1、流体力学,江汉大学文理学院,复习( 1 ),2,第一章 绪 论,流体的定义,流体: 没有定形且在剪切力作用下流动的连续介质.,流体力学物理量的度量单位,基本单位: 米(m), 秒( s ) ,千克( kg),导出单位: 力 牛顿( N) 其度量单位为 kg.m/s2 量纲为MLT 2 ,( 注: 如果流体没有流动,则其内就没有剪切力, 只存在压力压力总与受力面垂直.),基本量纲为: 长度L, 时间T, 质量M,动力粘度 其度量单位为Pa. s 量纲为ML 1T 1 ,速度 其度量单位为 m/s 量纲为LT 1 ,功 焦耳( J ) 其度量单位为 N.m 量纲为ML2T 2 ,应力(或压强) 帕
2、 其度量单位为N/m2 量纲为ML 1 T 2 ,(国际单位制),3,1 2 作用于流体上的力,一. 质量力,分布于任意体积中流体质点上的力, 重力和惯性力是最常见的质量力.,单位质量力:,作用于某点单位质量流体的质量力,称为单位质量力.,如, 重力的单位为N(牛顿) , 单位质量力为 N/kg,1牛顿 = kg . m/s2 ,1单位质量力为,所以, 单位质量力的量纲与加速度同., 由质量而引起的力,单位质量力的数学表达为:,上式表明: 单位质量力是矢量 , 它在直角坐标系三个互相垂直的坐标轴的投影分别为X、Y、Z.,4,最常见的质量力是重力, 重力垂直地球表面,方向向下. 当采用图示坐标系
3、时, z轴垂直向上,则单位质量力为X = 0 , Y = 0 , Z = g .,惯性力也是常见的质量力, 惯性力的方向就每个质点而言比较简单, 即与该质点的加速度相反. 单位惯性力的大小就是该质点加速度的大小, 方向与加速度相反.,二. 表面力, 作用在流体任意截面上, 并与受力面积成正比.,在连续介质中表面力沿表面连续分布, 通常用单位面积上的力表示, 称为应力.( 法向应力、切向应力),法向应力(平均),切向应力(平均),5,对于一点的应力,法向应力,切向应力,应力的单位为N/m2 , 称为Pa (帕) .,106 N/m2 称为MPa( 兆帕) 109 N/m2 称为GPa(吉帕),1
4、GPa = 1000MPa = 1000N/(mm)2,1 3 流体的主要物理性质,一. 密度, 单位体积的质量,对于均质流体,6,对于流体中的气体, 温度与压强对其密度的影响很大, 即, 气体的密度随温度及压强的变化而变化.,对于流体中的液体, 其密度随压强和温度的变化很小. 一般认为液体的密度不随压强和温度变化.,对定质量的理想气体,其中,p为压强, T为绝对温度, 为气体在该温度及压力下的密度,R表示为某一气体的常数, 其数值取决于不同的气体.,例1. 已知压强为98.07kPa, 00C时,烟气的密度为1.34kg/m3 , 若压强不变, 求2000C时烟气的密度.,解:,等压过程中,
5、由已知条件可得:,7,例2. 汽车上路时，轮胎内的空气温度为200C，绝对压强为395kPa, 行驶后，轮胎内的空气温度上升到500C，试求这时的压强.,解:,轮胎内空气的容积不变, 为常数,在前后状态有,即有,习1 4 压缩机压缩空气, 绝对压强从9.807104 Pa升高到5.8840105Pa,温度从200C升高到780C, 问空气体积减少了多少?,对于空气,(等质量),8,直接用,9,二. 流体的压缩性和膨胀性,液体的压缩性很小, 一般视为不可压缩. 但在研究压力波在液体中传播时, 需将液体视为可压缩.,对于气体, 当某物理过程压力变化与绝对压力相比很小时, 也可视之为不可压缩的流体.
