1、 1 逻辑 1. p并且 q 联合命题 p或者 q 选言命题 如果 p，则 q 充分条件假言命题 当且仅且 p，则 q 充分必要条件假言命题 并非 p 负命题 2. 相似比较型 如果 p，则 q 如果 p，则 q 如果 p，则 q 非 q p 非 p 所以，非 p 所以 q 所以，非 q 3. 推理的省略形式 A和 C一起推出 B，但 C属于（或以为）属于 共同的知识背景，故被省略 可能的问题： 1) 被省略或假定的东西本身可能不是真的； 2) 这种省略推理中可能暗含着推理方面的错误 补充省略时，要坚持“宽容原 则” 4. 反三段论 p q r, 所以， r p q 5. 反驳或削弱某个结论：
2、 1) 直接反驳结论，可以举与此相反的一些事实，或从真实的原理出发构造一个推理或理论，以推出该结论的否定； 效果最强 2) 反驳论据，指出其虚假性 3) 不合逻辑 6. 逻辑基本规律 1) 同一律 如果无意思的违反同一律在概念方面的要求，就会犯“ 混淆概念 ”的逻辑错误； 如果有意思的违反同一律在概念方面的要求，就会犯“ 偷换概念 ”的逻辑错误； “转移论题”的错误 2) 矛盾律 两个 互相矛盾 的命题 不能同真 ， 也不能同假， 必有一假； “所有 S是 P” vs “有些 s不是 p” “所有 S不是 P” vs “有些 s是 p” “ a是 p” vs “ a不是 p” “ p并且 q”
3、 vs “或者非 p或者非 q” “ p或者 q” vs “非 p并且非 q” “如果 p则 q” vs “ p并且非 q” “只有 p才 q” vs “非 p并且 q” “必然 p” vs “可能非 p” “必然非 p” vs “可能 p” 两个 互相反对 的命题 不能同真 ， 但可以同假。 2 “所有 S是 P” vs “所有 s不是 p” “所有 S都是 P” vs “（这个或那个） s不是 p” “所有 S不是 P” vs “（这个或那个） s是 p” “必然 P” vs “不可能（必然非） p” 3) 排中律 两个 互相矛盾 的命题不能同假，必有一真。否则会犯“两不可“的错误。 7.
4、 直言命题关系表 同一 包含 包含于 交叉 全异 SAP全肯 真 假 真 假 假 SEP全否 假 假 假 假 真 SIP特肯 真 真 真 真 假 SOP特否 假 真 假 真 真 1) 矛盾关系 A与 O、 E与 I不能同真、同假 “ SAP”等值于“并非 SOP” “ SEP”等值于“并非 SIP” “ SIP”等值于“并非 SEP” “ SOP”等值于“并非 SAP” 2) 等差关系 ,亦称“从属关系”，指 A与 I， E与 O之间 如果全称命题为真，则相应的特称命题为真； 如果全称命题为假，则相应的特称命题真假不定； 如果特称命题为真，则相应的全称命题真假不定； 如果特称命题为假，则相应的
5、全称命题为假； 3) 反对关系 ， A与 E的关系，不能同真，但可以同假 若一个为真，则另一个为假 ； 若一个为假，则另一个真假不定。 4) 下反对关系 ， I与 O的关系，可以同真，但不能同假 若一个为假，则另一个为真；若一个为真， 则另一个真假不定。 8. 三段论 所有 科学 都 以追求真理为目标 。 大前提 各门社会科学都是 科学 ， 小前提 所以，各门社会科学也以追求真理为目标 。 结论 以追求真理为目标 大项； 科学 中项 用 欧拉图 判定三段论的有效性 9. 联言命题及推理 p q P并且 q 真 真 真 真 假 假 SP P S S P P S S P 3 假 真 假 假 假 假
6、 必须同时真 1) 合成式 2)分解式 3)否定式 p p并且 q or p并且 q 并非 p q 所以， p且 q 所以 p 所以 q 所以，并非（ p且 q） 10. 选言命题及推理 1) 相容选言命题及推理 （ P或者 q） 只要有一个真就可以 否定肯定式 P或者 q 非 p 所以， q P或者 q 非 q 所以， p 肯定肯定式 P 所以， P 或者 q （正确） 若肯定一个，则必须包含这个选言支的任一选言命题 肯定否定式 P或者 q p 所以，非 q P或者 q q 所以，非 p 相容：各个选言支既可以单独成立，也可以同时成立 2）不相容选言命题及 推理 （要么 p，要么 q） p
