1、第二章 二次函数,第4节 二次函数的应用,第2课时 利用建立坐标系解决“抛物线”型最值问题,1,课堂讲解,建立坐标系解抛物线型建筑问题 建立坐标系解抛物线型运动问题,2,课时流程,逐点 导讲练,课堂小结,作业提升,当自变量的取值范围是全体实数时，函数在顶点处取得最值即当x 时，y最值 .当a0时，在顶点处取得最小值，此时不存在最大值；当a0时，在顶点处取得最大值，此时不存在最小值（如下图）,1,知识点,建立坐标系解抛物线型建筑问题,知1讲,1运用二次函数的代数模型解决实际中的问题，如抛(投)物体，抛物线的模型问题等，经常需要运用抽象与概括的数学思想，将文字语言转化为数学符号 2利用二次函数解决
2、实际问题的基本思路是：(1)建立适当的平面直角坐标系；(2)把实际问题中一些数据与点的坐标联系起来；(3)用待定系数法求出抛物线对应的函数表达式；(4)利用二次函数的图象及性质去分析、解决问题,知1讲,3易错警示：(1)利用二次函数求最值，对于实际问题中的最值，要注意自变量的取值范围(2)建立平面直角坐标系时，要遵循以下两个原则：所建立的坐标系能使求出的二次函数表达式比较简单；根据已知点所在位置建立坐标系求函数表达式比较简单,（来自点拨）,导引：由题意可知拱桥为抛物线型，因此可建立以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴的直角坐标系，利用二次函数yax2c 解决问题,例1 乌鲁木
3、齐如图是一个抛物线型拱桥的示意图，桥的跨度AB为100 m，支撑桥的是一些等距的立柱，相邻立柱间的水平距离均为10 m(不考虑立柱的粗细)，其中距A点10 m处的立柱FE的高度为3.6 m.(1)求正中间的立柱OC的高度(2)是否存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半？请说明理由,知1讲,知1讲,（来自点拨）,(1)根据题意可得正中间立柱OC经过AB的中点O，如图，以O点为坐标原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，建立直角坐标系，则B点的坐标为(50，0)OFOAFA40 m，E点的坐标为(40，3.6)由题意可设抛物线对应的函数表达式为yax2c，y x210. 当x0时，y10，即正
4、中间的立柱OC的高度是10 m.,解：,知1讲,（来自点拨）,(2)不存在理由：假设存在一根立柱的高度是OC的一半，即这 根立柱的高度是5 m，则有5 x210，解得x25 .由题意知相邻立柱间的水平距离均为10 m，正中间的立柱OC在y轴上，每根立柱上的点的横坐标均为10的整数倍x25 与题意不符不存在一根立柱，其高度恰好是OC的一半,总 结,知1讲,（来自点拨）,本题运用待定系数法求二次函数yax2 c的表达式.,1 (2015铜仁)河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线型，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数表达式为 y x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面宽度AB为( )
5、A20 m B10 m C20 m D10 m,知1练,（来自典中点）,2 (2015金华)图是图中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y (x80)216，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有ACx轴，若OA10 m，则桥面离水面的高度AC为( ) A16 m B. mC16 m D. m,知1练,（来自典中点）,例2 某公园有一个抛物线形状的观景拱桥ABC，其横截面如图所示，在图中建立的直角坐标系中，抛物线对应的函数表达式为y x2c且过点C(0，5).(长度单位：m)(1)直接写出c的值；(2)现因做庆
6、典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为1.5 m的地毯，地毯的价格为20元/m2，求购买地毯需多少元；(3)在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形EFGH(H，G分别在抛物线的左右侧上)，并铺设斜面EG.已知矩形EFGH的周长为27.5 m，求斜面EG的倾斜角GEF的度数(精确到0.1),知1讲,导引：(1)将点C的坐标代入计算即可；(2)首先应求出铺设地毯的台阶的表面积，而求表面积的关键在于求得所有台阶的水平和竖直的总长度，进而求得所需钱数；(3)求出点G的坐标，在RtEFG中，利用三角函数求GEF的度数解：(1)c5.(2)由(1)知OC5.令y0，即 x250，解得x110，x21