6、 当气体(或汽体)高速在管内流动时压力降可能非常大, 此种情形下应处理为可压缩流体.,在实际工程的分析中， 液体的膨胀系数很小，一般体膨胀问题可忽略。,三. 流体的粘性,理想流体的通常定义是不可压缩的无摩擦的流体, 也称为无粘性流体. 它是流体力学中一种重要的力学模型. 理想流体在受力平衡或运动时,只承受压(应)力,力的方向与介质界面的方向垂直, 而没有与介质界面平行的切(应)力.,粘性, 可以理解为流体内各层之间的摩擦性.,理想流体的假定, 可以使许多工程的流体力学问题的分析得到简化, 同时又不失对客观规律描述的大致真实性.,但实际上, 流体内是有内摩擦力的, 即流体在运动时, 层面与层面之
7、间是有阻力的, 河道的流水中间快,靠岸边慢, 就反映了流体的这个特性.,10, 牛顿粘性方程 牛顿流体和非牛顿流体,设平板间充满了流体, 上平板在T力作用下以u速度向右移动, 下平板的速度为零.由于流体内的粘性力, 使得板内流体沿板垂直方向(y方向)有一既定的速度分布.,需要说明的是: 如果两平板间距离很小,且流速不大, 则速度分布可认为是线性的.,如果板间距离较大,或流速较快, 则速度的分布一般为曲线分布.,实际上， 流体在运动时，各层之间都会产生摩擦阻力。而速度大的流层将带动速度小的流层运动，而流速小的流层将会阻碍流速大的流层运动。于是流层之间便会产生切向应力.,实验表明: 对于许多流体,
8、 这种切向应力与流速的梯度du/dy 有如下的关系,11,: 流体的动力粘度, 与流体的种类, 、压力及温度有关.,称为 “ 速度梯度”, 表示速度在其垂直方向的变化率.,单位面积上的摩擦力称为 “ 切应力” 或 “剪应力”用表示.,(1)式称为牛顿粘性方程, 也称为牛顿内摩擦方程.,(1),如果流层较薄, 如图示, 则可认为速度梯度为常量. 则牛顿内摩擦方程可表为,(2),12,这说明, 当流体静止时, 内摩擦力不存在, 即剪应力(切应力)为零., 称为粘性系数, 也称绝对粘度或动力粘度.,工程中还用到另一粘性系数,称为运动粘度, 以表示.,(1),(2),的单位:,的单位:,13,我们把能
9、满足牛顿粘性方程的流体称为牛顿流体, 如水、油、空气等分子结构简单的流体.,我们把不能满足牛顿粘性方程的流体称为非牛顿流体, 如血液、高分子溶液、纸浆、泥浆等成分较复杂的流体. 非牛顿流体还可细分为好多类.,今后,我们研究的主要对象是牛顿流体.,四. 牛顿流体和非牛顿流体,五. 实际流体和理想流体,理想流体是不可压缩的无摩擦的流体, 也称为无粘性流体. 而实际流体是有粘性的流体.,流体的粘性与温度有关, 一般而言, 当温度升高时, 液体的粘性减小, 而气体的粘性增大.,压强对流体的粘性影响很小,一般忽略不计. 只有发生几百个大气压变化时,粘度才会有明显的改变. 在高压作用下, 液体和气体都随压
10、力的增大而增大.,14,例3. 动力粘度 = 0.172Pa.s 的润滑油充满在两个同轴圆柱体的间隙中, 外筒固定,内径D = 120mm, 间隙 = 0.2mm. 试求:1) 当内筒以速度u = 1m/s 沿轴线方向运动时, 内筒表面的切应力; 2) 当内筒以转速n = 180r/min 旋转时内筒表面的切应力.,解:,流层较薄,1),2),15,例4. 两块相距20mm的平板间充满绝对粘度为0.065(N.s)/m2的油,如果以1m/s的速度拉动距上平板5mm处且面积为0.5m2的薄板, 求需要的拉力.,解:,当板间距离很小且流速较低时, 则流速沿梯度方向线性分布.,由,上表面有:,下表面
11、有:,需要的拉力为:,16,例5.某一流体的动力粘度 = 510 2 Pa.s, 流体在管内的流速分布如图示, 速度的表达式为u = 100 c (5 y )2 , 试求切向应力 的表达式. 并求, 最大切向应力为多大? 发生在何处?,解:,由已知速度表达式可有, 当y = 0 时, u = 0,速度梯度为:,由,发生在y = 0 处.,17,液体的自由表面都呈现收缩的趋势,这种收缩趋势是由分子的内聚力引起的.此时,液体表面像一张均匀受拉的弹性膜. 这种在膜层中互相之间的拉力, 称作表面张力. 表面张力作用在液体表面上任意一 假想的直线两侧,方向垂直于该 假象的直线并与表面相切.,六.液体的表
12、面张力和毛细现象,1. 表面张力,表面张力使的液体表面呈收缩趋势, 这种现象在重力作用不明显的情况下表现突出. 如小的液滴呈现为球形或椭球形.,表面分子之间互相受拉的本质,是通过表面有收缩趋势的现象来体现的.,表面张力系数: 单位长度上表面张力的数值, 称为表面张力系数.用表示,其单位为N/m.,所有液体的表面张力系数都随温度的上升而下降. 另外, 在液体中添加其它可溶物质,也可改变表面张力. 如在水中加肥皂,可减小表面张力, 在水中加盐, 可增加表面张力.,18,表面张力的影响在大多数工程实际中是被忽略的. 但是在水滴和气泡的形成、液体的雾化、射流、汽液两相的传热与传质, 以及小尺寸模型的实
