1、2107 届高三数学-圆锥曲线总结篇1椭圆、双曲线、抛物线-经典结论椭 圆1. 点 P处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P处的外角.2. PT 平分PF 1F2在点 P处 的外角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若 0(,)Pxy在椭圆21xyab上， 则过 0P的椭圆的切 线方程是 021xyab.6. 若 ,在椭圆 2外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 0xy.7. 椭圆
2、xyab (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P为椭圆上任意一点12F，则椭圆的焦点角形的面 积为 12tanPSb.8. 椭圆 xy（ab0）的焦半径公式：1|Me, 20|ex( 1,)Fc , 2(,0)0,)Mxy).9. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点， A为椭圆长轴 上一个顶点，连结 AP 和 AQ分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点， 则 MFNF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A2Q交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是椭圆 2x
3、yab的不平行于对称轴的弦， M ),(0yx为 AB 的中点， 则2OMABk，即 02yaxbKAB。12. 若 0(,)Pxy在椭圆 21x内， 则被 Po 所平分的中点弦的方程是02ab.13. 若 0(,)xy在椭圆21xyab内， 则过 Po 的弦中点的 轨迹方程是2107 届高三数学-圆锥曲线总结篇2202xyab.双曲线1. 点 P处的切线 PT 平分PF 1F2在点 P处的内角.2. PT 平分PF 1F2在点 P处 的内角， 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点 .3. 以焦点弦 PQ为直径的圆必与对应准线相交.4. 以焦点半径
4、PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P在左支）5. 若 0(,)xy在双曲线21xyab（a0,b0）上， 则过 0的双曲线的切线方程是21ab.6. 若 0(,)Pxy在双曲线2xy（a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 021xyb.7. 双曲线 ab（a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P为双曲线上任意一点 12F，则双曲线的焦点角形的面 积为 12tPSco.8. 双曲线 xy（a0,bo）的焦半径公式：( (,0) , 2(,)当 0(,)M在右支上时， 10|MFexa, 2|
5、Fexa.当 在左支上时， , 09. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.11. AB 是双曲线 xyab（a0,b0）的不平行于对称轴的弦，M ),(0yx为 AB 的中点，则 02xKABOM，即 02yaxbAB。12. 若 0(,)Pxy在双曲线 1ya（a0,b0）内， 则 被
6、Po 所平分的中点弦的方程是2002ab.2107 届高三数学-圆锥曲线总结篇313. 若 0(,)Pxy在双曲线21xyab（a0,b0）内， 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是202ab.椭圆与双曲线推导的经典结论椭 圆1. 椭圆21xyab（abo）的两个顶点为 1(,0)Aa, 2()，与 y轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 1xb.2. 过椭圆 xyab (a0, b0)上任一点 0(,)y任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且20BCxka（常数） .3. 若 P为椭圆21xyab（ab0）上异于长轴端点的任一
7、点,F 1, F 2是焦点, 12F, 21F，则 tant2co.4. 设椭圆 2xyab（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF 1F2中，记 12P, 12P, 12FP，则有sincea.5. 若椭圆21xyb（ab0）的左、右焦点分 别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线 距离 d 与 PF2的比例中项.6. P为椭圆21xyab（ab0）上任一点,F 1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点， 则211|2|AFPF,当且仅当 2,P三点共线时，等号成立.7. 椭圆 0022()()xya
