1、利用三角形的角平分线构造全等三角形,映山中学 汪强,如何利用三角形的中线来构造全等三角形？,复习：,可以利用倍长中线法，即把中线延长一倍，来构造全等三角形。,如图，若AD为ABC的中线，,必有结论：,A,B,C,D,E,1,2,延长AD到E，使DE=AD，连结BE（也可连结CE）。,ABDECD，,1=E，,B=2，,EC=AB，CEAB。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,如图，在ABC中，AD平分BAC。,方法一：,A,B,C,D,E,必有结论：,在AB上截取AE=AC，连结DE。,ADEADC。,ED=CD
2、，,3,*,2,1,AED=C，,ADE=ADC。,方法二：,A,B,C,D,F,延长AC到F，使AF=AB，连结DF。,必有结论：,ABDAFD。,BD=FD，,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,3,*,2,1,如图，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,B=F，,ADB=ADF。,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,问题：,A,B,C,D,M,N,方法三：,作DMAB于M，DNAC于N。,必有结论：,AMDAND。,DM=DN，,3,*,2,1,如图，在ABC中，AD平分BAC。,可以利用角平分线所在直线作对
3、称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,AM=AN，,ADM=AND。,（还可以用“角平分线上的点到角的两边距离相等”来证DM=DN）,证明：,例题,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,E,在BC上截取BE，使BE=AB，连结DE。, BD是ABC的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义） 在ABD和EBD中 AB=EB（已知）1=2（已证）BD=BD（公共边） ABDEBD（S.A.S）,1,2,4,3, 3+ 4180 （平角定义）， A3（已证） A+ C180（等量代换）,3,2,1,*, A3（全等三角形的对应角相等）
4、, AD=CD（已知），AD=DE（已证） DE=DC（等量代换）,4=C（等边对等角）,AD=DE（全等三角形的对应边相等）,证明:,例题,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,F,延长BA到F，使BF=BC，连结DF。, BD是ABC的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义） 在BFD和BCD中 BF=BC（已知）1=2（已证）BD=BD（公共边） BFDBCD（S.A.S）,1,2,4,3, FC（已证）4=C（等量代换）,3,2,1,*, FC（全等三角形的对应角相等）, AD=CD（已知），DF=DC（已证） DF=
5、AD（等量代换）,4=F（等边对等角）, 3+ 4180（平角定义） A+ C180（等量代换）,DF=DC（全等三角形的对应边相等）,证明:,例题,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。, BD是ABC的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义） DNBA，DMBC（已知） N=DMB=90（垂直的定义） 在NBD和MBD中 N=DMB （已证）1=2（已证）BD=BD（公共边） NBDMBD（A.A.S）,1,2, 4=C（全等三角形的对应角相等）,N,4,3,3,2,1,*,
6、 ND=MD（全等三角形的对应边相等）, DNBA，DMBC（已知） NAD和MCD是Rt 在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证）AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L）, 3+ 4180（平角定义），A3（已证） A+ C180（等量代换）,证明:,例1,已知：如图，在四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线，AD=CD，求证：A+C=180,D,A,B,C,M,作DMBC于M，DNBA交BA的延长线于N。,1,2,N,4,3,3,2,1,*, BD是ABC的角平分线（已知）DNBA，DMBC（已知） ND=MD（角平分线上的点到这个角的两边距离相等）, 4=C（全等三角形
7、的对应角相等）, DNBA，DMBC（已知） NAD和MCD是Rt 在RtNAD和RtMCD中 ND=MD （已证）AD=CD（已知）RtNADRtMCD（H.L）, 3+ 4180（平角定义）A3（已证） A+ C180（等量代换）,练习,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,E,1,2,2,1,证明:,在AB上截取AE，使AE=AC，连结DE。, AD是BAC的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义） 在AED和ACD中 AE=AC（已知）1=2（已证）AD=AD（公共边） AEDACD（S.A.S）,3,B=4（等边对等角）,4,*
8、, C3（全等三角形的对应角相等),又 AB=AC+CD=AE+EB（已知） EB=DC=ED（等量代换）, 3= B+4= 2B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） C=2B（等量代换）,ED=CD（全等三角形的对应边相等）,练习,如图，已知ABC中，AD是BAC的角平分线，AB=AC+CD，求证：C=2B,A,B,C,D,F,1,2,证明:,延长AC到F，使CF=CD，连结DF。, AD是BAC的角平分线（已知） 1=2（角平分线定义） AB=AC+CD，CF=CD（已知） AB=AC+CF=AF（等量代换）, ACB= 2F（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和） ACB
9、=2B（等量代换）,3,2,1,*,在ABD和AFD中 AB=AF（已证）1=2（已证）AD=AD（公共边） ABDAFD（S.A.S）, FB（全等三角形的对应角相等）, CF=CD（已知） B=3（等边对等角）,如何利用三角形的角平分线来构造全等三角形？,小结：,（3）作DMAB于M，DNAC于N。,（1）在AB上截取AE=AC，连结DE。,（2）延长AC到F，使AF=AB，连结DF。,A,B,C,D,E,F,M,N,必有结论：ADEADC。,必有结论：ABDAFD。,必有结论：AMDAND。,可以利用角平分线所在直线作对称轴，翻折三角形来构造全等三角形。,如图，在ABC中，AD为BAC的角平分线。,*,3,0,*,作业,2,1,*,1.在ABC中，ABAC.求证：BC2.如图，AD是的角平分线，H，G分别在AC，AB上，且HDBD. (1)求证：B与AHD互补； (2)若B2DGA180，请探究线段AG与线段AH、HD之间满足的等量关系，并加以证明.,