7、q 要么 p，要么 q 真 真 假 真 假 真 假 真 真 假 假 假 只能一个为真 时才为真 否定肯定式 要么 p，要么 q非 p 所以， q 要么 p，要么 q 非 q 所以， p 非此即彼 肯定否定式 要么 p，要么 q p 所以，非 q 要么 p，要么 q q 所以，非 p p q P 或者 q 真 真 真 真 假 真 假 真 真 假 假 假 4 11. 假言命题及推理 （一）充分条件 有 p一定有 q，但无 p未必无 q。 “如果 p，那么 q” p q 如果 p，那么 q 真 真 真 真 假 假 假 真 真 假 假 真 只要前件是假的，或者后件是真的 ，它本身就是真的： 即： “如
8、果 p那么 q” “或者非 p或者 q” “并非（ p并且非 q） 两者矛盾关系 肯定前件式 如果 p，那么 q p 所以， q 肯定后件式 如果 p，那么 q q 所以， p 否定后件式 如果 p，那么 q 非 q 所以，非 p 否定前件式 如果 p，那么 q 非 p 所以，非 q （二）必要条件 无 p一定无 q，但有 p未必有 q“只有 p，才 q”“除非 p，否则不 q” p q 只有 p，才 q 真 真 真 真 假 真 假 真 假 假 假 真 与充分条件假言命题相反 如果 p是 q的充分条件 ，则 q是 p的必要条件； 如果 p是 q的必要条件，则 q是 p的充分条件； 即 “如果
9、p，那么 q”“只有 q，才 p” “只有 p，才 q” “如果 q，那么 p” =“如果非 p，那么非 q” 否定前件式 只有 p，才 q 非 p 所以， q 肯定前件式 只有 p，才 q p 所以， q 肯定后件式 只有 p，才 q q 所以， p 否定后件式 只有 p，才 q 非 q 所以，非 q 5 （三）充分必要条件 有 p 就有 q，并且无 p就无 q p当且仅当 q “如果 p那么 q，并且只有 p才 q” “如果 p那么 q，并且如果非 p则非 q” p q p当 且仅当 q 真 真 真 真 假 假 假 真 假 假 假 真 必须同真、同假 同真 P当且仅当 q p 所以， q
10、p当且仅当 q q 所以， p 同假 P当且仅当 q 非 p 所以，非 q p当且仅当 q 非 q 所以，非 p 12. 负命题及其等职命题 “并非 p”“并不是 p” P 并非 p 真 假 假 真 矛盾关系，不能同真假 1) “并非所有 s是 p” “有些 s 不是 p” 2) “并非（ p并且 q）“ “非 p或者非 q” 3) “并非（ p或者 q）” “非 p或者非 q” 4) “并非如果 p则 q” “ p并且非 q” 5) “并非只有 p才 q” “非 p并且 q” 6) “并非（ p当且仅当 q） “ p且非 p，或者，非 p且 q” 13. 常用的几种复合命题推理 反三段论 如
11、果 p且 q则 r 所以，如果非 r且 p则非 q 如果 p且 q则 r 所以，如果非 r且 q则非 p 归谬式推理 如果 p则 q 如果 p则非 q 所以，非 p 先假设 某个前提或选项为真或为假，看能否推出矛盾 反正式推理 如果非 p则 q 如果非 p 则非 q 所以， p 6 14. 模态命题及其推理 1）“ 必然 p” “并非 必然非 p” 2）“ 必然非 p” “并非 必然 p” 3）“必然 p” “可能 p” 4）“并非 可能 p” “并非 必然 p” 5）“ 必然 非 p” “ 可能 非 p” 6）“ 并非可能 非 p” “ 并非必然 非 p” 7）“必然 p” “并非可能非 p
12、” 8）“必然非 p” “并非可能 p” 9）“可能 p” “并非必然非 p” 10）“可能非 p” “并非必然 p” 11）“不可能 p” “必然非 p” 必然 p 反对关系 必然非 p 全肯 同假 不同真 全否 特肯 同真 不同假 特否 可能 p 下反对关系 可能非 p 15. 归纳推理 1）简单枚举法 S1是 P； S2 是 P； S3 是 PSn 是 P （ S1,S2,S3 Sn是 S类的部分对象） 所以，所有的 S都是 P 举例要数量多、范围足够广、被考察对象只见的差异要充分大。样本过少、结论明显为假 “以偏概全”，“轻率概括” 2）类比推理 A（类）对象具有属性 a,b,c,d
