1、第 1 页 共 25 页 全国硕士研究生统一入学考试 数学公式大全 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： axxaaactgxxxtgxxxxctgxxtgxaxxln1)(l ogln)(cs c)(c s cs ec)(s eccs c)(s ec)(22222211)(11)(11)(a rc c os11)(a rc s inxar c c tgxxar c tgxxxxx CaxxaxdxCs hxc hx dxCc hxs hx dxCaadxaCxc t gx dxxCxdxt gxxCc t gxx dxxdxCt gxx dxxdxxx)l n(lnc s cc
2、s cs e cs e cc s cs i ns e cc os22222222CaxxadxCxaxaaxadxCaxaxaaxdxCaxar c tgaxadxCc tgxxx dxCtgxxx dxCxc tgx dxCxtgx dxa rc s inln21ln211c s clnc s cs e clns e cs inlnc osln22222222 CaxaxaxdxxaCaxxaaxxdxaxCaxxaaxxdxaxInnx dxx dxI nnnna rc s i n22ln22)l n(221c oss i n222222222222222222222020第 2 页 共
3、25 页 2222 1 2211c o s1 2s i n ududxxtguuuxuux ， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： 诱导公式： 函数 角 A sin cos tg ctg - -sin cos -tg -ctg 90- cos sin ctg tg 90+ cos -sin -ctg -tg 180- sin -cos -tg -ctg 180+ -sin -cos tg ctg 270- -cos -sin ctg tg 270+ -cos sin -ctg -tg 360- -sin cos -tg -ctg 360+ sin cos tg ctg 和差
4、角公式： 和差化积公式： 2s i n2s i n2c osc os2c os2c os2c osc os2s i n2c os2s i ns i n2c os2s i n2s i ni nc t gc t gc t gc t gc t gtgtgtgtgtg1)(1)(s i ns i nc o sc o s)c o s (s i nc o sc o ss i n)s i n (xxar thxxxar c hxxxar s hxeeeec hxs hxthxeec hxees hxxxxxxxxx11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦.59045718281
5、8284.2)11(lim1s i nlim 0exxxxxx第 3 页 共 25 页 倍角公式： 半角公式： c o s1s i ns i nc o s1c o s1c o s12c o s1s i ns i nc o s1c o s1c o s122c o s12c o s2c o s12s i nctgtg 正弦定理： RCcBbAa 2s ins ins in 余弦定理： Cabbac co s2222 反三角函数性质： a r c c t g xa r c t g xxx 2a r c c o s2a r c s i n 高阶导数公式 莱布尼兹（ Leibniz）公式： )()()(
6、)2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(nkknnnnnkkknknnuvvuk knnnvunnvnuvuvuCuv中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当柯西中值定理：拉格朗日中值定理：xxFfaFbFafbfabfafbf)(F)()()()()()()()()(曲率： .1;0.)1(limMsMM:.,13202aKaKyydsdsKMMsKtgydxydss的圆：半径为直线：点的曲率：弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率：其中弧微分公式：定积分的近似计算： 23333133c o s3c o s43c o ss in4s in33
7、s intgtgtgtg222222122212s i nc o ss i n211c o s22c o sc o ss i n22s i ntgtgtgc t gc t gc t g第 4 页 共 25 页 bannnbannbanyyyyyyyynabxfyyyynabxfyyynabxf)(4)(2)(3)()(21)()()(1312420110110抛物线法：梯形法：矩形法：定积分应用相关公式： babadttfabdxxfabykrmmkFApFsFW)(1)(1,2221均方根：函数的平均值：为引力系数引力：水压力：功：空间解析几何和向量代数： 。代表平行六面体的体积为锐角时，向
