上海大学线性代数样题.pdf

1、第 1 页 ( 共 4 页 ) 注：教师应使用计算机处理试题的文字、公式、图表等；学生应使用水笔或圆珠笔答题。 上海大学2017 2018 学年 秋 季学期样题卷 课程名：线性代数B 课程号：01013010学分： 3 应试人声明： 我保证遵守上海大学学生手册中的上海大学考场规则，如有考试违纪、作弊行为，愿意接受上海大学学生考试违纪、作弊行为界定及处分规定的纪律处分。 应试人 应试人学号 应试人所在院系 题号 一 二 三 四 五 得分 得分 评卷人 一、选择题：（每小题2分，5题共10分） 1A是数域F上m x n矩阵，b为m 维列向量， 以下错误的是（ ） A如果A是列满秩的，则线性方程组A

2、x=b有唯一解 B如果A是列满秩且m=n，则线性方程组Ax=b有唯一解。 C齐次线性方程组Ax=0若有两个不同的解，它一定有无穷多个解 D当m n时，则齐次线性方程组Ax=0有非零解 E若Ax=b所有解向量至多有n个解向量线性无关，则r(A)=1 2设A是mn矩阵，且AB=AC，则（ ） A当AO时，B=C B当m=n时，B=C C当r(A)=n时，B=C D当r(A)=m时，B=C 3设A，B，C是方阵，若 =ABC I ,则必有（） A BCA=I； BCBA I= ；C =BAC I；D =ACB I . 4. 设A是方阵，若 n=A 0,则错误的是（） AA=0； B 0A的特征根都是

3、 ；C| | =(-1)nA I ；D 1 1( ) = nI A I A A + + 5.n阶方阵可以与对角阵相似的充要条件是 A. A是实对角阵 B. A有n个线性无关的特征向量 C. A有n个不同特征值; D. A是非奇异阵 得分 评卷人 二、填空题：（每小题3分，7题共21分） 6已知 21 43(1,0,1,2) , ( 1,4, 2,1) , (1,2,0,7) , (3, ,2,1) ,T T T Tc = = = = 当c = 时，向量组线性相关 ； * 15 5 0 41 0 7 87. = , =0 0 5 00 0 7 5A A 已知8. 设1 -4-1 2 1 2 1

4、22 -2 1 3 1 10 1A = ，则 nA = 9. 3阶矩阵A的特征值为1，-1，2，则 *+3 -2A A I的行列式为 ； 10设 1，2，3 是三元齐次线性方程组 Ax=b 的三个解，r(A)=2, 1=(3,2,1)T，2-23=(-2,0,1)T,则Ax=b的通解是 11. A为n阶方阵，且r(A)=n-1, 1，2是齐次线性方程组Ax=0的两个不同解，则其通解 12.已知 A B，A=22 33 x ，B=21 22 y ，则x+y= 成 绩 第 2 页 ( 共 4 页 ) 第 2 页 ( 共 4 页 ) 得分 评卷人 三、计算题：（本大题6小题，共57分） 11 12

5、13 1411 12 13 1411 12 13 141 1 7 13 1 8 012 1 4 35 1 2 5(1) -2 + +4 +3 =0(2) +,+,+,A A AA A AA A AD AAA= 3.(9分) 设 ，设 为其第一行代数余子式。说明 的原因计算1 1 11 1 1 11 1 114 10 ( 2 ) , AXA A1 2 , X11X I AA I + = = +.（ 分） 求设 和且第 3 页 ( 共 4 页 ) 第 4 页 ( 共 4 页 ) 15（13分）设a为实数，计算下列向量组的秩与一个极大无关组 1 2 3(1,2,3,4,1), (2, 1,5, 4,

6、1), (1,3,4,5,2), = = = 4 5(3,2,9,1, ), (4,4,12,5,4)a = = 并把其它向量用极大无关组表示。 1 1 1 1 116 A= 4 3 5 1 1 Ax=01 3 1Ax=b .(12分)设 ,b= .若 的基础解系有解？若无解说明理由，若有两个解解求出，问 是否有 全部解。17（13分）已知实对称矩阵1 4 24 22 2A a = -2有特征向量( 2, 2,1)T . (1) (3分) 求a； (2) (10分) 求正交矩阵P使得 TP AP为对角矩阵。 得分 评卷人 五、证明题：（2题，每题6分，共12分） 18. （6分）设A，B为n阶方阵且A B AB+ = . 求证AB BA= . 19. （6分）设A是一个矩阵，证明r(A)=r(ATA)。