13、验等研究中, 却是不可忽略的因素.,毛细现象:,液体分子间的吸引力称为 “内聚力”, 液体与固体间的吸引力称为 “ 附着力”.当液体与固体壁面接触时, 若液体分子间的内聚力小于液体分子与固体分子的附着力, 则液体将浸润、附着壁面.,当液体与固体壁面接触时, 若液体分子间的内聚力大于液体分子与固体分子的附着力, 则液体将不浸润壁面,当把直径很小两端开口的细管插入液体中, 由于浸润和不浸润作用及液体表面张力的作用,将使管内液体出现升高或下降的现象, 我们称之为 “毛细现象”, 而此细管称为 “毛细管”.,19,当液体与固体壁面间的附着力大于流体的内聚力时, 液体将沿壁面向外伸展, 使液面向上弯曲成
14、凹面, (这就是所谓 浸润现象) 由于表面张力的作用将使此液面尽量缩小, 力图使中间液面变为平面. 二者的作用结果使液面上升, 直到上升液柱的重量与表面张力向上合力的大小相等为止, 如图(a) 所示. 当玻璃细管插入水中便会出现这种情形.,当液体与固体壁面间的附着力小于流体的内聚力时, 液面将收缩, 使液面向下弯曲成凸面, (这就是所谓 不浸润现象) 由于表面张力的作用将使此液面尽量缩小, 力图使中间液面变为平面. 二者的作用结果使管内液面下降, 如图(b) 所示. 当玻璃细管插入水银中便会出现这种情形.,在使用液位计及单管测压计等,应适当选取管径以避免或减小由毛细现象所带来的误差.,20,习
15、1 5 . 在相距 = 40mm的两平行平板间充满动力粘度 = 0.7Pa.s 的液体, 液体中有一长 a = 60mm的薄平板以u = 15m/s 的速度水平向右移动. 假定平板运动引起液体流动的速度分布是线形分布. 当h = 10mm时,求薄平板单位宽度上受到的阻力.,解:,速度为线形分布时牛顿黏性方程为,对于上表面,对于下表面,单位宽度上, 平板的阻力为:,21,习 1 8 . 如图示,有一底面积为0.8m0.2m的平板在油面上作水平运动, 已知平板运动的速度为u = 1m/s , 平板与底面的距离 = 10mm, 油的动力粘度 = 1.15Pa.s . 由平板带动的油的速度呈直线分布.
16、 试求平板上所受的阻力为多少?,解:,速度为线形分布时牛顿黏性方程为,平板所受阻力,答:平板上所受的阻力为18.4牛顿,22,思考题: 液体和气体的黏性随温度的升高或降低会发生变化, 问变化的趋势是否相同? 为什么?,流体的粘性与温度有关, 一般而言, 当温度升高时, 液体的粘性减小, 而气体的粘性增大.,这是因为对于液体, 分子之间的吸引力是构成黏性的主要因素, 当温度升高, 分子间空隙变大, 引力减小,故粘度降低.,对于气体, 分子之间的内聚力是很小的, 而影响粘度的主要因素是分子的热运动.当温度升高, 分子的平均速度变大, 不同流速的气体分子之间动量交换频繁,故粘度增大.,23,一. 概
17、念题,1. 理想流体是,2. 不可压缩的流体是,( 忽略粘性的流体.),( 忽略密度变化的流体),3. 在工程流体力学中, 单位质量力 是指作用在单位( ) 流体上的力.,4. 下列各力中, 属于质量力的有:,A,B、E,(A),24,二 . 计算题,如图示, 底面面积A = 0.2m2 质量m = 5kg的木板,沿涂有润滑油的斜面 等速下滑, 斜面的倾角为300 ,已知木板下滑的速度u = 1.0m/s, 油层厚h = 1mm, 试求润滑油的动力粘度系数.,解:,由等速下滑可知受力平衡,沿斜面方向有,25,一. 流体静压强的特性,1. 在静止的流体内, 任何一点均只受压力, 即流体静压力方向
18、沿作用面法向, 方向为垂直指向作用面.,3. 在静止的流体内, 任何一点所受压力的大小与作用面的方向无关, 即同一点的各个方向上的静压力大小是一样的. 不同点的静压力大小不同, 即流体静压力大小只是流体空间内点坐标的函数.,2. 在静止的流体内, 任何一点只受正应力,(正压力) 没有切应力.,(用p = gh说明静压力(强)的特点.),第二章 流体静力学,26,一. 流体的平衡微分方程式,2 2 流体的平衡微分方程,流体处于平衡状态时, 质量力作用的方向就是静压力增加的方向.,(比如流体的质量力为重力时, 静压力增大的方向就是垂直向下的方向.),上式表明: 静压力的增量取决于质量力的功.,平衡
19、微分方程综合式:,27,如果某流体只受重力的作用, 则,X = 0, Y = 0 , Z = - g .,上式变为:,两边积分有:,由边界条件:z = z0 处 p = p0,上式为:,二. 等势面(等压面),(A)式表明: 静压力的增量取决于质量力的功.,如果 dp = 0,则,用矢量表示为:,此式表示流体的质量力与等压面垂直.,(A),28,如果某流体只受重力的作用, 则,X = 0, Y = 0 , Z = - g .,如果 dp = 0, 等势(压)面方程,上式变为:, 势能为常量,总之, 在静止的流体中,等压面恒与质量力的方向垂直; 对于只受重力的流体, 等压面是水平面; 对于互不浸
