1、1高 等 数 学 （ 二 ） 重 点 知 识 及 解 析 （ 占 80 分 左 右 ） 、 函 数 、 极 限一 、 基 本 初 等 函 数 (又 称 简 单 函 数 )：（ 1） 常 值 函 数 ： y c （ 2） 幂 函 数 ： ay x （ 3） 指 数 函 数 ： xy a (a 0, 1)a 且（ 4） 对 数 函 数 ： log ay x (a 0, 1)a 且（ 5） 三 角 函 数 ： siny x ， cosy x ， tany x ， coty x（ 6） 反 三 角 函 数 ： arcsiny x ， arccosy x ， arctany x ， coty arc x
2、二 、 复 合 函 数 ：要 会 判 断 一 个 复 合 函 数 是 由 哪 几 个 简 单 函 数 复 合 而 成 的 。例 如 ： lncosy x 是 由 lny u ， cosu x 这 两 个 个 简 单 函 数 复 合 而 成 .例 如 ： 3arctan xy e 是 由 arctany u ， vu e 和 3v x 这 三 个 简 单 函 数 复 合 而 成 .该 部 分 是 后 面 求 导 的 关 键 ！三 、 极 限 的 计 算1、 利 用 函 数 连 续 性 求 极 限 （ 代 入 法 ） ： 对 于 一 般 的 极 限 式 （ 即 非 未 定 式 ） ， 只 要 将
3、0x 代入 到 函 数 表 达 式 中 ， 函 数 值 即 是 极 限 值 ， 即0 0lim ( ) ( )x x f x f x 。注 意 ： （ 1） 常 数 极 限 等 于 他 本 身 ， 与 自 变 量 的 变 化 趋 势 无 关 ， 即 limC C 。（ 2） 该 方 法 的 使 用 前 提 是 当 0x x 的 时 候 ， 而 x 时 则 不 能 用 此 方 法 。例 1： lim 4 4x ， 1lim 3 3x ， limlg2 lg2x ， 6limx ，例 2： 2 20 3 1 0 3 0 1lim 11 0 1x x xx 例 3： 2 tan( 1) tan(2
4、1)lim tan11 2 1x xx （ 非 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 不 用 计 算 出 来 ）2、 未 定 式 极 限 的 运 算 法（ 1） 对 于 00未 定 式 ： 分 子 、 分 母 提 取 公 因 式 ， 然 后 消 去 公 因 式 后 ， 将 0x 代 入 后 函 数 值 即 是极 限 值 。例 1： 计 算 23 9lim 3x xx . 00未 定 式 ， 提 取 公 因 式2解 ： 原 式 = 3 3( 3)( 3)lim lim( 3) 63x xx x xx 例 2： 计 算 2 21 2 1lim 1x x xx . 00未 定 式 ， 提 取 公 因
5、式解 ： 原 式 = 21 1lim 1 1x xx x = 1 1lim 1x xx =0 02 （ 2） 对 于 未 定 式 ： 分 子 、 分 母 同 时 除 以 未 知 量 的 最 高 次 幂 ， 然 后 利 用 无 穷 大 的 倒 数 是 无穷 小 的 这 一 关 系 进 行 计 算 。例 1： 计 算 2 3lim 3 1n nn 未 定 式 ， 分 子 分 母 同 时 除 以 n解 ： 原 式 32 2 0 2lim 1 3 0 33n nn 无 穷 大 倒 数 是 无 穷 小例 2： 计 算 23 23 2 1lim2 5x x xx x . 未 定 式 ， 分 子 分 母 同
6、 除 以 3x解 ： 原 式 = 2 333 2 1lim 1 52x x x xx x =0 02 无 穷 大 倒 数 是 无 穷 小 ， 因 此 分 子 是 0分 母 是 23、 利 用 等 价 无 穷 小 的 代 换 求 极 限（ 1） 定 义 ： 设 和 是 同 一 变 化 过 程 中 的 两 个 无 穷 小 ， 如 果 lim =1， 称 与 是 等 价无 穷 小 ， 记 作 .（ 2） 定 理 ： 设 、 、 、 均 为 无 穷 小 ， 又 ， ， 且 lim 存 在则 lim = lim 或 lim lim （ 3） 常 用 的 等 价 无 穷 小 代 换 ： 当 0x 时 ，