13、B（类 ) 对象具有属性 a,b,c, 所以， B（类）对象也具有属性 d 相关程度越高，可靠性越高， 通常把违背常识，结论明显为假的类比称为“机械类比”或“荒唐类比”。 3）求同法 场合 1：有先行现象 A,B,C，有被研究现象 a； 场合 2：有先行现象 A,B,D，有被研究现象 a； 场合 3：有先行现象 A,C,E，有被研究现象 a； 等差关系 真 真 假 假 假 不定 假 不定 假 假 真 真 等差关系 7 所以， A（可能）是 a的原因 缺点：先行现象中表面的“同”可能掩盖着本质的“异”，表面的“异”可能掩盖本质的“同” 4）求异法 场合 1：有先行现象 A,B,C，有被研究现象
14、a； 场合 2：有先行现象 B,C，没有被研究现象 a； 所以， A是 a的原因 5）求 同求异并用法 正面场合： 有先行现象 A,B,C，有被研究现象 a； 有先行现象 A,D,E，有被研究现象 a； 反面场合： 有先行现象 F,G，没有被研究现象 a； 有先行现象 H,K，没有被研究现象 a； 所以， A（可能）是 a的原因 6) 共变法 有先行现象 A1，有被研究现象 a1； 有先行现象 A2，有被研究现象 a2； 有先行现象 A3，有被研究现象 a3； 所以， A是 a的原因 7）剩余法 A,B,C,D是 a,b,c,d的原因， A是 a的原因， B是 b的原因 C是 c的原因 所以，
15、 D与 d之间有因果关系 16. 抽样统计和“精确”数字陷阱 1）抽样统计方法 主要取决于样本的代表性，一般从抽样的规模、广度和随机性三个方面来保证，不带偏见。 2）某些“精确”数字陷阱 他们为什么会有那么清楚、准确的数字或数据？他们获得这些数字、数据的方法和途径是什么？这些方法和途径可靠吗？这些数字、数据的可信度高吗？ （一） 平均数陷阱：特别注意最大和最小值之间的差异（范围），以及每个数值出现的次数（分布）。 （二） 莫名其妙的百分比：要弄清该百分比所赖以计算出来的那个基数；该百分比 所表示的绝对总量， 该百分比虽小，但绝不意味着它所体现的数字同样貌不惊人；警惕 有人为了某种目的，选用合乎
16、需要的基础数据，使百分比（合乎需要）地显得畸大或畸小。 （三） 荒唐、无用或虚假的比较 比较要有比较多对象，也要有比较大共同基础，常见错误有： a) 表面进行比较，但不设定比较多对象，实际上根本没有比较 b) 不设定比较多根据或基础，在不同的基础上进行比较，或者把来不可比的对象、数据拿来强作比较 （四） 数据与结论不相干 8 9 1. 实数 实数 有理数 整数（正整数、零、负整数） 分数（正分数和负分数） 无理数 （即为无限不循环小 数） ， 51/2 方程根是无理数，则经常是一对； 自然数集是非负整数集，是由正整数和零组成的。 整数 偶数 2n 奇数 2n+1 正整数 1 质数（也称为素数，
17、它只有 1和自身两个约数） 合数（有除 1 和自身以外的约数） 两个相邻整数必为一奇一偶。除 最小质数 2 是偶数外，其余质数均为奇数。任何一个合数都能分解为若干个 质因数之积 。 有理数 是能表示为 n/m(n Z， m Z+)形式的数，这是与 无理数 本质的区别。 最简正分数 ：不能再进一步化简的分数，比如 1/3， 1/7， 5/21等 2. 绝对值性质 - a a a a+b a + b a、 b同号时，等式成立 a-b a - b a、 b同号时，等式成立 经常用在组合求解上，可以分别在 a、 b上同一个数 P8，例 1.8 3. 算术平均数 =（ X1+X2+X3+ Xn） /n
18、几何平均数 =（ X1 X2 X3 Xn） 1/n 黄金分割 X=【 a（ a-x） 】 1/2 0.618 4. 求解有关百分比的习题时，明确所给百分比 是哪两个量的比值 很重要。 5. ab=10a+b a为十位数， b为个位数 6. 有些计算题要 详细运算过程 ，极容易出错。而且无法计 算详细答案时，要注意 排除法、特例法 的使用，提高准确率。 7. 乘法公式 （ a+b+c） 2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc (a b)3=a3 3a2b+3ab2 b3 a3 b3=(a b)(a2干 ab+b2) 8. 整式的除法运算 F(x)=f(x)*g(x)+r(x) r(x)为余