20、溶的流体,其分界面定是等压面.,(如果分界面不等压, 则流体会浸溶而流动),29,三. 气体的压强(压力),气体也是流体, 前面有关流体静压强的特性对气体也是适合的, 如重力作用下静气压与高度的关系. 但由于气体的密度很小, 在两点间高度差不大的情况下,气体的压强差是很小的.因而,在有限的高度范围内,气体压强可以认为处处相等.如一般的储气罐内气体的压强处处相等. 只有当气体作用的空间较大时,则要考虑气压随高度的变化.,2 3 重力作用下流体静压强的分布规律,一. 重力作用下不可压缩流体中的压强,工程实际最常见的是作用在流体上的质量力为重力的情况. 我们简称为 “重力流体”.,在所示坐标系中,
21、重力流体的单位质量力为,30,对于均质、不可压缩流体 , 为常量, 故可有,或,上式称为流体静力学基本方程, 它适用于平衡状态下不可压缩的均质流体.,设z = 0处为水平基准面, 如果流体中某两点1点和2点的静压力分别为p1和p2 , 其垂直坐标分别为z1和z2 , 则有,如果设自由表面高度为z0 , 表面压力为p0 ,则积分常数为,C为常数, 具体值由坐标及流体的边界条件定,代入到流体静力学基本方程,整理得到:,或,31,上二式明确地表达了能量守恒原理, 它是流体力学中重要的数学表达式.,基准线(势能零线),受重力作用的平衡流体, 其测压管水头处处相等.,对于以z = 0的平面为零势能面的平
22、衡流体, z的量值是单位重量的流体的势能(也称位能) , 工程中也称之为位置水头.,是单位重量流体的压力(强)势能, 工程中也称之为压强水头.,位置水头与压强水头之和称为测压管水头.,上式表明: 受重力作用的平衡流体内,任何一点的位置水头与压强水头的和等于某一常数.,32,在重力场的流体中,静压力随深度h呈线性规律变化 位于同一深度的各点的静压力相等, 任一水平面都是等势面. 任一点的静压力由两部分组成:一部分是自由表面上的压力p0 , 另一部分是该点到自由表面的单位面积的流体重量gh.,二. 绝对压强 相对压强 真空,对流体内压力的测量有两种不同的基准: 一种是以完全真空为基准, 称为绝对压
23、力(强), 另一种是以当地的大气压pa 为基准, 称为相对压力(强).,对于绝对压力(强), 它的零点为完全真空时所具有. 完全真空是个理论状态, 有气体存在的空间是不可能达到绝对零压力的.,对于相对压力, 从压力表上是这样反映的: 若压力比大气压高, 则大于大气压的值称为表压力p (压力表的读数, 实际就是相对压强); 若压力比大气压低, 则小于大气压的值称为真空度pv .,或,重力场中静流体内压强公式:,33,真空度,注意: 这里所说的压力, 实际是单位面积上的力(压强) . 流体压力的法定计量单位是(N/m2 ) 在工程实际中也用(kgf/cm2) . 流体的压力还常用水柱或汞柱的高度表
24、示.,下面是工程中常用的流体压力(压强)单位及换算表,1帕(斯卡) = 1N/m2,相对压强,真空度,34,一个标准大气压值的规定，是随着科学技术的发展，经过几次变化的。最初规定在摄氏温度0、纬度45、晴天时海平面上的大气压强为标准大气压，其值大约相当于76厘米汞柱高。后来发现，在这个条件下的大气压强值并不稳定，它受风力、温度等条件的影响而变化。于是就规定76厘米汞柱高为标准大气压值。但是后来又发现76厘米汞柱高的压强值也是不稳定的，汞的密度大小受温度的影响而发生变化, g值也随纬度而变化。 为了确保标准大气压是一个定值，1954年第十届国际计量大会决议声明，规定标准大气压值为 1标准大气压1
25、01325牛顿米2 , 即是101325 Pa, 或 101.325kPa.,一个工程大气压 = 1kgf/cm2 = 9.8N/cm2 = 98000N/m2 = 98000Pa.,= 10米水柱的压强 = 1000kg/m39.8m/s2 10m = 98000Pa,736毫米汞柱的压强 = 13600kg/m39.8m/s2 0.736m 98000 Pa,35,例1. 在开口水箱侧壁上装一块压力表, 表离水箱底面的高度为h2 = 1m . 若压力表的度数为39228Pa, 水的密度为 = 1000kg/m3 ,求水箱的充水的高度H 为多少?,解:,而压力表的度数 p1为去掉p0后的读数
