1、第一讲 找规律【知识梳理】所谓规律探索题指的是给出一组具有某种特定关系的数、式、图形或是给出与图形有关的操作、变化过程，要求通过观察、分析、推理，探求其中所蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。 常见类型有：（1）数字猜想型（2）数式规律型（3）图像变化猜想型（4）数形结合猜想型（5）坐标变化型解题策略：综合运用比较、猜想、概括、推理等方法；关键是仔细审题，归纳规律，合理推测，认真验证，从而得出问题的结论。知识点 1：循环规律：一列数每隔 T 项就开始循环，或一列图形（符号）每隔 T 个就开始循环，T 叫做循环周期。如果一列数或图形的循环周期为 T，则其第 kT+1(k=1,2,3.)项与
2、第 1 项相同；则其第 kT+2(k=1,2,3.)项与第 2 项相同；则其第 kT+3(k=1,2,3.)项与第 3 项相同；以此类推正整数的 n 次幂的循环规律：对于任意一个正整数 a，a n(n=1,2,3.)的个位数字必循环。例如：2 n（n=1,2,3. ）的个位数字循环规律为：2,4,8,6,2,4,8,6，.，循环周期为 4.知识点 2：不循环的规律：等差数列：对于一列数 a1,a2,a3,.,如果始终有后面一项减去前面一项是一个固定常数，那么这列数就叫等差数列。此时后一项与前一项的差值称为公差，通常记为 d。对于等差数列，其第 n 项为 an=a1+(n-1)d,前 n 项的和
3、为 .特别地，2)(1nnaS奇数列：1,3,5,7,9，.是等差数列，公差为 2，第 n 项为 2n-1，前 n 项和为 n2。偶数列：2,4,6,8,10，.是等差数列，公差为 2，第 n 项为 2n，前 n 项和为 n2+n。等比数列： 对于一列数 a1,a2,a3,.,如果始终有后面一项与前面一项的比值是一个固定常数，那么这列数就叫等比数列。此时后一项与前一项的比值称为公比，通常记为 q。对于等比数列，其第 n 项为 an=a1qn-1.特别地，数列 -1,1，-1,1，-1 ，.是等比数列，公比为-1 ，第 n 项为(-1) n ；数列 1，-1,1，-1，.是等比数列，公比为-1，
4、第 n 项为(-1) n+1 ；数列 1，0，1，0，1，. 第 n 项为 ； 21-平方数列：1,4,9,16,25，.的第 n 项为 n2 。【例题讲解】1、 （2015 朝阳一模）一组按规律排列的式子： ， ， ， ， ，其中a22531047a526第 7 个式子是 ，第 个式子是 （用含的 式子表示， 为正整数） nn【巩固】一组按规律排列的式子： ， ， ，其中第 n 个式子是 3294258 65162、 （2015 燕山一模）定义：对于任意一个不为 1 的有理数 a，把 称为 a 的差倒数，1如 2 的差倒数为 ， 的差倒数为 记 ， 是 的差倒数，12)(221是 的差倒数，
5、 是 的差倒数， ，依此类推，则 ； 3a24a3 a2015a3、 （2013 西城一模）在平面直角坐标系 xOy 中，有一只电子青蛙在点 A(1,0)处第一次，它从点 A 先向右跳跃 1 个单位，再向上跳跃 1 个单位到达点 A1；第二次，它从点 A1 先向左跳跃 2 个单位，再向下跳跃 2 个单位到达点 A2；第三次，它从点 A2 先向右跳跃 3 个单位，再向上跳跃 3 个单位到达点 A3；第四次，它从点 A3 先向左跳跃 4 个单位，再向下跳跃 4 个单位到达点 A4；依此规律进行，点 A6 的坐标为 ；若点 An 的坐标为（2013，2012） ，则 n= 4、（2010 北京）下图