7、sinx x , tanx x例 1： 当 0x 时 ， sin2x 2x， tan( 3 )x 3x例 2： 极 限 0 sin2lim 5x xx = 0 2lim5x xx = 0 2lim5x =25 sin2x用 2 x等 价 代 换例 3： 极 限 0 tan3limx xx = 0 3limx xx = 0lim3 3x tan3x用 3x等 价 代 换3 、 一 元 函 数 的 微 分 学一 、 导 数 的 表 示 符 号（ 1） 函 数 ( )f x 在 点 0x 处 的 导 数 记 作 ： 0( )f x ， 0 x xy 或 0x xdydx （ 2） 函 数 ( )f
8、x 在 区 间 （ a,b） 内 的 导 数 记 作 ：( )f x ， y 或 dydx二 、 求 导 公 式 （ 必 须 熟 记 ）（ 1） ( ) 0c （ C 为 常 数 ） （ 2） 1( )x x （ 3） ( )x xe e （ 4） 1(ln )x x（ 5） (sin ) cosx x （ 6） (cos ) sinx x（ 7） 21(arcsin ) 1x x （ 8） 21(arctan ) 1x x 例 ： 1、 3x = 23x 2、 1 212x x 3、 sin 6 =04、 0 5、 2 321 2x xx 6、 1x 三 、 导 数 的 四 则 运 算运 算
9、 公 式 （ 设 U， V 是 关 于 X 的 函 数 ， 求 解 时 把 已 知 题 目 中 的 函 数 代 入 公 式 中 的 U 和 V 即可 ， 代 入 后 用 导 数 公 式 求 解 .）（ 1） ( )u v u v （ 2） ( )u v uv uv 特 别 地 ( )Cu Cu （ C 为 常 数 ）（ 3） 2( )u uv uvv v例 1： 已 知 函 数 4 3cos 2y x x ， 求 y .解 ： y = 4 3 cos 2x x = 34 3sin 0x x = 34 3sinx x例 2： 已 知 函 数 2( ) lnf x x x ， 求 ( )f x 和
10、 ( )f e .4解 ： ( )f x = 2 2ln lnx x x x = 2 12 lnx x x x =2 lnx x x 所 以 ( )f e =2 ln 2 3e e e e e e （ 注 意 ： lne=1,ln1=0）例 3： 已 知 函 数 2( ) 1 xf x x ， 求 ( )f x .解 ： ( )f x = 2 2221 11x x x xx = 2 221 21x x xx = 2 2211 xx四 、 复 合 函 数 的 求 导1、 方 法 一 ：例 如 求 复 合 函 数 2siny x 的 导 数 .（ 1） 首 先 判 断 该 复 合 函 数 是 由
11、哪 几 个 简 单 函 数 复 合 而 成 的 .如 2siny x 由 siny u 和 2u x 这 两 个 简 单 函 数 复 合 而 成（ 2） 用 导 数 公 式 求 出 每 个 简 单 函 数 的 导 数 .即 dydu =cosu， dudx =2x（ 3） 每 个 简 单 函 数 导 数 的 乘 积 即 为 复 合 函 数 的 导 数 ； 注 意 中 间 变 量 要 用 原 变 量 x替 代 回 去 . dy dy dudx du dx =2x cosu=2x 2cosx2、 方 法 二 （ 直 接 求 导 法 ） ：复 合 函 数 的 导 数 等 于 构 成 该 复 合 函
12、数 的 简 单 函 数 导 数 的 乘 积 。 如 果 对 导 数 公 式 熟 悉 ，对 复 合 函 数 的 过 程 清 楚 ， 可 以 不 必 写 出 中 间 变 量 而 直 接 对 复 合 函 数 从 外 往 里 求 导 .例 1： 设 函 数 cos( 3 )y x ， 求 y .解 ： y = ( 3 )cox x = sin( 3 )x ( 3 )x = sin( 3 )x ( 3) =3sin( 3 )x例 2： 设 函 数 lnxy e ， 求 y .解 ： y = lnxe = lnxe (ln )x =1x lnxe注 意 ： 一 个 复 合 函 数 求 几 次 导 ， 取