8、b与直线 0AxByC有公共点的充要条件是2107 届高三数学-圆锥曲线总结篇42220()AaBbxyC.8. 已知椭圆 1（ab0）， O为坐标原点， P、Q为椭圆上两动点，且OPQ.（1） 2221|b;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为24ab;（3）S的最小值是 a.9. 过椭圆21xyab（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN的垂直平分线交 x轴于 P，则 |2eMN.10. 已知椭圆21yab（ ab0） ,A、B、是 椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x轴相交于点 (,)x, 则220abx.11. 设 P 点是椭圆21yab（ ab0
9、）上异于长轴端点的任一点,F 1、F2为其焦点记12F，则(1)212|cosPF.(2) 12tanPFSb.12. 设 A、B 是椭圆2xyab（ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，P, , BA，c、e 分别是椭圆 的半焦距离心率，则有(1)2|cos|abPA.(2) 2tan1e.(3) 2otPSba.13. 已知椭圆2xyb（ ab0）的右准线 l与 x轴相交于点 E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C在右准线 l上，且 BCx轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点.14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以 长轴为直径的 圆相交， 则相应交点与相应
10、焦点的连线必与切线垂直.15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.2107 届高三数学-圆锥曲线总结篇516. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分 线与长轴 交点分别称为内、外点 .）17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到 椭圆中心的比例中 项.椭圆与双曲线的经典结论-双曲线1. 双曲线21xyab（a0,b0）的两个顶点为 1(,0)Aa, 2()，与 y轴平行的直线交双曲线于
11、 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 1xb.2. 过双曲线2xyab（a0,bo）上任一点 0(,)xy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于 B,C 两点， 则直线 BC 有定向且20BCxka（常数）.3. 若 P为双曲线21xyab（a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F 1, F 2是焦点, 12F, 21PF，则 tant2cco（或tantcco）.4. 设双曲线21xyb（a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在PF 1F2中，记 12P, 12PF, 12，则有 sin()cea.5. 若双曲线 2xyab（a0,b
12、0）的左、右焦点分 别为 F1、F2，左准线为 L，则当 1e 时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d与 PF2的比例中项.6. P为双曲线21xyab（a0,b0）上任一点,F 1,F2为二焦点，A 为双曲线内2107 届高三数学-圆锥曲线总结篇6一定点，则 21|AFaPF,当且仅当 2,AP三点共线且 和2,在 y轴同侧时，等号成立 .7. 双曲线21xab（a0,b0）与直线 0xByC有公共点的充要条件是 2ABC.8. 已知双曲线2y（ba 0），O 为坐标原点，P、 Q为双曲线上两动点，且 OPQ.（1） 2221|;（2）|OP|2+|OQ|2的最小
13、值为24ab;（3） OPQS的最小值是 ab.9. 过双曲线21xy（a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线 交 x轴于 P，则 |2eMN.10. 已知双曲线21xyab（a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x轴相交于点 (,)x, 则20ab或20abx.11. 设 P 点是双曲线21yab（a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F 1、F2为其焦点记 12F，则(1)22|1cosbPF.(2) 12cotPSb.12. 设 A、B 是双曲线 1xyab（a0,b0）的长轴两端点，P 是双曲线上的一点，P,
14、A, B，c、e 分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)2|cos|.(2) 2tan1e.(3) 2cotPABabS.13. 已知双曲线2xyb（a0,b0）的右准线 l与 x轴相交于点 E，过双曲线右焦点 F的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C在右准线 l上，且 BCx轴，则直线 AC经过线段 EF 的中点.14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以 长轴为 直径的圆相交， 则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.2107 届高三数学-圆锥曲线总结篇715. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16. 双曲线焦三角形中,外