6、为手的示意图，在各个手指间标记字母 A，B，C，D.请你按图中箭头所指方向（即 A B C D C B A B C 的方式）从 A 开始数连续的正整数 1，2，3，4，当数到 12 时，对应的字母是_;当字母 C 第 201次出现时，恰好数到的数是_；当字母 C 第 2n+1 次出现时（n 为正整数） ，恰好数到的数是_ （用含 n 的代数式表示） 。A DCB5、 （2012 丰台）在数学校本活动课上，张老师设计了一个游戏，让电动娃娃在边长为 1 的正方形的四个顶点上依次跳动规定：从顶点 A 出发，每跳动一步的长均为 1第一次顺时针方向跳 1 步到达顶点 D，第二次逆时针方向跳 2 步到达顶
7、点 B，第三次顺时针方向跳 3 步到达顶点 C，第四次逆时针方向跳 4 步到达顶点 C， ，以此类推，跳动第 10 次到达的顶点是 ，跳动第 2012 次到达的顶点是 2010 北京112 10 9876543216、 （12 石景山二模）如图所示，圆圈内分别标有 1，2，12，这 12 个数字，电子跳蚤每跳一步，可以从一个圆圈逆时针跳到相邻的圆圈，若电子跳蚤所在圆圈的数字为 ，则电子跳蚤连续跳（ ）步作为一次跳跃，例如：电子跳蚤n-3n从标有数字 1 的圆圈需跳 步到标有数字 2 的圆圈内，完成一次12跳跃，第二次则要连续跳 步到达标有数字 6 的圆圈，依此规4-律，若电子跳蚤从开始，那么第
8、 3 次能跳到的圆圈内所标的 数字为 ；第 2012 次电子跳蚤能跳到的圆圈内所标的数字为 7、 （11 北京）在上表中，我们把第 i 行第 j 列的数记为 （其中 i，j 都是不大于 5 的正,ija整数） ，对于表中的每个数 ，规定如下：当 时， ；当 时， 。,ijai,1ij,0ija例如：当 ， 时， 。按此规定， _；表中的 25 个数中，共2i1j,2,1ij,3有_个 1；计算 的值为_。,3,1,4,1,5,iiiiiaa1,a1,2,2,3a2,42,5a3,13,2,3,4,a4,4,34,4,55,15,25,a5,a8、 （2013 朝阳一模）在平面直角坐标系 xOy
9、 中，动点 P 从原点 O 出发，每次向上平移 1个单位长度或向右平移 2 个单位长度，在上一次平移的基础上进行下一次平移例如第 1次平移后可能到达的点是（0，1） 、 （2，0） ，第 2 次平移后可能到达的点是（0，2） 、（2，1） 、 （4，0） ，第 3 次平移后可能到达的点是（0，3） 、 （2，2） 、 （4，1） 、 （6，0） ，依此类推我们记第 1 次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为 l1，l 1=3；第 2 次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为 l2，l 2=9；第 3 次平移后可能到达的所有点的横、纵坐标之和为 l3，l 3=18；按照这样的规律，l 4=
10、 ； ln= (用含 n 的式子表示，n 是正整数)y x123456789456789O9、 （2012 石景山一模）一个正整数数表如下（表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的 2 倍）： 则第 4 行中的最后一个数是 ，第 行中共有 个数，第 行的nn第 个数是 n第 1 行 1第 2 行 3 5第 3 行 7 9 11 13 10、 （2013 石景山一模）将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的规律，第 5 行从左到右的第 3 个数为_；第 行（ 3）从左到右的n第 3 个数为 （用含 的代数式表示）n11、 （2013 通州一模）定义一种对
