1、第1页第 四 章 导 数 及 其 应 用本章导读高考中导数题目并不复杂，一是考察计算能力，二是考察看清问题本质的能力计算能力，如2015江苏高考题、题型一第三题、题型三第四题，你能面对绝对值井井有条并快速地分析问题吗？如题型六第二三四题，你能快速运用图像解决问题吗？看清问题本质的能力，如2008年江苏高考题、题型一第一题，你能发现三角函数蕴藏在题目中吗？如2012江苏高考题、题型一第五题，你能面对多元而思路不乱吗？真题回放1（2008江苏卷14）设函数 3 3 1f x ax x （xR），若对于任意 1,1x ，都有 f x 0成立，则实数a=2（2010江苏卷14）将边长为1m正三角形薄片
2、，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S 梯形的周长）梯形的面积,则S的最小值是3（2012江苏卷14）已知正数a b c，满足：4 ln5 3 lnb c a a c cc a c b ，则ba的取值范围是4（2015江苏卷13）已知函数( ) lnf x x，20,0 1( ) 4 2, 1xg x x x ，则方程( ) ( ) 1f x g x 的实根个数为经典示例题型一：值域、最值问题1函数223 )1()( x xxxf的值域是2设实数6n，若不等式08)2(2 nxxm对任意 2,4x都成立，则nm nm 3 44 的最小值为3若函数axxxf 2)(在区间 2
3、,0单调递增，则实数a的取值范围为4定义函数xxxxf 23 2)(，若存在区间 )0(0, aa，使函数在区间 0,a上的值域为 0,ka，则实数k的最小值为本文档作者：南京一中王镜宇第2页5若实数dcba ,满足143ln22 dcb aa，则22 )()( dbca 的最小值为题型二：根、零点、极值点问题1已知3)( 2 xxf，xmexg )(，若方程)()( xgxf 有三个不相等的实根，则实数m的取值范围是2已知函数24)( 3 axxxxf恰有2个零点，则实数a的取值范围是3设函数f(x)x1ex，xa，x1，xa，g(x)f(x)b若存在实数b，使得函数g(x)恰有3个零点，则
4、实数a的取值范围为4已知使函数)0(123 aaxxy存在整数零点的实数a恰有4个，则实数的取值范围是5若函数babxaxxxf 2ln)( 2 有两个极值点21,xx，其中021 a，0b，且122)( xxxf ，则方程01)()(2 2 xbfxfa的实数根的个数为题型三：不等式问题1已知f(x)x3，g(x)x2x29a，若存在x01，a3(a0)，使得f(x0)g(x0)，则实数a的取值范围是2若对任意的xD，均有f1(x)f(x)f2(x)成立，则称函数f(x)为函数f1(x)到函数f2(x)在区间D上的“折中函数”已知函数f(x)(k1)x1，g(x)0，h(x)(x1)lnx，
5、且f(x）是g(x)到h(x)在区间1,2e上的“折中函数”，则实数k的取值范围为3若不等式2ln9 xxcbx 对任意),0( x，)3,0(b恒成立，则实数c的取值范围是4若3 ln 1mx x 对 0,1x 恒成立，则实数m的取值范围是5设函数( ) 3 3 2x xf x x ，则满足12( 2) (log ) 0x f x 的x的取值范围是本文档作者：南京一中王镜宇本文档作者：南京一中王镜宇第3页题型四：切线问题1直线l与函数ysinx（x0，）的图象相切于点A，且lOP，O为坐标原点，P为图象的极值点，l与x轴交于B点，过切点A作x轴的垂线，垂足为C，则BABC2设曲线 1 exy
6、 ax 在点0 1( )A x y，处的切线为1l，曲线1exxy 在点0 2( )B x y，处的切线为2l若存在0 30,2x ，使得1 2l l，则实数a的取值范围是3从x轴上一点A分别向函数3( )f x x与函数3 32( ) | |g x x x 引不是水平方向的切线1l和2l，两切线1l、2l分别与y轴相交于点B和点C，O为坐标原点，记OAB的面积为1S，OAC的面积为2S，则1 2S S的最小值为4设函数xxaxxf cossin)( ，若函数f(x)的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线yf(x)在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的值为5在平面直角坐标系xOy中，点P是第一
7、象限内曲线yx31上的一个动点，过点P作切线与两个坐标轴交于A、B两点，则AOB的面积的最小值为题型五：构造函数问题1已知函数)(xfy 为R上的可导函数，当0x时，0)()( xxfxf，则关于x的函数xxfxg 2)()( 的零点个数为2设)(xf是定义在R上的可导函数，且满足0)()( xxfxf则不等式 )1( xf )1(1 2 xfx的解集为3已知定义域为R的偶函数 f x，其导函数为 f x，对任意 0,x ，均满足 2xf x f x 若 2g x x f x，则不等式 2 1g x g x 的解集是4设函数 f x是函数 f x x R的导函数， 0 1f ，且 3 3f x
8、 f x ，则 4f x f x的解集为5已知六个数33 ,3,3, ee ee，将其按从小到大顺序排列为第4页题型六：综合性问题1已知函数xtxxxf ln3221)( 2 ，3)( 2 x txxg，且函数)(xf在ax，bx 处取得极值)0( ba，函数)(xg在 ab ,上最大值比最小值大31，若方程mxf )(有三个不同的解，则实数m的取值范围是2设函数( )f x满足( ) (3 )f x f x，且当1,3)x时，( ) lnf x x若在区间1,9)内，存在3个不同的实数1 2 3, ,x x x，使得31 21 2 3( )( ) ( ) f xf x f x tx x x