19、数，当 r(x)=0 时，称正整式 F(x)=f(x)*g(x)， F(x)能被整式 f(x)整除 。解题时，通常可 带入具体数， 使 f(x)、 g(x)或 r(x)=0。 9. 多因式分解常用法 求根法： （万能法，计算可能复杂） a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ +an=0, 有 n个根 x1 x2 x3 xn， 则多项式 a0xn+a1xn-1+a2xn-2+ +an =a0(x-x1)(x-x2)(x-x3) (x-xn) 10 二次三项式的十字相乘法 待定系数法， P21， 比如 x3-x2-x-2=(x2+ax+b)(x+c)=x3+(a+c)x2+(ac+b)x+bc,然
20、后求解同类项系数，如有可能，可继续分解 x2+ax+b项，这时就相对容易多了。 注意分式之间的两两结合，使之有同类项 。 （ x+1） (x+2)(x+3)(x+4)-120=（ x+1） (x+4) (x+2) (x+3) -120 = （ x2+5x)+6 (x2+5x)+4 -120 完全平方式 判别式 =0 y=a0(x-x1)(x-x2)(x-x3)， 能使 y=0 的都是 y 的因式， 所以 (x-x1)=0、 (x-x2)=0、(x-x3)=0 分别是 y的因式 A+B+C 0或 ABC 0，则 A， B， C中至少一个大于 0。 奇数奇数 =奇数；奇数 +奇数 =偶数 f(x)
21、=ax2+bx+c=0 在 x0的两侧有根 ,则 a 0 时， f(x0) 0； a 0 时 f(x0) 0；可以用来求待定系数。 10. 注意事项： 许多题看似有多个未知数，比如 x、 y、 z，实际上题干经常是对称的，可以分别转换后带入已知条件，这些未知数通常是可以约掉的。 P24， 25 例如 x+1/y=y+1/z=z+1/x 有些求值的，可以取 1 3组具体数值带入求解，如果值相同，则得解。 有些答案看似错误，但是要看前面自己求出来的答案能否向给出的答案转换。有些选项尽管不全面，但是仍在解答的范围之内，不能较真。 看（ 1）（ 2）条件之间的关系，比如：矛盾、 联合 、包含关系 11
22、. 求 数列的通项公式 an常用方法 ： 1) 注意先求 a1，然后求后面的项，看能否结合，否则就不是等差数列； 2) 从已知条件直接求； 3) a1,a2,a3 ，然后 总结规律 ，最后同已知条件比较验算； 12. 等差数列 an=a1+(n-1)d; Sn=n(a1+an) /2=na1+ n(n-1)d /2 常数列 c,c,c,c, c是 公差的 d=0的等差数列 。 Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, 仍是等差数列 ，公差为 n2d。 一般情况下，凡是等差数列的相关元素的计算问题，均可化为关于首项 a1和公差 d的问题求解 Sn前 n项和最大，说明 an是递减数 列，到 an
23、0、 an+1 0的时候 Sn 最大； an 是递减数列，前面某些项大于 0，则 Sn=某个具体数， n通常会有 2解。 前 m项 前 n项 0 后 n项 13. 等比数列 Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q)； 都是 0的项，不能是等比数列。 非 0常数列 c,c,c, c是公比 q=1的等比数列，其 Sn=nc 无穷等比数列 an的前 n项公比为 q，若 q 1，则该数列的各项和 S=a1/(1-q)。必须是11 无穷，否则不能套用。 若 Sn是等比数列 an 的前 n项和， Sn, S2n-Sn, S3n-S2n, 仍是等 比 数列 ， 公比为 qn。 一般情