11、正整数 n 的“F 运算” ：当 n 为奇数时，结果为 ；31n当 n 为偶数时，结果为 （其中 k 是使得 为奇数的正整数） ，并且运算重复进行.例kn2k2如，取 ，则： ，若 ，则第 2 次“ F 运61233105FFF 1算”的结果是 ；若 ，则第 2013 次“F 运算”的结果是 .n12、 （2014 年海淀一模）在一次数学游戏中，老师在 三个盘子里分别放了一些糖ABC、 、果，糖果数依次为 ， ， ，记为 （ ， ， ）. 游戏规则如下： 若三个盘子0ab0c0Ga0bc中的糖果数不完全相同，则从糖果数最多的一个盘子中拿出两个，给另外两个盘子各放一个（若有两个盘子中的糖果数相同
12、，且都多于第三个盘子中的糖果数，则从这两个盘子字母序在前的盘子中取糖果） ，记为一次操作. 若三个盘子中的糖果数都相同，游戏结束. 次操作后的糖果数记为 （ ， ， ） nnGnabnc（1）若 （ 4，7，10） ，则第 _次操作后游戏结束；0（2）小明发现：若 （4 ，8，18） ，则游戏永远无法结束，那么 _0 2014G13、 （2012 海淀二模）小东玩一种“挪珠子”游戏，根据挪动珠子的难度不同而得分不同，规定每次挪动珠子的颗数与所得分数的对应关系如下表所示：挪动珠子数（颗） 2 3 4 5 6 所得分数（分） 5 11 19 29 41 按表中规律，当所得分数为 71 分时，则挪动
13、的珠子数为 颗; 当挪动 n 颗珠子时（n 为大于 1 的整数）, 所得分数为 （用含 n 的代数式表示）【课堂练习】1、 （ 2015 东城期末）如图，在平面直角坐标系中，将 ABO 绕点 A 顺时针旋转到AB 1C1的位置，点 B,O 分别落在点 B1,C1 处，点 B1 在 x 轴上，再将 AB 1C1 绕点 B1 顺时针旋转到A1B1C2 的位置，点 C2 在 x 轴上，将A 1B1C2 绕点 C2 顺时针旋转到A 2B2C2 的位置，点 A2 在x 轴上，依次进行下去若点 A（ ，0） ，B（0，4 ） ，则点 B4 的坐标为 ,点 B2014 的坐标为 2、 （ 2015 房山期末
14、）抛物线 （其中 n 是正整数）与 x 轴交于21-nyxAn、 Bn两点，若以 AnBn表示这两点间的距离，则 ; AB_1； _12(用含 n 的代数式 表示)n_.33、 （ 2015 丰台期末）在平面直角坐标系 中，对于点 ， 其中 ，我们把点xOy,Pxy0叫做点 P 的衍生点.已知点 的衍生点为 ，点 的衍生点为 ，)1,(yxP 1A2A3点 的衍生点为 ，这样依次得到点 ， ， ， ，如果点 的3A4 123n1坐标为 ，那么点 的坐标为_；如果点 的坐标为 ，且点)1,2(3A1ba,在双曲线 上，那么 _015xyba4、 （2015 海淀期末）对于正整数 ，定义 ，其中
15、表示 的首n210()=， ， nFf()fn位数字、末位数字的平方和例如： ， 2632()310f规定 ， （ 为正整数） 例如：1()Fn1()()kkn， 230212)(01FF（1 ） 求： _， _；(4)05(4（2 ） 若 ，则正整数 m 的最小值是_389mF5、 （2015 怀柔期末）在平面直角坐标系 xOy中，正方形 ABCD 的位置如右图所示，点 A 的坐标为（1 ，0） ，点 D 的坐标为（0，2 ） ，延长 CB交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C，延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1， 按这样的规律进 行下去，第 1 个正方
16、形的面积为 ；第 n 个正方形的面积为 6、 （ 2015 门头沟）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 ABCD 顶点 A（1，1） 、B（3 ，1 ） 我们规定“ 把正方形 ABCD 先沿 x 轴翻折，再向右平移 2 个单位”为一次变换（1 ）如果正方形 ABCD 经过 1 次这样的变换得到正方形 A1B1C1D1，那么 B1 的坐标是 （2 ）如果正方形 ABCD 经过 2014 次这样的变换得到正方形 A2014B2014C2014D2014，那么 B2014 的坐标是 7、 （ 2015 密云期末）如图，边长为 1 的正方形 放置在平面直角坐标系中，顶点ABCD与坐标原点 重合