26、,上式中的p 是绝对压强.,即,36,例2.(书上例2 1 .） 如图示, 敞开的容器中有三种互不相混的液体. 已知三种液体的密度关系是: 1 = 0.82 , 2 = 0.83 ,求侧壁上三个测压管内液面至容器底部的高度h1 、h2、h3 .,解:,h1 = 6(m),(其实是显然的),考察1号测压管液柱对下界面的压力,考察2号测压管液柱对下界面的压力,考察3号测压管液柱对容器底部的压力,此题不考虑p0,37,例3. (书上例2 2 ) 立置在水池中的封闭罩如图示. 试求罩内A、B、C三点处的压强.,解:,B点的压强为大气压强 pa,A点的相对压强为,B、C两点的压强关系为:,C点的真空度为
27、:,显然 , pC pa,38,例4. 封闭水箱如图示. 自由面的绝对压力p0 = 122.6kN/m2, 水箱内水深h = 3m . 已知当地的大气压为pa = 88.26kN/m2 . 求 : (1)水箱内最大的绝对压力和相对压力; (2) 如果p0 = 78.46kN/m2 ,求自由面上的相对压力和真空度.,解:(1),水箱底有最大的压力,绝对压力,相对压力,真空度,相对压力,39,例5. (书上例2 3 ) 容器A被抽成部分真空, 如图示. 容器下端的玻璃管与水槽相通. 已知玻璃管的水柱h = 2m, 水的密度 = 1000kg/m3 , 当地的大气压为pa = 98000 Pa. 求
28、容器的绝对压强 p和真空度pv,解:,容器中绝对气压为p,由图示可知:,40,2 4 流体压强的量测,液柱式测压计是以流体静力学基本方程为依据的.,1. 测压管 最简单液柱式测压计,(为减少毛细作用, 管直径d 10 mm),图(a)中A处相对压力,图(b)中容器内真空度,这种测压管结构简单,测量准确; 缺点是测量范围小.,(a),(b),41,2. U形管测压计,(a),(b),当被测流体的压力较大时, 采用U形管测压计.,由,在水平线1 2处,相对压力(表压力),对图(a),对图(b),真空度,当被测流体为气体时,其1 一般可忽略.,42,3. U形管差压计,差压计用来测量两处的差压, 原
29、理十分简单.,若两个容器内都是气体时, 上式可简化成,43,例6.(书上例2 4 ) 图示为复式水银测压计, 用以测量水箱中水的表面相对压强. 试根据图示的数据(单位为m) 计算水箱水面的相对压强p0 .,解:,记水的密度1 = 1000kg/m3,记水银的密度2 = 13600kg/m3,44,例6. 如图示, 直径d = 12cm 的圆柱体, 其质量为m = 5kg, 在力F = 100N作用下,当淹深h = 0.5m时, 处于静止状态.求测压管中水柱的高度H.,解:,分析圆柱体铅垂方向受力,由此可得圆柱底部水压p,由平衡条件可得方程:,即有,45,例7. 如图示, 用复式U形管差压计测量
30、A点的压力. 已知h1 = 600mm, h2 = 250mm, h3 = 200mm, h4 = 300mm, = 1000kg/m3 , m = 13600kg/m3 , = 800kg/m3. 已知当地的大气压力为pa = 105 Pa .,解:,基本公式是,同一液体其水平线上各点压力相等,46,2 5 流体的相对平衡 (非惯性参考系中液体的平衡),1. 等加速直线运动容器内液体的相对平衡,一只盛有液体的容器以等加速度a向前运动, 容器内的液体处于相对平衡状态,如图示.,下面, 来导出等压面方程和流体静压力的分布规律.,此时, 液体的单位质量力是:,即是,(1) 等压面方程:,由一般情况
31、下的等压面微分方程,这里便有,47,两边同时积分,( a),(a)式表明, 等加速运动容器中流体的等压面(等势面)均是一簇平行的斜面. (不同的C值则表示不同的斜面),流体处于平衡状态时, 质量力作用的方向就是静压力增加的方向.,斜面的倾角,自由表面上,自由表面方程,(2) 上述流体的静压力分布规律,这里有,积分后可得,48,积分后可得,上式中,考虑自由表面方程,(上式中x、z 坐标须满足各等压力面方程),不妨将自由表面的竖直坐标记为zs,(b),代入(b)式可得:,h 为受压处到自由表面的垂直深度.,这里,可得知: 在铅垂方向, 等加速直线运动容器中液体内静压力公式与绝对静止流体中的静压力公
32、式是一样的.,(这里的x都是自由表面上的值),49,例8. (书上例2 5 ) 水车沿直线等加速度行驶, 水箱长l = 3m , 高 H = 1.8m, 水深 h = 1.2m. 试求水不会溢出的加速度最大值.,解:,由题意, 可从确定角度入手.,在等加速度水平运动下, 等压面的倾角为:,如果水刚溢出时有,更简单一点的考虑有:,水刚溢出时左墙板水位为1.8m, 左边边墙板水位比原来高出1.8 1.2 = 0.6m.,50,例9. 一油罐车以等加速度a = 1.5m/s2向前水平行驶,求罐内自由表面于水平面间的夹角为多少? 若罐内B点在运动前位于油表面下h = 1.0m 距中心距离xB = 1.