24、况下，凡是等比数列的相关元素的计算问题，均可化为关于首项 a1和公比 q的问题求解 求字母 a,b,c代表的数列是否等比时，要看特殊值得情况下，是否有选项等于 0， q不能等于 0 。 14. 求一个非等差、等比数列的前 n项和，有时可以拆成几个等差或等比数列的前 n项和，再求之。 在应用数列的知识解决实际应用问题时，首先要明确问题中哪些量依什么顺序组成什么数列？是等差还是等比？在这个数列中已知什么？欲求什么？ 要搞清楚哪是起始项？到底有多少项？ P61， P65（ 24）特别是计算增长率、利息的题 ，不能忘了 减 1。 验算等比、等差数列 an或 Sn，只需验证前三项就可； 15. 排列组合
25、 加法原理 n种办法，每种办法分别有 m1,m2,m3 mn 种不同的方法 N=m1+m2+m3+ mn 乘法原理 n个步骤，每个步骤分别有 m1,m2,m3 mn 种不同的方法 N=m1 m2 m3 mn 排列有顺序，组合没有 16. 排列公式 Pnm=n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1) = n!/(n-m)! 有时也用 A表示 Pnn=n! n!=1 2 3 n 0!=1 17. 组合公式 Cnm = Pnm / Pmm Pnm = Cnm Pmm(排列组合之间的关系 ) = n(n-1)(n-2)(n-3) (n-m+1)/m! = n!/m!(n-m)! Cnn=1 Cn
26、0=1 n!=1 2 3 n 0!=1 Cnm= Cnn-m Cn+1m=Cnm + Cnm-1 18. 解排列组合问题的策略 认真审题，弄清排列还是组合、还是排列与组合混合； 要抓住问题的本质特征，做到不重不漏； 要计算正确。 一般方法有：直接法和间接法。 （ 1）在直接法中又分为两类，若问题可分为互斥各类，据加法原理，可用分类法；若问题考虑先后次序，据乘法原理，可用占位法。 （ 2）间接法一般用于当问题的反面简单明了，据 A A=I 且 A A= 的原理，采用排除的方法来获得问题的解决。 特殊方法： （ 1）特元特位：优先考虑有特殊要求的元素或位置后，再去考虑其它元素或位置。 （ 2）捆绑
27、法：某些元素必 须在一起的排列，用“捆绑法”，紧密结合粘成小组，组内外分别排 （ 3）插空法：某些元素必须不在一起的分离排列用“插空法”，不需分离的站好实位，在空位上进12 行排列。 先 Cn6 然后 P55 见 P70 例 5.2-1 （ 4）其它方法。 19. 概率初步 0 P(A) 1, 必然事件为 1，不可能事件为 0 1) 等可能事件的概率 P(A)=m/n m事件总数 n符合条件的事件数 2) 互斥 (互不相容 )事件的概率 A B 加法 互斥： 不可能同时发生的事件 P(A1+A2+A3+ An)= P(A1)+P(A2)+P(A3)+ P(An) 不同情况都发生 对立事件的概率
28、 对立事件：其中必有一个发生的 互斥 事件 P(A)+P(A)=P(A+A)=1 P(A)=1- P(A) 3) 相互独立事件同时发生的概率 A B 乘法 相互独立事件：事件 A是否发生对事件 B发生的概率没有影响 P(A1 A2 A3 An)= P(A1) P(A2) P(A3) P(An) 独立事件同时发生 4) 独立重复试验 如果在 1 次试验中某事件发生的概率 p，在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率记做 Pn(k), 那么 Pn(k)=Cnkpk(1-p)n-k 5) ABC=A BC A B A 且 C A P(A-B) = P(A-AB) = P(A)-P(AB
29、) = PA(1-B) = P(AB) 为求交集（乘法） 为求和（加法） A B = A A B 6) 保费 X，赔偿金 Y；时间发生 p，不发生（ 1-p） 则期望收益率 =X(1-p)+(X-Y)P 7) 事件 A与 B相互独立 事件 A与 B相互独立， 那么一个的和、差、交、并、逆与另一个都是相互独立的。 20. 概率补充 ：必然事件 ：不可能事件 （ +）或者 和集； （）并且 交集 对立关系 ： 非 A，即事件 A发生时不发生的事件 P(A)+P(A)=P(A+ A)=1 A A 13 互斥事件 ： A与 B不可能同时发生，即 A与 B不包含公共点 P(A+B)=P(A)+P(B)