15、点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e.18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲 线中心的比例中 项.抛物线焦点弦性质总结 30条aAC C(X3,Y3)BO FB(X2,Y2)A(X1,Y1)基础回顾1. 以 AB为直径的圆与准线 相切；L2. ;214pxA3. ;2y4. ;90CB5. ;F2107 届高三数学-圆锥曲线总结篇86. ;1232()sinpABxx7. ;FP8. A、O、 三点共线；9. B、O、 三点共线；10. ；2sinSA11. （定值） ；3()
16、BP12. ； ；1cosF1cosPF13. 垂直平分 ；C14. 垂直平分 ；A15. ；B16. ；2P17. ；1()AB18. ；AB3K=y19. ;2ptanx-20. ;4F21. .1CB222.切线方程 xmy00性质深究一)焦点弦与切线1、 过抛物线焦点弦的两端点作抛物线的切线，两切线交点位置有何特殊之处？结论 1：交点在准线上先猜后证：当弦 轴时，则点 P的坐标为 在准线xAB0,2p上证明: 从略结论 2 切线交点与弦中点连线平行于对称轴结论 3 弦 AB不过焦点即切线交点 P不在准线上时，切线交点与弦中点的连线也平行于对称轴2、上述命题的逆命题是否成立？2107 届
17、高三数学-圆锥曲线总结篇9结论 4 过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点先猜后证：过准线与 x轴的交点作抛物线的切线，则过两切点 AB的弦必过焦点结论 5过准线上任一点作抛物线的切线，过两切点的弦最短时，即为通径3、AB 是抛物线 （ p0）焦点弦，Q 是 AB的中点， l是抛物线的准线，y2， ，过 A，B 的切线相交于 P，PQ 与抛物线lA1l1交于点 M则有结论 6PA PB结论 7PF AB结论 8 M平分 PQ结论 9 PA平分 A1AB， PB平分 B1BA结论 10 2PFB结论 11 ASminp二)非焦点弦与切线思考：当弦 AB不过焦点，切线交于 P点
18、时，也有与上述结论类似结果：结论 12 ，pyx2121y结论 13 PA平分 A1AB，同理 PB平分 B1BA结论 14 PFB结论 15 点 M平分 PQ结论 16 2相关考题 1、已知抛物线 的焦点为 F， A， B是抛物线上的两动点，且yx4（ 0） ，过 A， B两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M，FBA（1）证明： 的值；（2）设 的面积为 S，写出 的表达式，并M Mf求 S的最小值2、已知抛物线 C的方程为 ，焦点为 F，准线为 l，直线 m交抛物线于两点yx42A， B；（1）过点 A的抛物线 C的切线与 y轴交于点 D，求证： ；FA（2）若直线 m过焦点 F，分别过
19、点 A， B的两条切线相交于点 M，求证： AM BM，且点 M在直线 l上3、对每个正整数 n， 是抛物线 上的点，过焦点 F的直线 FAn交抛物线nyx,yx422107 届高三数学-圆锥曲线总结篇10于另一点 ， （1）试证： （ n1）ntsB, 4nsx（2）取 ，并 Cn为抛物线上分别以 An与 Bn为切点的两条切线的交点，求证：x（ n1）1221 nFFC抛物线的一个优美性质几何图形常常给人们带来直观的美学形象，我们在研究几何图形时也会很自然地想得到有关这个几何图形的美妙的性质，作为几何中的圆锥曲线的研究，正是这方面的一个典型代表，作为高中数学中的必修内容，对于培养学生对于数学
20、美的认识，起着相当重要的作用。因此，在研究圆锥曲线的过程中，有意识地得到一些有关圆锥曲线的几何性质并且加以归纳，并在教学中与学生一起进行一些可行的研究，一方面，作为高考命题也会往这个方向上尝试，另一方面，作为新课程的一个理念，让学生进行一些学有余力的研究，提高学生学习数学的兴趣，提高学生自己研究问题的能力也很有帮助。本人从一个在教学中学生遇到的习题结合该知识点有关的一些性质，并结合高考的热点题对这一性质作了一些研究。题：抛物线 y2=2px（p0）的准线与 x轴交于 Q点，过点 Q作斜率为 k的直线L。则“直线 L与抛物线有且只有一个交点”是“k=1”的_条件。本题设计意图是考查学生对于直线与
21、抛物线有且只有一个交点的问题的了解，要求学生掌握直线与抛物线相切时是只有一个交点，还有当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线也只有一个交点，因此，经过简单的验证可知道上题的答案是必要不充分条件。结合抛物线的下面的性质及上题的图形，我们发现了一些共同点。性质 1：已知 AB是经过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F的弦，则以 AB为直径的圆与抛物线的准线相切。证明：由图 2可知，BF=BB 1，AF=AA 1，2PP 1=AA1+BB1。所以 2PP1=AB。其中图 1是图 2的一个特例，即当焦点弦是通径时，图 2即变成了图 1。这就引导我们思考在图 2中的两条直线 P1A、P 1B是否也
