1、大学生统计报,为什么我们身边没有巨人？ 统计学的父子身高回归分析,英国著名遗传学家弗朗西斯高尔顿爵士（Sir Francis Galton,1822-1911）在子女与父母相像程度遗传学研究方面，取得了重要进展。高尔顿的学生卡尔皮尔逊（Karl Pearson,1857-1936）在继续这一遗传学研究的过程中，测量了1078个父亲及其成年儿子的身高。他们之间的数量关系见图1（K.Pearson and A.Lee，“On the lawsof inheritance in man”Biometrika，partii（1903） pp.357-462）图中每一个点代表一对父子的身高关系。 横轴的
2、X坐标是父亲的身高，纵轴的Y坐标给出的是儿 子的身高。我们看到，多数点子位于角平分斜线的两 侧椭圆形面积之内，落在斜线上的点子极少，即儿子 与父亲身高完全相同的极少。由点子落在斜线周围还 说明，高个子的父亲有着较高身材的儿子，而矮个子 父亲的儿子身材也比较矮。同时，我们也看到一些远 离斜线的点子，这些点子反映的是父亲的身高与儿子 的身高相差甚远的情况。比如高个子的父亲有矮儿子 的情况，或者矮父亲有高个儿子的情况。图1中散点 图给出父子身高的关系图，但图中给出的父亲身高和 儿子身高两个变量的关系还是比较直观的,相关系数r就是对两个变量间线性相关关系紧密程度的度量。相关系数r的计算公式为：式中分子
3、部分为X和Y两具变量的协方差，分母部分是X和Y两个变量标准差的乘积。由于协方差是X和Y两个变量与其均值离差乘积的数学期望，它受X和Y两个变量度量单位大小的影响，因而在分母上除以X和Y两个变量的标准差，就将相关系数r转化成从-1到1之间的相对数值。实际数据计算的结果为r=0.501，表明高个子的父亲会有较高的儿子，矮身材的父亲其儿子身体也不会很高，但这一正相关的关系并不十分明显。 那么，父子身高之间有什么规律呢？经过对1078对父子身高数据的计算，得到： 父亲的平均身高=67.6英寸68英寸，标准差SX=2.742.7英寸 儿子的平均身高=68.7英寸69英寸，标准差SY=2.812.8英寸 （
4、1英寸=2.54厘米）我们看到，儿子的平均身高比父亲高一英寸，表明下一代的平均身高比上一代要高。这样，我们会自然地猜测72英寸的父亲平均会有73英寸的儿子；64英寸的父亲平均会有65英寸的儿子，等等。那我们看一看图2中的情况：,图2中斜虚线是父子平均身高推测的关系线，即58英寸父亲有59英寸的儿子，59英寸的父亲有60英寸的儿子，等等。在父亲身高64英寸和72英寸处的两个条形虚线，表明64英寸高父亲和72英寸高父亲的儿子们身高的分布情况。首先来看64英寸高父亲的儿子们身高分布。我们看到，在这一条线虚线柱内的点子多数分布在斜虚线的上方，表明64英寸高父亲的儿子们的身高多数高于65英寸，即较矮父亲
5、的儿子们多数比父亲身材要高。接下来再看72英寸父亲的儿子们身高分布，在这条虚线柱内的点了多数分布在斜虚线的下方，表明72英寸高父亲的儿子们的身高多数低于73英寸，甚至多数低于与父亲同样高度的72英寸，即较高父亲的儿子们多数比父亲身材要矮。高尔顿和波尔逊把这种现象称为“回归效应”，即回归到一般高度的效应。 图2中的实线即回归直线。这条回归线的含义是：对于每一身高父亲所对应的虚线柱内若干儿子身高点子的分布，回归直线是从这些点子中间穿过的。换句话说，回归直线上的点是当给定某一Xi值时（即父亲身高值），对应的若干Yi值（即儿子身高值）与之（直线上点Y值记为值）离差平方和最小的直线，即我们的回归直线是求
6、,要对上式求最小，微积分的知识告诉我们要求其偏导数并令其为零。即：整理这一联立方程得到,Cov(X,Y),=,rSXSY=0.5012.742.81,=3.86,父子身高的回归方程为该回归方程就是图2中的回归线（实线）。 当X1=58时，=63.8；当X2=64时，=66.86。 当X3=72时，=70.94。这些回归方程上的值实际上是 当Xi确定后，若干Yi的平均值。这一回归直线和回归 方程表明，矮个子父亲的儿子们平均身高会比父辈低 一些，高个子父亲的儿子们平均身高会比父辈低一 些，即儿子们的身高会向平均值回归。我们的读者必然会问，现代人一代比一代高，为什 么高个子父亲的儿子们平均身高要比父
7、辈低呢？细心 的读者不难发现，当时高尔顿和皮尔逊做研究时只观 察了父亲和儿子的身高，并没有考虑母亲的身高。实 际上，高个子父亲的太太可能是较高的女性，也可能 是较低的女性。反之，矮个子父亲的太太可能是矮个 子，也可能是较高的身材。而儿子的身高既受父亲传 传的影响，也受母亲遗传的影响，这就是为什么儿子 们身高会发生“回归”的原因。类似的回归现象还有很多，比如我们连续观察一群 学生春秋两季的考试成绩，会发现春季考试得高分的 学生在秋季考试中虽然平均分还比较高，但平均分会 有所降低。反之，春季考试分数最低的学生们秋季的 平均分会有所提高。因为在考试中除了学生水平的高 低这一主要因素影响之外，临场发挥
8、等偶然因素也会 起到一定的作用。我们在应用回归方程时若能注意回 归效应的特点，会帮助我们更好地分析和解决问题。,由于已知r=0.501，SX=2.74，SY=2.81，则,频率与频数 Dewey G. 统计了约438023个英语单词中各字母出现的频率， 发现各字母出现的频率不同： A:0.0788B:0.0156C:0.0268D:0.0389E:0.1268F:0.0256G:0.0187H:0.0573I:0.0707J:0.0010K:0.0060L:0.0394M:0.0244N:0.0706O:0.0776P:0.0186Q:0.0009R:0.0594S:0.0634T:0.0987U:0.0280V:0.0102W:0.0214X:0.0016Y:0.0202Z:0.0006 从中我们看到字母E出现的频率最大而字母Z出现的频率最小等等结果，而且这些字母的频率可以大致看成它们出现的概率。 对于计算机键盘的设计和文字的研究，这些结果都有重要意义。 编者寄语：有很多人说统计学枯燥乏味，实际运用得很少，从我们本期报纸中，我们会看到不是我们身边缺乏统计学，而是我们缺乏发现的眼睛，其实统计学就在我们身边！希望我们本期的报纸能让大家更好的关注统计学，关注生活！也希望我们的报纸能帮您开拓新的视野，带给您更多精彩！我们期待着您的下期参与！,THANK YOU !,