30、对立的事件是互斥的，而互斥的事件不一定是对立的 只有当 B= A 时，互斥的才是对立的，大部分情况下 B仅是 A 的一部分 求和： A B=A+B-A B 求差： A-B=A-AB P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) P(A-B)=P(A)-P(AB)= P(A B) 结合律（不适用于事 件差点运算） (A B) C=A (B C); (A B) C=A (B C) 分配率 A (B C)=(A B) (A C) A (B C)=(A B) (A C) 吸收率 A (A B)=A; A (A B)=A 补元率 A A= A A= 德莫根律 A B = A B; A B = A B A
31、,B,C 至 少 有 两 个发生（ AB BC AC） 项数 =2 至多 有 两 个发生（ A B C） 项数 =3-2=1 注意规律 P(AB)=P(A)-P(A-B), 只有在 A、 B相互独立 时， P(AB)=P(A)P(B） 条件概率 P(A B)= P(AB)/P(B) P(AB)= P(A B) P(B) MinP(A),P(B) P(AB) P(A)+P(B)-1 P(A)=1,不能 直接推 出 A=，进而推出 P(AB)=P(B),概率为 1的事件不一定是必然事件，同样概率为 0的事件也不一定是不可能事件。 求概率 A的有些题，过于复杂，可以先把题意分解为几种类型组合（用加法
32、原理），然后再求解，或者转化为非 A（ 1-A）。 但是注意拆分 后 不要漏项。 A A B A B A B 14 21. 三角形面积公式 S P(P-A)(P-B)(P-C)1/2 P=(A+B+C)/2 S 1/2 AB AC Sin A 1) 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边； 2) 当 S ABC S A B C 时，面积之比 =（ AB/ A B ） 2 3) 互余 sin =cos(90o- ) tg = ctg(90o- ) 互补 sin(180o- )= sin cos(180o- )= -cos tg = -tg(180o- ) 22. 梯形中位线 =（ a+b
33、） /2 菱形面积 =对角线乘积的一半，即 S=（ ab） 2 23. S 圆 = r2 周长 =2 r 24. 平面两点间距离公式 A(x1,y1) B(x2,y2) 22122121 )()( yyxxPP 25. 有向线段的定比分点坐标公式 P为定比分点 =AP/PB A(x1,y1) P(x,y) B(x2,y2) x1+ x2 y1+ y2 1+ 1+ x1-x y1-y x-x2 y-y2 当 P为中点时， =1 X=(x1+x2)/2 y=(y1+y2)/2 可用于检验三点是否共线，当 1= 2时， ABC三点同线。 P88 若 ),(),(),( 332211 yxCyxByx
34、A ， ，则 ABC 的 重心 G 的坐标 是 33 321321 yyyxxx ， 。 26. 直线斜率 K的计算公式 k=tan ( /2) 0, 直线 L上两点 A(x1,y1) B(x2,y2)，则 k=(y2-y1)/(x2-x1) x1 x2 直线 Ax+By+C=0 (B 0)的斜率 k=-A/B 27. 两条直线夹角公式 设两条直线 L1、 L2的斜率分别为 k1,k2，且 k1k2 -1，直线 L1到 L2 的角为 0, ，则 21121 kk kktg 当 0, /2时，21121 kk kktg 当 k1k2=-1时， = /2，两条直线垂直 28. 点到直线的距离 X=
35、 Y= = L1 L2 15 设直线 Ax+By+C=0，点 P（ Xo+Yo） ,则点 P到直线的距离为 2200 BA CByAxd 两条平行直线 00 2211 CByAxlCByAxl ：，： 距离是 2221 BA CCd 29. 直线方程的几种形式 点斜式： )( 00 xxkyy ， 斜截式： bkxy 两点式：121121 xx xxyy yy ， 截距式： 1byax 1) 设直线 L1: y=k1x+b1 L2:y=k2x+b2 L1 L2 k1=k2, b1 b2 L1 L2 k1 k1=-1 30. 圆的方程 圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 注：（ a,