22、是抛物线的两条切线，这样我们得出了抛物线的一个性质：性质 2：已知 AB是经过抛物线 y2=2px（p0）的焦点 F的弦，则以 A、B 为切点的两条切线的交点 P落在其准线上。证明：设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，P（x，y）ABP1FO xyA1B1PABFO xyQ图 1 图 22107 届高三数学-圆锥曲线总结篇11点 A在抛物线上：y 12=2px1 （1）点 B在抛物线上：y 22=2px2 （2）过点 A的切线方程：yy 1=p（x+x 1） （3）过点 B的切线方程：yy 2=p（x+x 2） （4）直线 AB经过点 F： （5）21pxy将（1）式与（2）式
23、分别代入（3） 、 （4） 、 （5）式，得到yy1=p（x+ ） （3） yy2=p（x+ ） （4）py21 py2y1y2=-p2 （5）因为点 P（x，y）的坐标满足（3） 、 （4） ，所以 y1、y 2可视为是方程yt=p（x+ ）的两根，因此由韦达定理可得 y1y2=-p2=2px。即 x= 。pt p所以点 P的轨迹为抛物线的准线。从上面的证明中我们可以看出，当 A、B 两点的坐标满足某种条件时，则以A、B 为切点的两条切线的交点一定落在某条固定的直线上。因此，我们更进一步地得出了更好的性质：性质 3：已知 AB是经过抛物线 y2=2px（p0）的对称轴（即 x轴）上一定点P（
24、m，0） （m0）的弦，则以 A、B 为切点的两条切线的交点 Q的轨迹是一条直线 x=-m。证明：略。对于上述性质的得出，我们使用了抛物线上已知切点坐标的切线方程的写法，但如果换一个角度看这个问题，我们也可以得出另一种形式的性质：性质 3：动点 P在直线 x=-m上运动，过点 P作抛物线的两条切线PA、PB，切点分别为 A、B，连结 AB，得到弦 AB，那么弦 AB过定点（m，0） 。证明：略。根据上面的讨论，我们得到了关于抛物线的一个性质，特别是对于抛物线的切线以及抛物线中动弦中的定值问题的结合，在高考题的命题中也常有涉及。例 1：（2007 江苏高考第 19题）如图，过 C（0，c） （c
25、0）作直线与抛物线 y=x2相交于 A、B 两点，一条垂直于 x轴的直线，分别与线段 AB和直线y+c=0交于 P、Q。（1）若 =2，求 c的值；O（2）若 P为线段 AB的中点，求证：AQ 为抛物线的切线；（3）试问（2）的逆命题是否成立。解：（1）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，C（0，c）点 A在抛物线上：y 1=x12 （1）点 B在抛物线上：y 2=x22 （2）直线 AB经过点 C： （3）c xyA BPQO2107 届高三数学-圆锥曲线总结篇12将（1）式与（2）式分别代入（3）式，得到 x1x2=-c，y 1y2=c2由 = x1x2+y1y2=2，得
26、c=2。OBA（2）P 为线段 AB的中点，得点 Q的坐标为（ ，-c）21由 AQ的斜率 k1= ，过点 A的切线的斜率为1212)(xxxcyk2=2x1。所以直线 AQ是抛物线的切线。（3）过点 A的切线方程为 y-y1=2 x1（x-x 1）与直线 y=-c相交于点 Q，将 y=-c代入 y-y1=2 x1（x-x 1） ，可得-c-x 12=2 x1（x-x 1）即 x1x2-x12=2 x1（x-x 1）所以点 Q的横坐标为 ，即点 P为线段 AB的中点。 （2）的逆命题成立。2该题的命题思路就是借助于性质 3而编制的一道中等难度的题。其中主要运用了切线的斜率，切线的方程的写法，以
27、及抛物线中的定值的使用。下题也是用类似的方法命制的题。例 2：（2006 全国高考卷21 题）抛物线 x2=4y的焦点 F，A、B 是抛物线上两动点，且 ，过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为 M。FA（1） 证明： 为定值；M（2） 设ABM 的面积为 S，写出 S=f（）的表达式，并求出 S的最小值。解：（1）设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，F（0，1）点 A在抛物线上：4y 1=x12 （1）点 B在抛物线上：4y 2=x22 （2）直线 AB经过点 F： （3）得到过点 A的切线方程：2（y-y 1）=x 1（x-x 1） （4）过点 B的切线方程：2（y
28、-y 2）=x 2（x-x 2） （5）由（1） （2） （3）得 x1x2=-4，y 1y2=1。由（4） 、 （5）得 M坐标为（ ，-1） 。x所以 =（ ，-2）（x 2- x1，y 2- y1）= 。ABF21x 0)(2112yx（2） ，即（0-x 1，1-y 1）=（x 2，y 2-1）所以-x 1=x 2，再由 x1x2=-4，得 x 2x2=4，即 x2= ，则 x1= ，y 1=，y 2= 。由 =0，44ABFM所以 S= f（）= 422 12121 xyxFMAB2107 届高三数学-圆锥曲线总结篇13= 。当 =1 时，ABM 的面积 S取得最小值。4123从上面两例可以看出，高考命题往往借助课本例题中一个典型图形，结合其他知识点进行再创造，即使是在全国数学联赛中也有这样的命题方向：例：（2007 年全国数学联赛一试 14题）过点（0，1）的直线 L与曲线C： 交于两个不同点 M和 N，求曲线 C在点 M、N 处的切线的交)0(1xy点的轨迹。因此在日常教学工作中，我们也应该对课本中的性质定理进行再挖掘，对几何图形的优美性质进行一些研究性的工作，一方面对学生处理新颖题的能力提高有帮助，另一方面对教师的教学研究工作也有促进作用。