17、，点 在 轴上.将正方形 沿 轴正方向作无滑动滚动，AOxx当点 第一次落在 轴上时， 点的坐标是_, 点经过的路径的总长度是Dx_；当点 第 2014 次落在 轴上时， 点经过的路径的总长度是_.DCBA xyOxyDC2C1B2B1A3A21AOBnCnCn-1Bn-1n-2 n-2OAB1B2B3DC3C21C1B1 OAB2DC2 C3B3C1AB1OB2 DC28、 （ 2015 平谷期末）在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点叫做整点设坐标轴的单位长度为 1cm，整点 P 从原点 O 出发，作向上或向右运动，速度为 1cm/s当整点P 从原点出发 1 秒时，可到达整点（1,0
18、）或（0,1） ；当整点 P 从原点出发 2 秒时，可到达整点（2,0） 、 （0,2）或 ；当整点 P 从原点出发 4 秒时，可以得到的整点的个数为 个当整点 P 从原点出发 n 秒时，可到达整点（x,y） ，则 x、y 和 n 的关系为 9、 （ 2015 石景山期末）二次函数 的图象如图，点 A0 位于坐标原点，23x点 A1，A 2，A 3An 在 y 轴的正半轴上，点 B1，B 2，B 3， ，Bn 在二次函数位于第一象限的图象上，点 C1，C 2，C 3， ，Cn 在二次函数位于第二象限的图象上，四边形 A0B1A1C1，四边形 A1B2A2C2，四边形A2B3A3C3，四边形 A
19、n-1BnAnCn 都是菱形，A 0B1A1=A 1B2A2=A 2B3A3=A n-1BnAn=120.则 A1 的坐标为 ；菱形 An-1BnAnCn 的边长为 .10、 （ 2015 通州期末）如图：在平面直角坐标系中，A（-2，0） ，B（0，1） ，有一组抛物线 Ln,它们的顶点 Cn（Xn，Yn ）在直线 AB 上，并且经过点（ Xn+1，0）,当n=1，2 ，3 ，4，5 时，Xn=2,3,5,8,13，根据上述规律，写出抛物线 L1 的表达式为 ，抛物线 L6 的顶点坐标为 ，抛物线 L6 与 X 轴的交点坐标为 11、（ 2015 延庆期末）如图，AD 是O 的直径(1)如图
20、 1，垂直于 AD 的两条弦 B1C1，B 2C2 把圆周 4 等分，则 B 1 的度数是 ，B 2 的度数是 ；(2)如图 2，垂直于 AD 的三条弦 B1C1，B 2C2，B 3C3 把圆周 6 等分，则B 3 的度数是 ；(3)如图 3，垂直于 AD 的 n 条弦 B1C1，B 2C2，B 3 C3，B nCn 把圆周 2n 等分，则B n 的度数是 （用含 n 的代数式表示B n 的度数） 图 1 图 2 图 312、（ 2015 燕山期末）在函数 的图象上有点 P1，P 2，P 3，P n，P n+1，它们)0(8xy的横坐标依次为 1，2，3，n，n+1过点 P1，P 2，P 3，
21、P n，P n+1 分别作 x 轴、y 轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为 ， ， ， ， 则点 P1 的坐标为 ； ； 1S2S2SnS（用含 n 的代数式表示）【课后作业】1、一组按规律排列的式子： ， ， ， ，其中第 6 个式子是 2ba43284ba1654，第 个式子是 （ 为正整数） nn2、 （09 东城一模）按一定规律排列的一列数依次为： ， ， ， ， ， ，23052613按此规律排列下去，这列数中的第 9 个数是_3、 （12 西城一模）在平面直角坐标系中，我们称边长为 1、且顶点的横、纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形如图，