36、b）是圆心坐标 圆的一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 注： D2+E2-4F0 其中，半径是 2 422 FEDr ，圆心坐标是 22 ED，圆 ),( 00222 yxPryx 的以 为切点的切线方程是 200 ryyxx 一 般 地 ， 曲 线 )(0 0022 yxPFEyDxCyAx ，的以点 为 切 点 的 切 线 方 程 是 ：022 0000 FyyExxDyCyxAx 。 31. 圆与直线的关系 直线 L 和 O相交 d r 直线 L 和 O相切 d=r 直线 L 和 O相离 d r 圆的外切四边形的两组对边的和相等 切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点
37、到割线与圆交点的两条线段长的比例中项 32. 两个圆的位置关系 两圆外离 d R+r 16 两圆外切 d=R+r 两圆相交 R-r d R+r(R r) 两圆内切 d=R-r(R r) 两圆内含 d R-r(R r) 33. 外心：三角形的外接圆；内心：三角形的内接圆心 34. 求成本最小、收益最大时 f (x)=0 35. 求 A B的条件时，只要有 A或 B或 AB一起出现，就满足条件 P93 例 6.30 36. 二项式定理 (a+b)n= Cnian-ibi 注： 第一项是从 i=0开始的 , 第 4项即 i=3时。 nnnrrnrnnnnnnnn bCbaCbaCbaCaCba 22
38、2110)( 37. 等比定理是指： 合比定理； d dcb badcba 分比定理：合分比定理： dc dcba badcba 分合比定理： dc dcba badcba 38. 特殊角的三角函数值： 0 6 4 3 2 23 sin 0 21 22 23 1 0 1 cos 1 23 22 210 1 0 tg 0 33 1 3 不存在 0 不存在 ctg 不存在 3 1 33 0 不存在 0 正弦定理是（其中 R 表示三角形的外接圆半径）： RCcBbAa 2s ins ins in ABC 的面积用 S 表示，外接圆半径用 R 表示，内切圆半径 用 r 表示，半周长用 p 表示则： a
39、haS 21； AbcS sin21 ； d dcb badcba 17 RabcS 4 ； )()( cpbpappS ； prS 在 ABC 中， BABA sinsin ， 39. 两个正数的 均值不等式是： abba 2 三个正数的均值不等式是： 33 abccba n 个正数的均值不等式是： nnn aaan aaa 2121 过 aX bY c 0 和 AX BY C 0的交点直线方程为 aX bY c K（ AX BY C） 0（ K为待定系数） 直线 aX bY c 0上的点 P（ X0, Y0） 到点 A（ X1， Y1）， B（ X2， Y2）的距离 PA PB 的最小值为
40、 : 1) 做 B的对称点 B，然后连线 AB， 与直线的交点 P即为最小点 ；用 等比分点公式 2) 或用 f(x)； 3) 实际解题过程中，可以把 5个值分别带入验求最小点，可能更快 A（ x0,y0）直线 Ax+By+C=0 ,令 B(x1,y1)为点关于直线的对称点 则 A(x0+x1)/2+B(y0+y1)/2+C=0 中点公式 A(y1-y0)=B(x1-x0) 斜率公式 解方程即可 。 直线 f(x)= aX + bY + c，斜率为 K 阴影 K 0 K 0 f(x) 0 直线下方 直线上方 f(x) 0 直线上方 直线下方 n 个老师监考 个班， 不监考自己班 ，用排除法做 ，按有 1、 2 n 个老师监考自己班逐个排除 ： 4 个（ 9 种）； 5 个（ 45 种）； 6 个（ 259 种） 求 f(x)的余数，只需把令除数 =0 的 X=n，带入选项，看哪个与题干相符即可。 K 0 K 0 B B A P（ X0, Y0）