13、决 于 它 由 几 个 简 单 函 数 复 合 而 成 。五 、 高 阶 导 数1、 二 阶 导 数 记 作： y ， ( )f x 或 22d ydx我 们 把 二 阶 和 二 阶 以 上 的 导 数 称 为 高 阶 导 数 .2、 求 法 ： （ 1） 二 阶 导 数 就 是 对 一 阶 导 数 再 求 一 次 导5（ 2） 三 阶 导 数 就 是 对 一 阶 导 数 求 两 次 导 ， 对 二 阶 导 求 一 次 导例 1： 已 知 5siny x ， 求 y .解 ： y =5cosx， y = 5sinx例 2： 已 知 2xy e ， 求 0 xy .解 ： y = 2xe 2x
14、= 22 xe ， y =2 2xe 2x =4 2xe即 0 xy =4六 、 微 分 的 求 法 ：（ 1） 求 出 函 数 ( )y f x 的 导 数 ( )f x .（ 2） 再 乘 以 dx即 可 .即 ( )dy f x dx .例 1： 已 知 2lny x ， 求 dy .解 ： y = 2lnx = 221 xx = 21 2xx =2x dy =2x dx例 2： 设 函 数 4 cosy x x ， 求 dy .解 ： y = 4 4cos cosx x x x = 3 44 cos sinx x x x dy = 3 44 cos sinx x x x dx6 、 二
15、 元 函 数 的 微 分 学一 、 多 元 函 数 的 定 义 ： 由 两 个 或 两 个 以 上 的 自 变 量 所 构 成 的 函 数 ， 称 为 多 元 函 数 。 其 自变 量 的 变 化 范 围 称 为 定 义 域 ， 通 常 记 作 D。例 如 ： 二 元 函 数 通 常 记 作 ： ( , )z f x y ， ( , )x y D二 、 二 元 函 数 的 偏 导 数1、 偏 导 数 的 表 示 方 法 ：（ 1） 设 二 元 函 数 ( , )z f x y ， 则 函 数 z 在 区 域 D 内 对 x 和 对 y 的 偏 导 数 记 为 ：zx ， ( , )xf x y
16、 ， xz ； zy ， ( , )yf x y ， yz（ 2） 设 二 元 函 数 ( , )z f x y ， 则 函 数 z 在 点 0 0,x y 处 对 x 和 对 y 的 偏 导 数 记 为 ： 0 0,x yzx ， 0 0,xf x y ， 0 0 ,x x yz ； 0 0,x yzy ， 0 0,yf x y ， 0 0 ,y x yz ；2、 偏 导 数 的 求 法（ 1） 对 x 求 偏 导 时 ， 只 要 将 y 看 成 是 常 量 ， 将 x看 成 是 变 量 ， 直 接 对 x求 导 即 可 .（ 2） 对 y 求 偏 导 时 ， 只 要 将 x看 成 是 常
17、量 ， 将 y 看 成 是 变 量 ， 直 接 对 y 求 导 即 可 .如 果 要 求 函 数 在 点 0 0,x y 处 的 偏 导 数 ， 只 要 求 出 上 述 偏 导 函 数 后 将 0x 和 0y 代 入 即 可 .例 1： 已 知 函 数 3 22z x y y x ， 求 zx 和 zy .解 ： zx = 2 23 2x y y ， zy = 3 4x xy例 2： 已 知 函 数 2sin2z x y ， 求 zx 和 zy .解 ： zx =2 sin2x y， zy = 22 cos2x y三 、 全 微 分1、 全 微 分 公 式 ： 函 数 ( , )z f x y
18、 在 点 ( , )x y 处 全 微 分 公 式 为 ： z zdz dx dyx y 2、 全 微 分 求 法 ：（ 1） 、 先 求 出 两 个 一 阶 偏 导 数 zx 和 zy . （ 2） 、 然 后 代 入 上 述 公 式 即 可 .7例 1： 设 函 数 2sin( ) 3 1z x y x y ， 求 dz .解 ： zx = cos( ) 6y x y x ， zy = cos( ) 1x x y cos( ) 6 cos( ) 1z zdz dx dy y x y x dx x x y dyx y 例 2： 设 函 数 2x yz e ， 求 dz .解 ： zx = 2
