1、1-15世界数学团体锦标赛 儿童组一、 团体赛1.写出七个连续的自然数，使其中没有质数： 解：90，91，92，93，94，95，962.“七巧板”在 19 世纪初从中国传到西方.“ 七巧板”是将正方形按图 1 所示方法分割而制成的. 用“七巧板”拼成图 2 中的“ 狐狸” ，它的头部面积是尾部面积的 倍.解：记七巧板中面积最小的等腰直角三角形的面积为 ，则由图 3 知“狐狸”头部面积为a，尾部面积为 , 故填 2.24aa2a3. 如果 100 元人民币可换得 115 元港币，100 港元可以换得 10.2 欧元，100 欧元可以换得 126.5美元，则 100 美元可以换得_元人民币(精确
2、到整数位) 解：因为 100 欧元可以换得 126.5 美元，所以 1 美元可以换得 欧元10.79265因为 100 港币可以换得 10.2 欧元，所以 1 欧元能换 港元9.80因为 100 元人民币可换得 115 港元，所以 1 港元能换 元人民币.75所以 100 美元可以换得的人民币是 (元)0.7980.644. 若 ，则 表示的数是 .14273x解： ，所以 表示的数是 5.411172285394315x2-155. 一圈小朋友玩报数拍手游戏，从 1 开始，顺次报数，规定：报 8 的倍数时要拍一次手，报含8(如 18)的数时 要拍两次手，报既含 8 又是 8 的倍数的数 (如
3、 80)时要拍四次手则报到 100 时小朋友们共拍了_次手解：100 以内 8 的倍数有 8，16，24，96，共 12 个拍手 12 次100 以内含 8 的数有 8，18，28，78，80，81，89，98，共 19 个，拍手 (次)19238100 以内，既是 8 的倍数，又含 8 的数是 8，48，80，88，共四个数所以共拍手 (次) 123456. 如图，正六边形(各边相等，各内角相等)ABCDEF 的面积是 24 ，M、N 分别是 AF、CD 的2cm中点，若 MPAB，MO EF， PNBC，ONED，则阴影部分的面积是_ 2解：将原图划分如图所示，由图可知，正六边形 ABCD
4、EF 由 12 个相同的小三角形组成，阴影部分由 8 个相同的小三角形组成，所以阴影部分的面积是24128=16 2cm7. 如果正三角形和正六边形的边长之比是 2：3，则它们的面积比是_解：因为正三角形和正六边形的边长之比是 2：3，所以正三角形与正六边形中的小三角形的面积之比是 4：9，于是正三角形与正六边形的面积比是 49678. 一个六位数，从左到右，从它的第三个数字开始恰好都是前二个数字之积， 则符合条件的六位数的个数是_解：任何数乘以 0 得 0故满足条件的数除了100000，200000，300000，400000，500000，600000，700000，800000，9000
5、00 外，还有111111，212248，故符合条件的数共 11 个3-159.写出三个比 大，比 小的数： 345解： 710,93注：一般形式： （ ,且是自然数）.45xy110. 的整数部分是_10219解：因为 ，即 ，所以10 1109029101219即 ，.所以 的整数部分 11102911. 摩托车赛全程共 200 千米，全程划分为若干路段每个路段有两种情形：一种是由一段 1 千米的上坡路，一段 3 千米的平路，一段 2 千米的下坡路和一段 4 千米的平路组成；另一种是由一段 1千米的上坡路，一段 2 千米的下坡路和一段 3 千米的平路组成已知摩托车跑完全程后，共有 24 段
6、下坡路问全程中的较短的路段有_个解：两种路段分别长 (千米)和 (千米) 141026每种路段中都只有一段下坡路，所以全程共分为 24 个路段若这 24 个都是较长的路段，则全程应该长为 (千米)410而路的实际长度是 200 千米，所以较短的路段有 (个)1012. 用一根长为 36 米的绳子利用一堵墙，围成一个长方形，那么得到的长方形面积最大是_平方米解：当 2 宽=长时，长方形面积最大，即长为 18 米，宽为 9 米时，面积最大为 162 平方米13. 表示从 1 开始的自然数， ，要使 能被 8 整除， 应当是 数.n3n个 1nn解：偶数4-15, （其中 为整数） 。23918kn