22、在菱形 ABCD 中，四个顶点坐标分别是（8,0） ，（0,4） ， （8,0） ， （0，4） ，则菱形 ABCD 能覆盖的单位格点正方形的个数是 个；若菱形 AnBnCn D n 的四个顶点坐标分别为（2n,0） ， （0, n） ， （2n，0） ， （0，n） （n 为正整数） ，则菱形 AnBnCn D n 能覆盖的单位格点正方形的个数为 （用含有 n 的式子表示）xy8-8-44OABCD4、 （2014 东城一模）如图，矩形 BCDE 的各边分别平行于 x 轴或 y 轴，物体甲和物体乙由点 A（2，0）同时出发，沿矩形 BCDE 的边作环绕运动，物体甲按逆 时针方向以 1 个单位
23、/秒匀速运动，物体乙按顺时针方向以 2 个单位/秒匀速运动，则两个物体运动后的第 2 次相遇地点坐标是 ；第 2014 次相遇地点的坐标是 5、 （2013 石景山一模）小涵设计了一个走棋游戏：在平面直角坐标系 中，棋子从点xOy出发，第 1 步向上走 1 个单位，第 2 步向上走 2 个单位，第 3 步向右走 1 个单位，0,第 4 步向上走 1 个单位，第 5 步向上走 2 个单位，第 6 步向右走 1 个单位，第 7 步向上走1 个单位依此规律走棋（1）当走完第 8 步时，棋子所处位置的坐标为_；（2）当走完第 100 步时，棋子所处位置的坐标为_6、（2013 西城一模）如图，数轴上，
24、点 A 的初始位置表示的数为 1，现点 A 做如下移动：第 1 次点 A 向左移动 3 个单位长度至点 ，第 2 次从点 向右移动 6 个单位长度至点 ，11 2第 3 次从点 向左移动 9 个单位长度至点 ，按照这种移动方式进行下去，点 表2 3 4示的数是 ，如果点 与原点的距离不小于 20，那么 的最小值是 n n7、 （ 12 延庆一模）将 1、 、 、 按 右 侧 方 式 排 列 若 规 定 （ m,n） 表 示 第 m 排 从 左 向23 6右 第 n 个 数 ， 则 （ 7,3） 所 表 示 的 数 是 ； （ 5， 2） 与 （ 20， 17） 表 示 的两数之积是 8、某校数
25、学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植在k点 处，其中 ，当 k2时， ，)y,(xkkP1,1yx )52-1(-1kx，a表示非负实数 a 的整数部分，例如2.6=2，0.2=0按此52-1-11112 2663 263 323 12345方案，第 2009 棵树种植点的坐标为（ ）A （5 ，2009） B （6 ，2010） C （3，401） D （4 ，402）9、 （ 11 顺义一模）将除去零以外的自然数按以下规律排列，根据第一列的奇数行的数的规律，写出第一列第 9 行的数为 ，再结合第一行的偶数列的数的规律，判断2011 所在的位置是第 行第 列.
26、10、 （ 12 门头沟一模 ）如图，对面积为 1 的ABC 逐次进行以下操作：第一次操作，分别延长 AB、BC 、CA 至 A1、B 1、C 1，使得 A1B=2AB，B 1C=2BC，C 1A=2CA，顺次连接A1、 B1、C 1，得到A 1B1C1，记其面积为 S1；第二次操作，分别延长 A1B1，B 1C1，C 1A1 至A2， B2，C 2，使得 A2B1=2A1B1，B 2C1=2B1C1，C 2A1=2C1A1，顺次连接 A2，B 2，C 2，得到A2B2C2，记其面积为 S2，按此规律继续下去，可得到A 5B5C5，则其面积为S5=_. 第 n 次操作得到 A nBnCn，则A nBnCn 的面积 Sn= .