19、2 x ye ， zy = 2x ye 2 22 x y x yz zdz dx dy e dx e dyx y 四 、 二 阶 偏 导 的 表 示 方 法 和 求 法 ：（ 1） ( )zx x = 22zx = ( , )xxf x y = xxz 两 次 都 对 x求 偏 导（ 2） ( )zy x = 2zx y = ( , )xyf x y = xyz 先 对 x求 偏 导 ， 再 对 y 求 偏 导（ 3） ( )zx y = 2zy x = ( , )yxf x y = yxz 先 对 y 求 偏 导 ， 再 对 x 求 偏 导（ 4） ( )zy y = 22zy = ( ,
20、)yyf x y = yyz 两 次 都 对 y 求 偏 导可 见 二 元 函 数 的 二 阶 偏 导 共 四 种 ， 它 们 都 是 ,x y的 函 数 。 在 求 二 阶 偏 导 的 时 候 一 定 要 注 意 对变 量 的 求 导 次 序 （ 写 在 符 号 前 面 的 变 量 先 求 偏 导 ） .例 1： 设 函 数 3 2 33 1z x y xy xy ， 求 22zx ， 2zx y ， 2zy x 和 22zy .解 ： zx = 2 2 33 3x y y y ， zy = 3 22 9x y xy x 得 22zx = 26xy ， 2zx y = 2 26 9 1x y
21、 y ， 2zy x = 2 26 9 1x y y ， 22zy = 32 18x xy例 2： 设 函 数 cosz y x ， 求 22zx ， 2zx y .解 ： zx = siny x 得 22zx = cosy x ， 2zx y = sinx8 、 一 元 函 数 的 积 分 学一 、 原 函 数 的 定 义 ： 设 ( )F x 是 区 间 I上 的 一 个 可 导 函 数 ， 对 于 区 间 I上 的 任 意 一 点 x ，都 有 ( ) ( )F x f x ， 则 称 ( )F x 是 ( )f x 在 区 间 I上 的 一 个 原 函 数 .例 1： (sin ) c
22、osx x ， 因 此 sinx 是 cosx的 一 个 原 函 数 ， cosx是 sinx 的 导 数 .由 于 (sin ) cosx c x ， 可 见 只 要 函 数 有 一 个 原 函 数 ， 那 么 他 的 原 函 数 就 有 无 穷 多 个 .例 2： 设 ( )f x 的 一 个 原 函 数 为 1x ， 求 ( )f x .解 ： 因 为 1x 是 ( )f x 的 一 个 原 函 数 ， 即 ( )F x =1x ， 所 以 ( )f x = ( )F x = 1x = 21x .得 ( )f x = 21x = 32x （ 注 ： 11 xx ）二 、 不 定 积 分（
23、 一 ） 、 定 义 ： 我 们 把 ( )f x 的 所 有 原 函 数 称 为 ( )f x 在 区 间 I 上 的 不 定 积 分 ， 记 作 ：( ) ( )f x dx F x C （ 其 中 ( ) ( )F x f x ）注 意 ： 不 定 积 分 是 原 函 数 的 的 全 体 ， 因 此 计 算 结 果 常 数 C 勿 忘 ！（ 二 ） 、 不 定 积 分 的 性 质 1 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx 2 ( ) ( )kf x dx k f x dx （ 其 中 k 为 常 数 ）（ 三 ） 、 基 本 积 分 公 式 （
24、和 导 数 公 式 一 样 ， 必 须 熟 记 ） 1 0dx C 2 kdx kx C （ k为 常 数 ） 3 11xx dx C ( 1) 4 1 lndx x Cx 5 x xe dx e C 6 cos sinxdx x C 7 sin cosxdx x C 8 2 arcsin1dx x Cx 9 2 arctan1dx x Cx 例 1： 3 3dx x C 2sin -2cosxdx x C 943 4xx dx C 21 1dx Cx x 例 2： 3 32 2 tantan tan 3 3u xxd x u du C C （ 利 用 换 元 法 ， 设 tanx u ）又
