椭圆 的方程第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何（2）动直线 与椭圆 有且只有一个公共点，问：在 轴上是否存在两个定点，它们到直lCx线 的距离之积等于 1？若存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，请说明理由l解：由椭圆可知： 0,AbFc为直径的圆经过 PPF4,3bcc2224003bc由 在椭圆上，代入椭圆方程可得：,P2221619baa22403ccb椭圆方程为21xy（2）假设存在 轴上两定点 ，12,0,M12设直线 :l
14、ykxm所以依题意：1 2122,1Ml Mlkdd122 21 1222 1llkkmk 因为直线 与椭圆相切， 联立方程：222140ykxmkxk由直线 与椭圆相切可知l 2221m化简可得： ，代入可得：21k第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何2 211 2 22112 1kmkkmkk，依题意可得：无论 为何值，等式均成立21120,11220所以存在两定点： 12,0M例 8：已知椭圆 的左右焦点分别为 ，点 是 上任意一点， 是坐2:4Cxy12,FP1CO标原点， ，设点 的轨迹为12OQPFQ2C（1）求点 的轨迹 的方程（2）若点 满足： ，其中 是 上的点，且直线T
15、MNO,MN2的斜率之积等于 ，是否存在两定点，使得 为定值？若存在，求出,OMN14TAB定点 的坐标；若不存在，请说明理由AB（1）设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则Q,xyP0,xy2041y由椭圆方程可得： 123,0,F且12OP10203, ,xyPFxy代入到 可得：0,Qxy022xyy2041xy214y（2）设点 ，,Tx12,MyNx2ONO1212,xyxyxy第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何21xy设直线 的斜率分别为 ，由已知可得：,OMN,OMNk 214OMNykx121240xy考虑 22114xy221121246xyxyxy是 上的点 ,MN2C
16、2240xy即 的轨迹方程为 ，由定义可知， 到椭圆 焦点的距离和为定值T215xyT2105xy为椭圆的焦点 ,AB,015,AB所以存在定点 ,例 9：椭圆 的焦点到直线 的距离为 ，离心率为2:10xyEab30xy105，抛物线 的焦点与椭圆 的焦点重合，斜率为 的直线 过252:GpEkl的焦点与 交于 ，与 交于E,AB,CD（1）求椭圆 及抛物线 的方程（2）是否存在常数 ，使得 为常数？若存在，求出 的值；若不存在，请说1明理由解：（1）设 的公共焦点为,EG,0Fc1025Flcd2ea221bac第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何2:15xEy28（2）设直线 ，:2
17、lykx1234,AyBxCyDx与椭圆联立方程： 2225050kk2121200,5kxxk22211514kABx直线与抛物线联立方程： 22224808ykxk是焦点弦 234kxCD2341Ck222220511505818181kkkABk 若 为常数，则 1CD205465例 10：如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的离心率为 ，xOy2:10xyCab63直线 与 轴交于点 ，与椭圆 交于 两点，当直线 垂直于 轴且点 为椭圆 的lxE,ABlxEC右焦点时，弦 的长为AB263（1）求椭圆 的方程C（2）是否存在点 ，使得 为定值？若存在，E21B请求出点 的坐标，并求出该定
18、值；若不存在，请说明理由第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何解：（1）依题意可得： 63cea:3:12abc当 与 轴垂直且 为右焦点时， 为通径lxEAB263bABa6,2ab216xy（2）思路：本题若直接用用字母表示 坐标并表示 ，则所求式子较为复杂，,AEB,EAB不易于计算定值与 的坐标。因为 要满足所有直线，所以考虑先利用特殊情况求出 点E E及定值，再取判定（或证明）该点在其它直线中能否使得 为定值。21解：（2）假设存在点 ，设 0,x若直线 与 轴重合，则ABx6,AB006,Ex20222001116x若直线 与 轴垂直，则 关于 轴对称ABx,AB设 ，其中 ，代
19、入椭圆方程可得：00,yy2 2163xx203xE2222006xEAB，可解得：2 2220000201666xxx0322201xEAB若存在点 ，则 。若 ，设3,3,E12,AxyB第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何设 ，与椭圆 联立方程可得： ，消去 可得：:3ABxmyC236xymy2260y121233,yy，同理：2222111myyEAx 221,myEB2121222221 1ymB 代入 可得：121233,yym2222 2222 216333189913mEAB所以 为定值，定值为221若 ，同理可得 为定值3,0E221EAB综上所述：存在点 ，使得 为定
20、值3,0221E三、历年好题精选1、已知中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆 过点 ，2:10xyab3,2P离心率为 ，过直线 上一点 引椭圆 的两条切线，切点分别是2:4lxME,AB（1）求椭圆 的方程E（2）若在椭圆 上的任一点 处的切线方程是210yab0,Nxy第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何，求证：直线 恒过定点 ，并求出定点 的坐标021xyabABC（3）是否存在实数 ，使得 恒成立？（点 为直线 恒过BCAB的定点） ，若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由2、已知椭圆 的一个焦点与抛物线 的焦点重合，2:10xyCab24yx是椭圆 上的一点31,D（1）求椭圆 的