8、量的混合积：例：线速度：两向量之间的夹角：是一个数量轴的夹角。与是向量在轴上的投影：点的距离：空间,c os)(s i n,c os,c osPrPr)(Pr,c osPr)()()(2222222212121221221221cbacccbbbaaacbacbarwvbacbbbaaakjibacbbbaaababababababababaajajaajuABABABjzzyyxxMMdzyxzyxzyxzyxzyxzyxzyxzzyyxxzzyyxxuu第 5 页 共 25 页 （马鞍面）双叶双曲面：单叶双曲面：、双曲面：同号）（、抛物面：、椭球面：二次曲面：参数方程：其中空间直线的方程：
9、面的距离：平面外任意一点到该平、截距世方程：、一般方程：，其中、点法式：平面的方程：113,22211;,1302),(,0)()()(1222222222222222222220000002220000000000czbyaxczbyaxqpzqypxczbyaxptzzntyymtxxpnmstpzznyymxxCBADCzByAxdczbyaxDCzByAxzyxMCBAnzzCyyBxxA多元函数微分法及应用 zyzxyxyxyxyxFFyzFFxzzyxFdxdyFFyFFxdxydFFdxdyyxFdyyvdxxvdvdyyudxxuduyxvvyxuuxvvzxuuzxzyxvy
10、xufztvvztuuzdtdztvtufzyyxfxyxfdzzdzzudyyudxxududyyzdxxzdz， ， 隐函数， ， 隐函数隐函数的求导公式：时，当：多元复合函数的求导法全微分的近似计算：全微分：0),()()(0),(),(),(),(),()(),(),(),(22第 6 页 共 25 页 ),(),(1),(),(1),(),(1),(),(1),(),(0),(0),(yuGFJyvvyGFJyuxuGFJxvvxGFJxuGGFFvGuGvFuFvuGFJvuyxGvuyxFvuvu隐函数方程组：微分法在几何上的应用： ),(),(),(30)(,()(,()(,(
11、2),(),(),(1),(0),(,0),(0),(0)()()()()()(),()()()(000000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲
12、线方向导数与梯度： 上的投影。在是单位向量。方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是的梯度：在一点函数的转角。轴到方向为其中的方向导数为：沿任一方向在一点函数lyxflfljieeyxflfjyfixfyxfyxpyxfzlxyfxflflyxpyxfz),(g ra ds i nc os),(g ra d),(g ra d),(),(s i nc os),(),(多元函数的极值及其求法： 第 7 页 共 25 页 不确定时值时， 无极为极小值为极大值时，则：，令：设,00),(,0),(,00),(,),(,),(0),(),(22000020000000000BACBACyxAyxABAC
13、CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx重积分及其应用： DzDyDxzyxDyDxDDyDxDDDayxxdyxfaFayxydyxfFayxxdyxfFFFFFaaMzx oydyxxIydyxyIxdyxdyxyMMydyxdyxxMMxdx dyyzxzAyxfzr dr drrfdx dyyxf23222232222322222D22)(),()(),()(),(,)0(),0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()s i n,c os(),(， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量：平面薄片的重心：的面积曲
14、面柱面坐标和球面坐标： dvyxIdvzxIdvzyIdvxMdvzMzdvyMydvxMxdrrrFddddr drrFdx dy dzzyxfddr drdrdrrddvrzryrxzrrfzrFdzr dr dzrFdx dy dzzyxfzzryrxzyxr )()()(1,1,1s i n),(s i n),(),(s i ns i nc oss i ns i nc oss i n),s i n,c os(),(,),(),(,s i nc os22222220 0),(0222， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中：柱面坐标：曲线积分： 第 8 页 共 25 页 )(