7、k318knm,nk（或当 时，显然 能被 8 整除 ）,46014.能被 3 除余 2，被 5 除余 3，被 7 除余 5 的最小三位数是_解：设 x 为所求的数，mod,57,x因为 ，所以 (k 是整数) od75xk又因为 ，所以 ， ， ，3x3mod23od5k4mod5k即 (m 是整数)54k所以 ，7)5所以 ， ，所以 ，即 (t 是整数)32(od32(od3)1(od3)1所以 ，当 时， 故所求最小的三位数是51068xttt7x17315. 如图 ， 、 是圆的直径的两端，甲从 点，乙从 点同时出发反向沿圆周而行，在 点ABABC第一次相遇，在 点第二次相遇已知 离
8、 80 米， 离 55 米，则这个圆的周长是DCD_解：甲、乙第一次相遇时，共同走完半个圆周，这时甲走了 80 米，从开始出发到第二次相遇时，共同走了半圆周的三倍，所以此时甲走了 803=240(米) 所以圆的周长是(803-55)2=370(米) 16. 甲、乙两位同学都有游戏卡，他们一共只有三种卡，则他们各自拥有的游戏卡的情形有种解：设游戏卡的类型为 ，则,ABC甲 ,AB, ,AB,C,B乙 , CAC5-15除第一种外，反之也一样，故共有 25 种17.字母 表示十个不同的自然数（0 除外） ，它们有以下的关系图：,abcdefghijabcdjheifg图中，每个数，有两个箭头指向它
9、，它就等于箭头起点处的那两个数的和（如 ） 则 的hjid最小值是_解：依题意，得，()223dcebhfbhfajigaij为使 最小，显然应当令 ，这时，1,ij如果令 ，则其余六个数中出现了相同的数，故否3,4ag如果令 ，则其余六个数中也出现了相同的数，故否5如果令 ，则其余六个数中没有相同的数，故符合题意，此时 ，为最小6, 19d18将若干个边长为 1 的正六边形（即单位六边形）拼接起来，得到一个拼接图形，例如：那么，要拼接成周长等于 18 的拼接图形，至少需要_个单位六边形画出对应的一种图形解：在拼接图形时，每增加一个单位六边形，拼接图形的周长要么不增加，要么增加 2 或 4，如
10、图：而两个单位六边形拼接的图形的周长只能是 10.甲 ABC乙 ,6-15因为 18-10=8，8=4+4=4+2+2=2+2+2+2，所以当拼接图形的周长等于 18 时，所用的单位六边形有 4 个、5 个、6 个、7 个如图：故至少需要 4 个单位六边形19将一张长方形的纸沿着长方形内的一条直线折叠一次，得到的图形有_条边解：4,5,6,7,8，920设圆 的面积是 ，圆 与圆 的重合部分是 ，圆 与圆 的重合部分是 ，,ABC,abcABxACy若 ， ， ， ，则 = 45bca6xy5x3y:abc解：由题意得可得 所以 4,56,3bcaxyc20,15cb:20:15abc7-15
11、世界数学团体锦标赛 少儿组接力赛第一轮12010 可以表示为奇数个连续的自然数（0 不在内）之和，这样的奇数，最大是_.解：因为 ， ，故所求23632016 236018920 的奇数比 63 小.又因为 ，所以 2010 的约数中，是奇数且小于 63 的是 15，57，4可知 2010 可写成 15 个连续自然数的和，中间的数（第八个数）是 134，故所求的奇数，最大是 15.2设 T 表示前一位队友传来的答案如图所示，一个高为 (单位：cm) 的瓶子里装有一些水，这个瓶子的容积是_23hT（ ） 3cm.14解:由题意知瓶的高度 ,2103hT所以该瓶的容积是(立方厘米) 22443.1
12、6.8.4第二轮3猎犬发现前方有一只兔子，如果兔子不动，猎犬跑 10 步就能追上兔子但是猎犬刚开始追，兔子立刻逃向前方猎犬跑 5 步的路程兔子要跑 9 步；猎犬跑 2 步时，兔子跑 3 步兔子被猎犬追上时，它跑了_步解：开始时，猎犬和兔子相距 10 步的猎犬步长，也就是 步的兔子步长10598设一个单位时间内兔子跑 3 步，由题意知，猎犬能跑 259=3.6(步)的兔子步长则一个单位时间，猎犬和兔子之间的距离缩短 3.6-3=0.6(步) 的兔子步长当猎犬追上兔子时，用了 180.6=30(个)单位时间，这时兔子跑了 303=90(步)4设 T 表示前一位队友传来的答案已知甲车速度为每小时 千
13、米，乙车速度为每小时 60 千米，甲乙两车分别从 A,B 两地同时出发T相向而行，在途径 C 地时乙车比甲车早到 10 分钟；第二天甲乙分别从 B,A 两地出发同时返回原来出发地，在途径 C 地时甲车比乙车早到 1 个半小时，则 AB 的长为_千米8-15解：设 AC 距离为 千米,BC 距离为 千米，则xy， ，解得 ， 1096xy192y50x9y所以 AB 距离是 (千米) 540第三轮5一个三位数，是 5 的倍数，将它的首、末数字交换后，还是三位数，它的五倍也是三位数，它的后两位数字的和是 60 的约数，这样的三位数中最大的是_解：从条件 1，知道这三位数的末位是 0 或 5，从条件