21、方程（2）设 分别是椭圆 的左右顶点， 是椭圆 上异于 的两个动点，直线,ABC,PQC,AB的斜率之积为 ，设 与 的面积分别为 ，请问：是否存在常PQ14AB12S数 ，使得 恒成立？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由R12S3、已知椭圆 经过点 ，离心率为 ，左，右焦点分别为20xyab,32和1,0Fc2,（1）求椭圆 的方程C（2）设椭圆 与 轴负半轴交点为 ，过点 作斜率为 的直线 ，交椭xA4,0M0kl圆 于 两点（ 在 之间） ， 为 中点，并设直线 的斜率为,BD,NBDON1k 证明： 为定值1k 是否存在实数 ，使得 ？如果存在，求直线 的方程；如果不存在，请说明
22、1FAl理由4、已知圆 ，定点 ，点 为圆 上的动点，点 在2:536Mxy5,0NPMQ上，点 在 上，且满足 NPG2PQG（1）求点 的轨迹 的方程C（2）过点 作直线 ，与曲线 交于 两点， 是坐标原点，设 ，,0l,ABOSOAB是否存在这样的直线 ，使得四边形 的对角线相等（即 ）？若存在，求S第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何出直线 的方程；若不存在，试说明理由l5、 （2014，福建）已知双曲线 的两条渐近线分别为2:10,xyEab， 1:2lyx:ly（1）求双曲线 的离心率（2）如图， 为坐标原点，动直线 分别交直线 于 两点（ 分别在第一、四Ol12,l,AB,象
23、限） ，且 的面积恒为 8，试探究：是否存在总与直线 有且ABl只有一个公共点的双曲线 ？若存在，求出双曲线 的方程；若不EE存在请说明理由习题答案：1、解析：（1） 1:2:312ceabc椭圆过点 3,P，再由 可解得： 2314ab:2:31abc2,3ab椭圆方程为： 23xy（2）设切点坐标为 ，直线上一点 ，依题意可得：12,ABxy4,Mt第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何两条切线方程为：，由切线均过 可得：1243xyM123ytx均在直线 上12,AxyB13txy因为两点唯一确定一条直线，即过定点 ，即点 的坐标为:3t,0C,0（3） 1ABACB C联立方程： 2
24、221167034tyxtyt，不妨设 1212267,tyyt12,y21112299,33tACxyBCxy21212 212999yBttt2222 26083 447 3991tttt t ，使得 恒成立43ACBC2、解析：（1）抛物线 的焦点为 24yx,01c依题意可知： 22219,31ababc椭圆方程为： 243xy（2）由（1）可得： ，若直线 斜率存在,02,ABPQ第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何设 ， :PQykxm12,PyQx到直线 的距离 到直线 的距离 A12kdBPQ221kmd1122PSdkmQ联立方程： 222348410341ykxxkm2
25、12128,xxkk（*）1122240APQykyx221212112314mkyxmkxkm，代入到（*）可得：2121212264k22263004kmk或 m当 时， ，交点与 重合，不符题意k:2PQykxA，代入到 可得： 12S，即 112233kS3、解：（1）依题意可知： 可得：1cea:2:31bc椭圆方程为： ，代入 可得：243xyc0,3椭圆方程为：21第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何（2） 证明：设 ，线段 的中点12,BxyDB0,Nxy设直线 的方程为： ，联立方程：l 4k化为：2431ykx22236410xk由 解得： 且024k221213,3k
26、xk212063x024y104ykxk13k 假设存在实数 ，使得 ，则1FNAD1FNADk1 20 2436FNykkx22AD1 2441FNAkxk即 22222688xkxk因为 在椭圆上，所以 ，矛盾D2,x所以不存在符合条件的直线 l4、解析：（1）由 可得 为 的中点，且 ,0NPQGPQNGQPN为 的中垂线 GQ6M点的轨迹是以 为焦点的椭圆，其半长轴长为 ，半焦距 ,N3a5c224bac第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何轨迹方程为： 2194xy（2）因为 OSAB四边形 为平行四边形若 ，则四边形 为矩形，即 S0OAB 若直线 的斜率不存在，则 l:2lx联
27、立方程： ，即 2 51943xy2525,33故 不符合要求60OAB:2lx 若直线 的斜率存在，设 l 12,ykAxyB由 222294360194ykxxk22121136,94kkxx221212112049kyxxOAB0，解得： 2212361094kkxy 32k所以存在 或 ，使得四边形 的对角线相等:30lxyOASB5、解析：（1）由双曲线方程可知，渐近线方程为 byxa2baa225cabce（2）若直线 不与 轴垂直，设lx12:,lymxtAyBx第九章 圆锥曲线中的存在性问题 解析几何联立方程： ，同理可得122txxmytm 122txxmytm设直线 与 轴交于 lx,0Ct即 122OABSy228411tttmm由直线 与渐近线的交点 分别在第一、四象限可知： l,AB2140m2241t由（1）可得双曲线方程为： 2xya联立 与双曲线方程：l2222418404xmytymtaa因为 与双曲线相切l22860tt整理可得： 222414140maama所以 双曲线方程为：26xy存在一个总与 相切的双曲线 ，其方程为lE214