15、)()()()(),(),(),(,)()(),(22tytxdtttttfdsyxfttytxLLyxfL 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）：第一类曲线积分（对弧。，通常设的全微分，其中：才是二元函数时，在：二元函数的全微分求积注意方向相反！减去对此奇点的积分，应。注意奇点，如，且内具有一阶连续偏导数在，、是一个单连通区域；、无关的条件：平面上曲线积分与路径的面积：时，得到，即：当格林公式：格林公式：的方向角。上积分起止点处切向量分别为和，其中系：两类曲线积分之间的关，则：的参数方程为设标的曲线积分）：第二类曲线积分（对坐0),(),(),(),()0,0(),()
16、,(21212,)()()c osc os()()(),()()(),(),(),()()(00),(),(00 yxdyyxQdxyxPyxuyxuQ dyP dxyPxQyPxQGyxQyxPGy dxx dydx dyADyPxQxQyPQ dyP dxdx dyyPxQQ dyP dxdx dyyPxQLdsQPQ dyP dxdttttQtttPdyyxQdxyxPtytxLyxyxD LD LD LL LL曲面积分： dsRQPR dx dyQ dz dxP dy dzdz dxzxzyxQdz dxzyxQdy dzzyzyxPdy dzzyxPdx dyyxzyxRdx dyz
17、yxRdx dyzyxRdz dxzyxQdy dzzyxPdx dyyxzyxzyxzyxfdszyxfzxyzxyxyDDDDyx)c osc osc os(),(,),(,),(),(),(,),(),(),(),(),(),(1),(,),(22系：两类曲面积分之间的关号。，取曲面的右侧时取正号；，取曲面的前侧时取正号；，取曲面的上侧时取正，其中：对坐标的曲面积分：对面积的曲面积分：高斯公式： 第 9 页 共 25 页 dsAdvAdsRQPdsAdsnAzRyQxPdsRQPRd x d yQ d z d xPd y d zdvzRyQxPnnd i v)c o sc o sc o
18、s(. . .,0d i v,d i v)c o sc o sc o s()(成：因此，高斯公式又可写，通量：则为消失的流体质量，若即：单位体积内所产生散度：通量与散度：高斯公式的物理意义斯托克斯公式 曲线积分与曲面积分的关系： dstAR dzQ dyP dxARQPzyxAyPxQxRzPzQyRRQPzyxRQPzyxdx dydz dxdy dzR dzQ dyP dxdx dyyPxQdz dxxRzPdy dzzQyR的环流量：沿有向闭曲线向量场旋度：， ， 关的条件：空间曲线积分与路径无上式左端又可写成：kjirotc osc osc os)()()(常数项级数： 是发散的调和级
19、数：等差数列：等比数列：nnnnqqqqq nn1312112)1(321111 12 级数审敛法 ： 第 10 页 共 25 页 散。存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：根植审敛法（柯西判、正项级数的审敛法nnnnnnnnnnsuuusUUulim;3111lim2111lim1211。的绝对值其余项，那么级数收敛且其和如果交错级数满足莱布尼兹定理：的审敛法或交错级数1113214321,0lim)0,( nnnnnnnnurrusu uuuuuuuuuu 绝对收敛与条件收敛： 时收敛时发散级
20、数： 收敛； 级数：收敛；发散，而调和级数：为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果为任意实数；，其中111)1(1)1()1()2()1()2()2()1(232121pnpnnnuuuuuuuupnnnn幂级数： 0010)3(lim)3(1111111221032RRRaaaaRRxRxRxRxaxaxaaxxxxxxxnnnnnnnn时，时，时，的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设称为收敛半径。，其中时不定时发散时收敛，使在数轴上都收敛，则必存收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数时，发散时，收敛于第 11 页 共 25 页 函数展开成
21、幂级数： nnnnnnnnnxnfxfxffxfxRxfxxnfRxxnxfxxxfxxxfxf!)0(!2)0()0()0()(00lim)(,)()!1()()(!)()(!2)()()()(2010)1(00)(20000时即为麦克劳林公式：充要条件是：可以展开成泰勒级数的余项：函数展开成泰勒级数：一些函数展开成幂级数： )()!12()1(!5!3s i n)11(! )1()1(!2 )1(1)1(121532 xnxxxxxxxn nmmmxmmmxxnnnm欧拉公式： 2s i n2c o ss i nc o sixixixixixeexeexxixe 或 三角级数： 。上的积分