14、 2，知道这三位数的末位是 5，从条件 3，知道这三位数的首位是 1，设该三位数是 5x因为 ， ，60x所以 ，,，51x，0,，27x其中， ，即 175 符合题意6设 T 表示前一位队友传来的答案有 盏灯，每盏灯都由一个独立的开关控制这些灯开始都处于关闭状态，编号是 1 至25m有 个人，编号也是 1 至 现在，这些人依次去按一次自己编号倍数的灯的开关，每个人都m将自己编号倍数的开关全部按一次当 个人都操作完，有_盏灯是开的状态解： 盏灯0当电灯编号是完全平方数时，其约数的个数为奇数，这盏灯被拉奇数次，最后会亮着如 16 号灯，它将被 1，2，4，8，16 号学生拉在 1 至 200 中
15、完全平方数只有 14 个，最小的是 1 的平方，最大的是 14 的平方，即 196 号所以最后只有 14 盏灯亮着9-15世界数学团体锦标赛 少儿组个人赛第一轮1下面的方格地图中，小明从左上角 沿最短路线走到右下角 ，共有 种不同的走AB法解法 1：如下图所示：故共有 14 种方法解法 2：如下图所示：10-15故共有 14 种方法2.军训期间，某间宿舍 6 名同学从晚上 9 点到次日早 6 点轮流站岗和休息，若站岗岗位有 2 个，每人站岗时间相同，则每位同学休息了_小时解：从晚上 9 点到次日早晨 6 点，共 9 个小时，6 名同学的总休息时间是(小时)(623所以每人休息 (小时)3.某工
16、厂委托物流公司运 2000 箱货物，合同规定，完好无损地运到一箱货物付 5 元运费，如果损坏一箱货物，则不付运费，且赔款 35 元，这批货物运到后，工厂付运货款 9400 元，则损坏的货物共箱解：如果没有损坏，则 2000 箱货物应得运费 (元) 20510而实际得到的运费是 9400 元，少了 (元) 1946因为无损坏运到一箱货物得 5 元运费，如果损坏一箱货物，运费为 0，且赔款 35 元，所以用一箱好的换一箱坏的，运费少 40 元所以损坏的货物共 (箱) 4.一个水池，容积是 2400 升，有 两个进水管和一个排水管， 两管单独注满水池各需 12,AB,AB小时、10 小时现在，水池中
17、有一部分水，如果 管单独进水，而排水管同时排水，则 1 小时将水池中的水放完；如果 两管一起进水，而排水管同时排水，则 7 小时可把水池中的存水放完求水池,AB中原来有_升的水解：依题意，知 每小时进水 200 升， 每小时进水 240 升B设排水管每小时排水 升，水池原存水 升，则ab1,()20724ba（1） （2）得 ，401a11-15求得 ，于是 （升） 480a280b即水池中原来有 280 升的水第二轮5.以下，是在一个乘法方阵中，每一行中三个数之积，每一列中三个数之积，每一对角线中三个数之积都相等字母 所表示的数字是_e4 31 e解:如图，设由第 1 行，第 1 列，得 ，
18、 2ab12由第 2 行，右对角线，得 .3,36cd由第 3 行，第 3 列，得 .9effe6.将 23 写成 3 个自然数的和，使这三个自然数的乘积最大，则这个积是_解：设 ，则当 、 、 中的任意两数相等或相差为 1 时，乘积 最2abcabc abc大因为 ，所以当 时乘积 取值最大值 44878,7a7. 、 两地相距 203 米，甲、乙、丙的速度分别是 4 米 /分、6 米/分、5 米/分如果甲、乙从AB地，丙从 地同时出发相向而行，则 分钟后丙与乙的距离是丙与甲的距离的 2 倍解：设 分钟后丙与乙的距离是丙与甲的距离的 2 倍，则x因为甲的速度小于乙的速度，所以由“ 分钟后丙与
19、乙的距离是丙与甲的距离的 2 倍”知此时乙、x丙已相遇，而甲、丙还未相遇，于是，或 ，20345620345036503xx解得 或 1x29即 21 分钟后或 29 分钟后丙与乙的距离是丙与甲的距离的 2 倍8.小刚是小明的哥哥已知小刚今年的岁数的立方是四位数，岁数的四次方是六位数；如果将两个数结合起来看，它们正好将 0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 10 个数字没有重复地都用到了且今年小明与小刚的岁数之和能被 2，3，5 整除则今年小明 岁12-15解：因为 ，是四位数， 是五位数，321963210648所以小刚今年的岁数小于 22又因为 ，是五位数，4785所以小刚今年的岁数