7、0.地毯的总长度为AB2OC202530(m)301.520900(元)购买地毯需要900元,知1讲,(3)可设G的坐标为 其中a0，则EF2a m，GF 由已知得2(EFGF)27.5 m，即2 解得a15，a235(不合题意，舍去)当a5时，5 5253.75，点G的坐标是(5，3.75)EF10 m，GF3.75 m.在RtEFG中，tan GEF0.375，GEF20.6.,知1讲,（来自点拨）,总 结,知1讲,（来自点拨）,本题实际上是一道函数与几何的综合题主要考 查根据题意和已知图形，利用数形结合思想、方程思 想等来解决问题，是中等难度的试题,3 (中考绍兴)如图的一座拱桥，当水面
8、宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时抛物线对应的函数表达式是y (x6)24，则选取点B为坐标原点时抛物线对应的函数表达式是_,知1练,（来自典中点）,2,知识点,建立坐标系解抛物线型运动问题,知2讲,例3 一题多解如图，某灌溉设备的喷头B高出地面1.25 m，喷出的抛物线型水流在与喷头底部A的距离为1 m处达到距离地面最大高度2.25 m，试建立恰当的直角坐标系并求出与该抛物线型水流对应的二次函数关系式,导引：解决问题的关键是建立适当的平面直角坐标系，把实际问题中的长度转化为点的坐标，从而利用待定系数法
9、求二次函数关系式,知2讲,解：方法一：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的顶点为O(0，0)，且经过点B(1，1)于是设所求二次函数关系式为yax2，则有1a(1)2，得a1.抛物线型水流对应的二次函数关系式为yx2.,知2讲,方法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的 顶点为D(0，2.25)，且抛物线经过点B(1，1.25)于是 设所求二次函数关系式为yax22.25，则有1.25a (1)22.25，解得a1. 抛物线型水流对应的二次函数关系式为yx22.25.,知2讲,方法三：建立如图所示的平面直角坐标系，则抛物线的 顶点为D(1，2.25)，且经过点B(0，1.25)于是设
10、所求二 次函数关系式为ya(x1)22.25，则有1.25a(1)2 2.25，解得a1.抛物线型水流对应的二次函数关系 式为y(x1)22.25.,（来自点拨）,总 结,知2讲,（来自点拨）,解决抛物线型问题，其一般步骤为： (1)建立适当的坐标系，正确写出关键点的坐标； (2)根据图象设抛物线对应的函数表达式； (3)根据已知条件，利用待定系数法求表达式，再利用二次函数的性质解题在解题过程中要充分利用抛物线的对称性，同时要注意数形结合思想的应用,1 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线yx24x(单位：m)的一
11、部分，则水喷出的最大高度是( )A4 m B5 m C6 mD7 m,知2练,（来自典中点）,2 小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y x23.5的一部分(如图)，若命中篮筐中心，则他与篮底的水平距离l是( )A3.5 m B4 m C4.5 mD4.6 m,知2练,（来自典中点）,3 向上发射一枚炮弹，经x s后的高度为y m，且时间与高度之间的关系为yax2bx.若此炮弹在第7 s与第14 s时的高度相等，则在下列哪一个时间的高度是最高的( )A第9.5 s B第10 sC第10.5 s D第11 s,知2练,（来自典中点）,1.抛物线型建筑物问题：几种常见的抛物线型建筑物有拱形桥洞、隧道洞口、拱形门等解决这类问题的关键是根据已知条件选择合理的位置建立直角坐标系，结合问题中的数据求出函数表达式，然后利用函数表达式解决问题 2.运动问题：(1)运动中的距离、时间、速度问题；这类问题多根据运动规律中的公式求解(2)物体的运动路线(轨迹)问题；解决这类问题的思想方法是利用数形结合思想和函数思想，合理建立直角坐标系，根据已知数据，运用待定系数法求出运动轨迹(抛物线)对应的函数表达式，再利用二次函数的性质去分析、解决问题,1.必做: 完成教材P48习题T3、4 2.补充: 请完成典中点剩余部分习题,