22、在任意两个不同项的乘积正交性：。，其中，0,c o s,s i n2c o s,2s i n,c o s,s i n,1c o ss i n)s i nc o s(2)s i n ()(001010 nxnxxxxxxtAbAaaAanxbnxaatnAAtfnnnnnnnnnnnn傅立叶级数： 是偶函数 ，余弦级数：是奇函数 ，正弦级数：（相减）（相加）其中，周期nxaaxfnnx dxxfabnxbxfnx dxxfbannx dxxfbnnx dxxfanxbnxaaxfnnnnnnnnnnnc os2)(2,1,0c os)(20s i n)(3,2,1ns i n)(20124131
23、2116413121124614121851311)3,2,1(s i n)(1)2,1,0(c os)(12)s i nc os(2)(00022222222222222210周期为 l2 的周期函数的傅立叶级数：第 12 页 共 25 页 llnllnnnnndxlxnxflbndxlxnxflallxnblxnaaxf)3,2,1(s i n)(1)2,1,0(c o s)(12)s i nc o s(2)(10其中，周期微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。，代替分离变量，积分后将，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。 得：的形式，解法：为：一阶微分
24、方程可以化可分离变量的微分方程或 一阶微分方程：uxyuuduxdxudxduudxduxudxdyxyuxyyxyxfdxdyCxFyGdxxfdyygdxxfdyygdyyxQdxyxPyxfy)()(),(),()()()()()()(0),(),(),(一阶线性微分方程： )1,0()()(2)(0)(,0)()()(1)()()(nyxQyxPdxdyeCdxexQyxQCeyxQxQyxPdxdyndxxPdxxPdxxP，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程：全微分方程： 通解。应该是该全微分方程的，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果Cyx
25、uyxQyuyxPxudyyxQdxyxPyxdudyyxQdxyxP),(),(),(0),(),(),(0),(),(二阶微分方程： 时为非齐次时为齐次， 0)( 0)()()()(22 xf xfxfyxQdxdyxPdx yd二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： 2122,)(2,(*)0)(1,0(*)rryyyrrqprrqpqyypy式的两个根、求出的系数；式中的系数及常数项恰好是，其中、写出特征方程：求解步骤：为常数；，其中第 13 页 共 25 页 式的通解：出的不同情况，按下表写、根据 ( * ),3 21 rr 的形式， 21 rr (*)式的通解 两个不相等实根 )04
26、( 2 qp xrxr ececy 21 21 两个相等实根 )04( 2 qp xrexccy 1)( 21 一对共轭复根 )04( 2 qp 242221pqpirir， )s inc o s( 21 xcxcey x 二阶常系数非齐次线 性微分方程 型为常数；型，为常数，s i n)(c o s)()()()(,)(xxPxxPexfxPexfqpxfqyypynlxmx第 14 页 共 25 页 线性代数部分 1、行列式 1. n 行列式共有 2n 个元素，展开后有 !n 项 ，可分解为 2n 行列式； 2. 代数余子式的性质： 、 ijA 和 ija 的大小无关； 、某行（列）的元素
27、乘以其它行（列）元素的代数余子式为 0； 、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ； 3. 代数余子式和余子式的关系： ( 1 ) ( 1 )i j i jij ij ij ijM A A M 4. 设 n 行列式 D ： 将 D 上、下翻转或左右翻转，所得行列式为 1D ，则 ( 1)21 ( 1)nnDD ； 将 D 顺时针或逆时针旋转 90 ，所得行列式为 2D ，则 ( 1)22 ( 1)nnDD ； 将 D 主对角线翻转后（转置），所得行列式为 3D ，则 3DD ； 将 D 主副角线翻转后，所得行列式为 4D ，则 4DD ； 5. 行列式的重要公式： 、主对角行列