20、大于 17那么，小刚今年的岁数的取值范围是 1821若小刚今年的岁数为 18 岁，则 符合题意；341852,10976,若小刚今年的岁数为 19 岁，则 不符合题意；49若小刚今年的岁数为 20 岁，则 ，不符合题意；30若小刚今年的岁数为 21 岁，则 ，不符合题意，4218所以小刚今年的岁数是 18 岁设小明今年 岁，则 ，其中 为正整数， x835k18x当 时， ；若 时， ，不符合题意，所以小明今年 12 岁1kkx第三轮9.某校选举校学生会主席,第一次调查有 的人不选 ,实际选举时，原来不选 的人中有25%AA的人选 ，而原来要选 的人中又有 不选 了则 的实际获选率是 40%A
21、3 %解： 1253406110.某校为了推行小班教育，逐年降低每班的学生人数，去年增加 5 个班后，每班平均减少 5 人，如果今年的学生人数与去年的相同，今年再增加 5 个班级，则每班平均又减少 4 人则该校现有学生人解：设去年有 个班，每个班有 人，则xy，解得545xy,0,18y即该校现有学生 1800 人11.试用一些 字形 和田字形 将 的方格图 覆盖.T413-15abcde0 1 2 3 44 3 2 1 0上表中给出 五种个数组合，则组合_能成功,abcde解：如下图，组合 能够成功12.在等式 中， 是不小于 1 的自然数， 是自然数在 1 到 15 的自然数中， 不34a
22、bc,acc能取的数有_个解法 1：为使 ，即 是自然数，在 1 至 15 的自然数中， 不能取3cb1，2，3，4，5，6，8，9，12.共 9 个解法 2：a 1 1 1 2 2 3b 1 2 2 1 2 1c 7 11 15 10 14 13由上表知，在 1 至 15 的自然数中 可以取到的数有 6 个，所以 不能取到的数有 个cc569第四轮13.如图，三角形 是等腰直角三角形，已知 ， 是长方形， 则ABC4AEDGF3DE三角形 的面积与三角形 的面积比是 EF解法 1：设 ，则由 知 。Dx3GD3x因为 是长方形，所以 ， 。GFEEFxE因为三角形 是等腰直角三角形，ABC所
23、以 ，所以 .5ABGB14-15于是 ，故 .53ABxEF259ABCS解法 2：如图，等腰直角三角形的斜边长为 ，将它补成一个边长为 的正方形，则易知原等腰aa直角三角形的面积为 24a由上可知，原题中等腰直角三角形 的面积= ,CEF31844EFDE三角形 ADE 的面积是 (44)4=4又等腰直角三角形 FGB 和等腰直角三角形 ADE 相同，所以三角形 FGB 的面积也是 4这两个三角形可以拼成一个边长等于 DE 的正方形，则边长等于 DE 的正方形的面积是 4+4=8，即已知 ，则长方形 DGFE 的面积为 .8DE3DG 32GE所以，三角形 ABC 的面积为 4+4+24+
24、18=50(cm2)故所求面积比是 5021914. 若 是 3 的倍数，且 是 5 的倍数，则最小的自然数 是 k41kk解法 1：设 （ 是自然数） ，,nm,n从中消去 ，得 ，进而得 ，232355m为使 最小，取 ，则 4n9,1mk解法 2：因为 是 3 的倍数，所以 4k+4 也是 3 的倍数，于是 4k+1 也是 3 的倍数，那么 4k+1 既1k+是 3 的倍数又是 5 的倍数，即 4k+1 就是 15 的倍数。所以所求的最小的自然数 .1k第五轮15.在两位数的质数中，（1）质数 不能表示成 （ ）个不同的质数之和；n2（2）最大的 = n解：（1）11.（2）因为 ，97
25、23571931所以 815-1516. 一片牧场，每天草的生长速度相同，这片牧场可供 14 头牛吃 30 天，或者可供 70 只羊吃 16天如果 4 只羊的吃草量相当于 1 头牛的吃草量，那么 17 头牛和 20 只羊一起吃这片牧场上的草，共吃天解：将每只羊每天的吃草量看作“1”个单位，则14 头牛 30 天的吃草量为 14430=168070 只羊 16 天的吃草量为 7016=1120所以每天牧场长出新草的量为(1680-1120)(30-16)=56014=40 ，牧场原有草的量为 1680-3040=1680-1200=480因此，17 头牛和 20 只羊一起吃，可以吃480(174+20-40)=10 (天)