33、5m处,求油罐车加速后该点的压力. 已知油的密度为 = 815kg/m3.,斜面的倾角,解:,由题意, 可求B点的相对压力p.,51,习2 10 . 如图所示, 正方形底的尺寸为bb = 0.2m0.2m, 自重G = 40N的容器装水的高度h = 0.15m, 容器在重物Q = 250N的牵引力作用下沿水平方向匀加速运动. 设容器底与桌面间的摩擦系数f = 0.3 , 滑轮摩擦忽略不计,为不使水外溢, 试求容器应有的高度H.,解:,关键是求运动的加速度,分别取容器、重物分析受力运动,取重物,由动力学基本定律,取容器,由动力学基本定律,水的质量,52,(1)、(2)联立可得:,53,2. 等角
34、速度旋转容器中液体的相对平衡,设盛有液体的半径为r的圆柱形容器以匀角速度绕z 轴转动.,此时, 液体的单位质量力是:,即是,(1) 等压面方程:,这里便有,由,积分后得,或写成,54,半径为r的圆柱容器以匀角速度绕z 轴转动.容器内, 液体的等压力面方程为:,(b),(b)式表明: 绕定轴作匀速旋转的圆柱容器中液体的等压面是一簇绕z轴的旋转抛物面.,或,而自由表面的方程为,为区别于其它不同的等压力面方程, 可写为,亦是,55,(2) 流体静压力分布规律,这里有,两边积分,或,代入上式可得,注意,所以有,这里,可得知: 匀速转动容器中液体内,在铅垂方向,静压力公式与绝对静止流体中的静压力公式是一
35、样的.,56,例10.( 书上例2 6 ) 一个高为H,半径为R的有盖圆筒内盛满密度为 的液体,上盖中心有一小孔通大气,圆筒及液体绕容器铅垂轴心线以等角速度 旋转,如图示. 求圆筒下盖内表面的总压力.,由,积分后得:,由坐标选取及边界条件,令z = H , 则有,上盖压力分布规律,上盖总压力:,下盖总压力:,57,例10.( 书上例2 6 ) 一个高为H,半径为R的有盖圆筒内盛满密度为 的液体,上盖中心有一小孔通大气,圆筒及液体绕容器铅垂轴心线以等角速度 旋转,如图示. 求圆筒下盖内表面的总压力.,由,积分后得:,由坐标选取及边界条件,令z = 0 , 则有,下盖压力分布规律,下盖总压力:,5
36、8,例5. 有一开口圆筒容器,高1.8m, 直径0.9m,盛有1.35深的水,如图示. 若容器绕自身轴等角速旋转,试求: (1) 达到无水溢出时的最大转速是多少? (2) 当 = 6 rad/s 时, 容器底部C点和D点的压力各为多少?,旋转抛物面的体积应等于同高的圆柱体体积之半.,解 (1):,建立坐标如图示,考察由抛物线OPS所生成旋转体体积,抛物线方程应为,而等高的圆柱体积,而由题意可知:,最大转速时抛物面下的水的体积A2 应等于平静时圆柱体积的水(如图示),于是有:,59,解(2):,当 = 6rad/s,抛物面下的水的体积应等于静止时圆柱形水的体积.,60,2 6 作用在平面上的液体
37、压力,静止液体作用在容器底面的总压力只与液体的密度、容器底面积及液体的深度有关,与容器的容积及其形状无关.,上面的四个容器,底面所受的液体总压力是一样的.,1. 液体内任意平面上总压力的大小,下面我们讨论在静止液体内有一与水平成任意角的平面上液体的总压力的大小.,61,图示中,ab为液体内面积为A的任意形状的平面,它与液体表面成角.,在平面上取一微元面积dA, 其中心点距自由表面的距离为h,设作用在dA中心点的压力为p,只要dA足够小, 就可认为dA上液体的压力都是p.,于是, dA上的合力为,平面ab的总压力,62,2. 总压力的作用中心,由前面可知: 如果将作用在ab平面上的压力合成为总压