28、式：主对角元素的乘积； 、副对角行列式：副对角元素的乘积 ( 1)2( 1)nn ； 、上、下三角行列式（ ）：主对角元素的乘积； 、 和 ：副对角元素的乘积 ( 1)2( 1)nn ； 、拉普拉斯展开式： A O A C ABC B O B、 ( 1 ) mnC A O A ABB O B C 、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； 、特征值； 6. 对于 n 阶行列式 A ，恒有：1 ( 1 )nn k n kkkE A S ，其中 kS 为 k 阶主子式； 7. 证明 0A 的方法： 、 AA ； 、反证法； 、构造齐次方程组 0Ax ，证明其有非零解； 、利用秩，证明 ()rA n
29、； 、证明 0 是其特征值； 2、 矩阵 1. A 是 n 阶可逆矩阵： 第 15 页 共 25 页 0A （是非奇异矩阵）； ()rA n （是满秩矩阵） A 的行（列）向量组线性无 关； 齐次方程组 0Ax 有非零解； nbR ， Ax b 总有唯一解； A 与 E 等价； A 可表示成若干个初等矩阵的乘积； A 的特征值全不为 0； TAA是正定矩阵； A 的行（列）向量组是 nR 的一组基； A 是 nR 中某两组基的过渡矩阵； 2. 对于 n 阶矩阵 A ： *AA A A A E 无条件恒 成立； 3. 1 * * 1 1 1 * *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T
30、 T T TA A A A A A * * * 1 1 1( ) ( ) ( )T T TA B B A A B B A A B B A 4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均 A 、 B 可逆： 若12sAAAA，则： 、 12 sA A A A ； 、1111 21sAAAA； 、 1 11AO AOOB OB ；（主对角分块） 、 1 11OA OBBO AO ；（副对角分块） 、 1 1 1 11AC A A C BOB OB ；（拉普拉斯） 、 1 11 1 1AO AOCB B C A B ；（拉普拉斯） 3、矩阵
31、的初等变换与线性方程组 1. 一个 mn 矩阵 A ，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的： rmnEOF OO； 第 16 页 共 25 页 等价类：所有与 A 等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵 A 、 B ，若 ( ) ( )r A r B A B ； 2. 行最简形矩阵： 、只能通过初等行变换获得； 、每行首个非 0 元素必须为 1； 、每行首个非 0 元素所在列的其他元素必须为 0； 3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换） 、 若 ( , ) ( , )rA E E X ，则 A 可逆，且 1X
32、A ； 、对矩阵 ( , )AB 做初等行变化，当 A 变为 E 时， B 就变成 1AB ，即： 1( , ) ( , )cA B E A B ； 、 求解线形方程组：对于 n 个未知数 n 个方程 Ax b ，如果 ( , ) ( , )rAb E x ，则 A 可逆，且 1x Ab ； 4. 初等矩阵和对角矩阵的概念： 、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵； 、12n，左乘矩阵 A ， i 乘 A 的各行元素；右乘， i 乘 A 的各列元素； 、对调两行或两列，符号 (, )Eij ，且 1( , ) ( , )E i j E i j ，例如：
33、1111111 ； 、倍乘某行或某列，符号 ( )Eik ，且 1 1( ( ) ( ( )E i k E ik ，例如：1 111 ( 0 )1 1kkk ； 、倍加某行或某列，符号 ( ( )Eijk ,且 1( ( ) ( ( )E ij k E ij k ，如： 1111 1 ( 0 )11kkk ； 5. 矩阵秩的基本性质： 、 0 ( ) m in( , )mnr A m n ； 、 ( ) ( )Tr A r A ； 、若 AB，则 ( ) ( )r A r B ； 、若 P 、 Q 可逆，则 ( ) ( ) ( ) ( )r A r P A r A Q r P A Q ；（ 可
34、逆矩阵不影响矩阵的秩 ） 、 m a x ( ( ) , ( ) ) ( , ) ( ) ( )r A r B r A B r A r B ；（ ） 、 ( ) ( ) ( )r A B r A r B ；（ ） 、 ( ) m in ( ( ), ( )r AB r A r B ；（ ） 、 如果 A 是 mn 矩阵， B 是 ns 矩阵，且 0AB ，则：（ ） 、 B 的 列 向量全部是齐次方程组 0AX 解（转置运算后的结论）； 、 ( ) ( )r A r B n 、若 A 、 B 均为 n 阶方阵，则 ( ) ( ) ( )r AB r A r B n ； 第 17 页 共 25