9、，则实数t的取值范围为3若方程044 axx的各实数根)4(, 21 kxxx k所对应的点),2,1(4, kixx ii 均在直线xy 的同侧（不包括直线上），则实数a的取值范围是4已知函数 21,0,6131 1,21,12)( 3 xx xx xxf，函数)0(226sin)( aaxaxg ，若存在 1,0, 21 xx，使得)()( 21 xgxf 成立，则实数a的取值范围是5设函数( ) xf x e x a （a R）若曲线siny x上存在0 0( , )x y使得0 0( ( )f f y y，则a的取值范围是本文档作者：南京一中王镜宇第5页综合演练一1已知函数)0,(1)
10、( xRaxaexf x，若存在实数nm,使得0)( xf的解集恰为, nm，则实数a的取值范围为2已知|)( 2 axxxf ，若存在 2,1x，使2)( xf，则a的取值范围为3定义在R上的函数( )f x满足：( ) ( ) 1, (0) 4,f x f x f 则不等式( ) 3x xe f x e 的解集为4当210 x时，21|2| 3 xax恒成立，则实数a的取值范围为5函数)1()( 2 axaxf x有三个不同的零点，则实数a的取值范围为6设定义域为),0( 的单调函数)(xf，对任意),0( x，都有6log)( 2 xxff，若0x是方程4)()( xfxf的一个解，且)
11、(1,( *0 Naaax ，则实数a= 7对于函数( )y f x，若存在区间 , a b，当 , x a b时的值域为 , ka kb ( 0)k ，则称( )y f x为k倍值函数若( ) lnf x x x 是k倍值函数，则实数k的取值范围是8已知)(),(),( 212211 xxyxNyxM 是函数|)( 3 xxxf 图像上两个不同的点，且曲线)(xfy 在NM,两点处的切线互相平行，则2112 xxxx 的取值范围为9设函数)0)(1()( 2 xkxxexf x若对任意的0t，存在0s，使得当),0( sx时，不等式2)( txxf 恒成立，则实数k的取值范围是10已知函数)
12、(xf满足当 2,1x时， 11121)1( xfxf，且 3,1x时，xxf ln)( ，若在区间 3,31内，函数1)()( x axxfxg有两个不同的零点，则实数a的取值范围是第6页综合演练二1已知函数)1()( 2 exexaxg 与xxh ln2)( 的图像上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为2已知ba，R，且1xe bax对xR恒成立，则ab的最大值是3函数( )f x在( ,0)上的可导函数，其导函数为( )f x，且有22 ( ) ( )f x xf x x ，则不等式0)3(9)2016()2016( 2 fxfx的解集为4已知函数f(x)|sin |xkx (x0
13、，kR)有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为0x，则020 0(1 )sin2xx x5若存在两个正实数x、y，使得等式xa(y2ex)(lny1nx)0成立，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围为6定义在1,)上的函数f(x)满足：f(2x)cf(x)（c为正常数）；当2x4时，f(x)1|x3|若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c7设点P是曲线yx2上的一个动点，曲线yx2在点P处的切线为l，过点P且与直线l垂直的直线与曲线yx2的另一交点为Q，则PQ的最小值为8若关于x的不等式0xxe ax a 的解集为 , 0m n n，且 ,m n中只有一个整数，则实数a的取值范
14、围是9已知函数22(2 )e , 0,( ) 4 3, 0,xx x xf x x x x ( ) ( ) 2g x f x k ，若函数( )g x恰有两个不同的零点，则实数k的取值范围为10已知函数）（R xaexf x 1)( 1，若方程0)( axxf有且仅有两个不相等的实根，则实数a的取值范围是第7页综合演练三1已知定义在R上的函数)3()( 2 axxxf，若函数)()()( xfxfxg ，2,0x，在0x处取得最大值，则正数a的范围是2设Rba ,，若0x时，恒有2234 )1(0 xbaxxx，则ab3若 f x f x是的导函数， 212 , ln2f x f x x R
15、f e f x x ，则的解集为4对于函数bxaxaxxf |)3(2|31)( 23，若)(xf有6个不同的单调区间，则实数a的取值范围为5已知函数)10()( xxxf，其中点)(,( tftM处的切线l，l与y轴和直线1y分别交于点QP,，点)1,0(N，若使PQN的面积为b时的点M恰好有两个，则实数b的取值范围为6设函数 exxa exxx ,ln ,23的图像上存在两点QP,，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形（其中O为坐标原点），且斜边中点恰好在y轴上，则实数a的取值范围是7已知函数 1),)(2(1 1,ln)( xaxxe xxxf的图像在点)1,(eA处的切线与该函数的图像恰好有3个公共点，则实数a的取值范围为8若存在R,，使得 cos5 cos2cos3atat，则实数t的取值范围为9若关于x的方程x4ax3ax2ax10有实数根，则实数a的取值范围为10三次函数)(xfy 的两个极值点为1 2, .x x且1 1, ( )P x f x（与原点重合，2 2( , ( )Q x f x又在曲线221 xxy 上，则曲线)(xfy 的切线斜率的最大值的最小值为