38、力,则总压力的大小等于截面形心C处的压力与此面积的乘积.,应用合力矩定理, 可求之.,设总压力(合力)的作用中心为D点,63, 面积A对x 轴的惯性矩,由惯性矩的平行轴定理,因为 恒为正值, 所以,惯性矩的平行轴公式,64,一般而言, 液体压力作用的平面其C、D点的坐标应该有两个. 如果被作用的平面有对称轴, 则C、D点都在对称轴上, 只须确定y 的坐标值.,如果被作用平面无对称轴, 则必须确定两个坐标值, 如 yD 、xD .,然而, 工程上遇到的许多平面都是对称图形, 另外, 许多非完全对称图形平面也常常可以分成几个规则图形加以处理.,如果被研究的压力面在同一深度, 显然是一均布压力,总压
39、力的作用中心就是压力面的几何中心(形心),在什么特殊情况下，水下平面的压力中心与平面形心重合？,当水下平面与水平面平行时，则其压力中心与此平面的形心重合.,65, 作用在静止流体内某一截面上的总压力的大小, 等于截面形心处的压力与此面积的乘积.,但此总压力的作用线并不过形心C, 而是此面积A上的另一点.这一点, 我们称之为总压力的作用中心. 也称为总压力的作用点.,液体总压力作用中心D点必在平面形心C的下面, 其距离为,或,66,由对称性,圆截面对轴的惯性矩,矩形截面对轴的惯性矩,67,例（ 书上例2 8 ）一直径为1.25m 的圆板倾斜于水面之下, 其最高点A、最低点B到水平面的距离分别为0
40、.6m和1.5m. 求作用于圆板的水压力和压力中心的位置.,解:,由三角形相似比可得:,其中,68,例( 书上例2 9 ) 一铅直的矩形闸门, 没在水中如图示, 闸门的上边距水面为h1 = 1m, 闸门高h = 2m, 宽b = 1.5m. 试求闸门所受的压力大小、方向及合力作用点的位置.,解:,69,例10. 如图矩形闸门AB将水和甘油分隔, 试求作用在单位宽度闸门上的总 压力和作用中心位置. 已知水和甘油的密度分别是, 1 = 1000kg/m3 , 2 = 1264kg/m3 . 闸门高为2m.,解:,闸门受水的压力,闸门受甘油的压力,总压力为二压力代数和,对A点取矩可得,由,70,三角
41、形分布压力的合力及作用点,( 平面板若高于液面, 在单位宽度上所受液体压力由上至下呈三角形分布),由合力矩定理:,71,习2.20 图示为自动开启式水闸, 闸门的倾斜角为 = 600, O处为转动铰链. 当水闸一侧水位H = 2m, 另一侧水位h = 0.4m时, 闸门自动开启. 试求铰链至水闸下端的距离x .,解:,不妨设闸门单位宽为1,左侧水压力,右侧水压力,由对O点的力矩平衡:,解之可得:,72,2 7 作用在曲面上的液体压力,一. 总压力的大小和方向及作用点,设有一承受液体静压力的二维曲面,其面积为A, 在曲面ab上任取一微元面积dA, 它的淹深为h, 则其上的液体压力为,我们将dF分
42、解成水平和垂直两个分力,其中, Ax 为曲面A在yz面的投影.,上式中,称为曲面ab的 压力体体积.,73,曲面ab上的压力体是以曲面ab为底, 以其在xOy坐标面的投影面cd为顶, 曲面四周各点向上投影的垂直母线作侧面所包围的空间体.,如果不考虑p0 则有:,液体总压力大小,总压力的作用中心是这样确定的: 垂直分力的作用线通过压力体的形心而指向受压面, 水平压力的作用线通过Ax平面的压力中心而指向受压面. 所以总的压力作用线必经过上述两条作用线的交点D, 由F的方向过D点交曲面ab于D, 此D点便是总压力在曲面上的作用中心.,74, 力在正交分解与解析表达式,角为合力FR 与水平轴所夹锐角.