35、页 6. 三种特殊矩阵的方幂： 、秩为 1 的矩阵：一定可以分解为 列矩阵（向量） 行矩阵（向量） 的 形式，再采用结合律； 、型如 1010 0 1acb的矩阵：利用二项展开式； 二项展开式： 0 1 1 1 1 1 10()nn n n m n m m n n n n m m n mn n n n n nma b C a C a b C a b C a b C b C a b ； 注：、 ()nab 展开后有 1n 项； 、 0( 1 ) ( 1 ) ! 11 2 3 ! ( ) ! mnn n nn n n m nC C Cm m n m、 组合的性质： 1111 0 2 nm n m
36、m m m r n r rn n n n n n n nrC C C C C C r C n C； 、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵： 、伴随矩阵的秩： * ()( ) 1 ( ) 10 ( ) 1n r A nr A r A nr A n ； 、伴随矩阵的特征值： * 1 *( , )AAA X X A A A A X X ； 、 *1A AA 、 1* nAA 8. 关于 A 矩阵秩的描述： 、 ()rA n ， A 中有 n 阶子式不为 0， 1n 阶子式全部为 0；（两句话） 、 ()rA n ， A 中有 n 阶子式全部为 0； 、 ()rA n ， A 中有 n 阶子式不
37、为 0； 9. 线性方程组： Ax b ，其中 A 为 mn 矩阵，则： 、 m 与方程的个数相同，即方程组 Ax b 有 m 个方程； 、 n 与方程组得未知数个数相同，方程组 Ax b 为 n 元方程； 10. 线性方程组 Ax b 的求解： 、对增广矩阵 B 进行初等行变换（ 只能使用初等行变换 ）； 、齐次解为对应齐次方程组的解； 、特解：自由变量赋初值后求得； 11. 由 n 个未知数 m 个方程的方程组构成 n 元线性方程： 、1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnm m nm n na x a x a x ba x a x a x ba
38、 x a x a x b ； 、1 1 1 2 1 1 12 1 2 2 2 2 212nnm m m n m ma a a x ba a a x b Ax ba a a x b （ 向量方程， A 为 mn 矩阵， m 个方程， n 个未知数） 第 18 页 共 25 页 、 1212 nnxxa a ax（全部按列分块，其中12nbbb）； 、 1 1 2 2 nna x a x a x （线性表出） 、有解的充要条件： ( ) ( , )r A r A n（ n 为未知数的个数或维数 ） 4、向量组的线性相关性 1. m 个 n 维列向量所组成的向量组 A ： 12, , , m 构成
39、nm 矩阵 12( , , , )mA ； m 个 n 维行向量所组成的向量组 B ： 12, , ,T T Tm 构成 mn 矩阵12TTTmB； 含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； 2. 、 向量组的线性相关、无 关 0Ax有、无非零解；（齐次线性方程组） 、向量的线性表出 Ax b是否有解；（线 性方程组 ） 、向量组的相互线性表示 AX B是否有解；（矩阵方程） 3. 矩阵 mnA 与 lnB 行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组 0Ax 和 0Bx 同解； ( 101P 例 14) 4. ( ) ( )Tr A A r A ； ( 101P 例 15) 5. n 维向量线
40、性相关的几何意义： 、 线性相关 0 ； 、 ,线性相关 ,坐标成比例或共线（平行）； 、 , 线性相关 , 共面； 6. 线性相关与无关的两套定理： 若 12, , , s 线性相关，则 1 2 1, , , ,ss 必线性相关； 若 12, , , s 线性无关，则 1 2 1, , , s 必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若 r 维向量组 A 的每个向量上添上 nr 个分量，构成 n 维向量组 B ： 若 A 线性无关，则 B 也线性无关；反之若 B 线性相关，则 A 也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定； 7. 向量组 A （个数为 r ）能由向量组 B （ 个数为 s ）线性表示，且 A 线性无关，则
