1、.2 可分离变量的微分方程,如果一个一阶微分方程能写成g(y)dyf(x)dx (或写成y(x)(y) 的形式 那么原方程就称为可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程,可分离变量的微分方程的解法,两端积分,方程由G(y)F(x)C所确定的函数,称为隐式(通)解,分离变量,将方程写成g(y)dy f(x)dx的形式,讨论:,是,不是,不是,是,是,是,y1dy2xdx,dy(3x25x)dx,y(1x)(1y2),10ydy10xdx,注,分离变量得,解,这是一个可分离变量的微分方程.,两边积分得,下页,即 ln|y|x2C1,ln|y|x2lnC,加常数的另一方法,根据题意 得微分方程,解
2、,例2 铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比 已知t0时铀的含量为M0 求在衰变过程中铀含量M(t)随时间t变化的规律,初始条件为M|t0M0,将方程分离变量 得,两边积分 得,由初始条件 得M0Ce0C 所以铀含量M(t)随时间t变化的规律MM0e t ,即 lnMtlnC,也即 MCe t,下页,提示,降落伞所受外力为Fmgkv(k为比例系数) 牛顿第二运动定律Fma,设降落伞下落速度为v(t),解,下页,例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系,根据题意得初值问题,将方程分离变量得,两边积分得,将初始条件v|t00代入上式得,于是降落伞下落速度与时间的函数关系为,结束,例3 设降落伞从跳伞塔下落后 所受空气阻力与速度成正比 并设降落伞离开跳伞塔时速度为零 求降落伞下落速度与时间的函数关系,设降落伞下落速度为v(t),解,根据题意得初值问题,