43、合力FR的方向由Fx 、Fy 沿坐标的正负而定.,75,例12. 圆弧形闸门长b = 5m, 圆心角 = 600, 半径R = 4m . 若圆弧闸门的转轴与水平面齐平,求作用在圆弧闸门的总压力和作用点的位置.,解,静水压力恒沿作用面法向, 本题中, 总压力作用线沿半径方向过圆心.,76,考虑F与水平夹角及过圆心, 可确定总压力的作用点为D.(如图示),77,上一节中已经指出, 如果仅考虑液体对曲面的竖向压力, 则有,这个压力体体积, 从数学上讲就是深度h对竖向投影面的积分,即是深度函数的第二类曲面积分. 这个积分的物理意义就是一个体积值, 在这里我们称之为 压力体体积.,流体作用在曲面上的垂直
44、分力因曲面的内外凹凸等情况而有所不同, 其总压力的方向可能向上,也可能向下.,二. 压力体的概念,于是, 压力体可有以下三种情况:,78,1. 实压力体,图1所示, 压力体内充满液体, 总压力的垂直分力向下;,(图1),图1 所示的压力体,称为正压力体或实压力体,2. 虚压力体,(图2),图2所示, 压力体外充满液体, 总压力的垂直分力向上;,图2 所示的压力体, 称为负压力体或虚压力体.,79,所以, 对于较复杂曲面的压力体总压力的计算, 应分别考虑各段曲面上的压力然后叠加.,3. 压力体的叠加,流体作用在曲面上的垂直分力因曲面的内外凹凸等情况而有所不同, 其总压力的方向可能向上,也可能向下
45、.,AB曲面压力体,CB曲面压力体,ABC曲面压力体,80,AB曲面压力体,CB曲面压力体,ABC曲面压力体,81,例(书上例2 10 )有一圆柱形滚门,长 l = 10m, 直径D = 4m.上游水深H1 = 4m, 下游水深H2 = 2m. 求作用在滚门上的压力.,解:,对于滚门的左侧,先计算水平力,对于滚门的右侧,再计算铅垂力,82,例( 书上例2 12 ) 密闭的盛水容器如图示, 已知图中h1 = 60cm, h2 = 100cm, 水银测压计的度数是h = 25cm, 试求半径R = 0.5m的半球形盖AB所受的静水压力.,解:,静水压力是绝对压力减去环境大气压力,由图示可得到自由面
46、处p0 的相对压力,合力的方向过球心,半球形盖所受静水压力的合力作用方向如图示.,p0 的压力水头为,83,例( 书上例2 12 ) 密闭的盛水容器如图示, 已知图中h1 = 60cm, h2 = 100cm, 水银测压计的度数是h = 25cm, 试求半径R = 0.5m的半球形盖AB所受的静水压力.,解:,静水压力是绝对压力减去环境大气压力,由图示可得到1 1 液面上的静水压力p1,84,例(书上例2 13 ) 一半径为R=10m的圆弧形闸门如图示.上端的淹没深度为h = 4m,设闸的宽度为l = 8m ,弧形的圆心角 = 300, 求: (1) 闸门受的静水压力的合力的大小及方向; (2
47、) 合力的作用点D到水面的高度.,解:,水平合力大小:,铅垂合力大小:,压力体为图示abcde所围的柱体.,85,例(书上例2 13 ) 一半径为R=10m的圆弧形闸门如图示.上端的淹没深度为h = 4m,设闸的宽度为l = 8m ,弧形的圆心角 = 300, 求: (1) 闸门受的静水压力的合力的大小及方向; (2) 合力的作用点D到水面的高度.,解:,水平合力大小:,铅垂合力大小:,合力必垂直圆弧某点的切线并过圆心,合力的作用点D到水面的高度,水压对圆弧形闸门合力作用点及方向如图示,86,例15. 如图所示一贮水容器,其壁上有三个半球形盖.设 d = 1m, h = 1.5m, H = 2
48、.5m. 试求作用在每个盖上的液体总压力.,解:,如果不考虑pa 则有:,所谓的压力体, 就是由所研究的曲面周界所作的垂直柱面和流体的自由表面(或其延伸面)所围成的封闭体.,87,例15. 如图所示一贮水容器,其壁上有三个半球形盖.设 d = 1m, h = 1.5m, H = 2.5m. 试求作用在每个盖上的液体总压力.,由压力体之差可知铅垂方向压力的合力方向朝下.(实压力体),每个盖上的液体总压力作用线方向如图示.,88,利用压力体这一概念, 可以方便地证明阿基米德浮力定理.,阿基米德定理为: 沉没在液体中的物体,受到垂直向上的浮力, 浮力的大小等于被排开的同体积的液体重量.,假设在静止液体中有一平衡的物体, 物体表面为任意封闭曲面,如图示,由于同一水平面的水平方向的压力是相等的, 所以液体对物体在水平方向的压力是相互抵消的.,但在铅垂方向就不同了.,将物体按外表面分成上、下两部分I、II .,对于图1 所示, 液体在曲面的垂直方向上的作用力,(向下),对于图2 所示, 液体在曲面的垂直方向上的作用力,(向上),液体对整个曲面的垂直方向上的作用力,三. 阿基米德定理 潜体和浮体的平衡,89,