25、如 ： 1cos cos ln cosxd x x C 322ln ln ln3xd x x C （ 四 ） 、 不 定 积 分 的 计 算1、 直 接 积 分 法 ： 对 被 积 函 数 进 行 恒 等 变 形 ， 并 用 积 分 性 质 和 积 分 公 式 进 行 积 分 的 方 法 。例 1： 22 1x dx = 4 22 1x x dx = 4 22x dx x dx dx = 5 325 3x x x C 例 2： 3 1(1 2sin ) 1 2 sin 3x dx dx xdx dxx x 2cos 3lnx x x C 2、 凑 微 分 法（ 1） 适 用 前 提 ： 如 果
26、 被 积 函 数 是 两 个 函 数 相 乘 （ 或 相 除 ） 或 者 被 积 函 数 是 复 合 函 数 （ 通常 为 较 为 简 单 的 复 合 函 数 ） 的 情 况 ， 此 时 可 以 考 虑 用 凑 微 分 法 。（ 2） 凑 微 分 法 解 法 步 骤 1 凑 微 分 2 换 元 3 直 接 积 分 法 4 反 换 元例 1： 求 不 定 积 分 2cosx x dx解 ： 原 式 = 2 21cos 2x d x = 2 21 cos2 x dx （ 1.凑 微 分 ） 将 xdx凑 成 212d x=1 cos2 udu （ 2.换 元 ） 将 2x 换 元 成 u=1sin
27、2 u C （ 3.直 接 积 分 法 ） 求 出 u 的 不 定 积 分= 21sin2 x C （ 4.反 换 元 ） u 再 用 2x 反 换 元例 2： 求 不 定 积 分 2ln xdxx解 ： 原 式 = 2ln (ln )xd x （ 1.凑 微 分 ） 将 1dxx 凑 成 lnd x= 2u du （ 2.换 元 ） 将 lnx换 元 成 u= 33u C （ 3.直 接 积 分 法 ） 求 出 u 的 不 定 积 分10= 3ln3x C （ 4.反 换 元 ） u 再 用 lnx反 换 元例 3： 求 不 定 积 分 3 2xe dx解 ： 原 式 = 3 21 (3 2
28、)3 xe d x （ 1.凑 微 分 ） 将 dx凑 成 1 (3 2)3d x=13 ue du （ 2.换 元 ） 将 3 2x 换 元 成 u=13 ue C （ 3.直 接 积 分 法 ） 求 出 u 的 不 定 积 分= 3 213 xe C （ 4.反 换 元 ） u 再 用 3 2x 反 换 元注 意 ： 凑 微 分 时 要 注 意 凑 完 微 分 后 前 后 变 量 要 统 一 ！ 如 果 能 熟 练 掌 握 换 元 过 程 ， 此 时 就 可 以不 必 写 出 中 间 变 量 ， 而 直 接 进 行 积 分 。例 4： 3sin cosx xdx = 3sin sinxd
29、x = 4sin4 x C （ 将 dx凑 成 1 3 23d x ）例 5： 21x x dx = 2 21 1 (1 )2 x d x = 32 21 13 x C （ 将 xdx凑 成 21 12d x ）3、 分 部 积 分 法 （ 考 到 概 率 为 40 左 右 ， 要 了 解 的 可 参 考 重 点 解 析 “ 详 细 版 ” ）三 、 不 定 积 分（ 一 ） 、 定 积 分 的 定 义 ：由 曲 边 梯 形 的 面 积 引 出 定 义 公 式A= ( )ba f x dx （ A为 曲 边 梯 形 的 面 积 ）其 中 ( )f x 为 被 积 函 数 ， ,a b 为 积
30、分 区 间 ， a为 积 分 下 限 ， b 为 积 分 上 限 。用 定 积 分 所 要 注 意 的 事 项 ：1、 因 为 定 积 分 是 曲 边 梯 形 的 面 积 ， 因 此 定 积 分 的 值 一 定 是 一 个 常 数 ， 所 以 对 定 积 分 求 导 ， 导 数 值 必 为 零 。 例 ： 10arctan 0d xdxdx ， 2 21 sin 0t tdt 2、 当 a=b 时 ， ( )ba f x dx =0因 定 积 分 上 限 b a， 当 b a 时 ， ( )ba f x dx = ( )ab f x dx例 ： 11 sin 01 cosx dxx ， 3 2
31、2 3( ) ( )f x dx f x dx （ 二 ） 、 定 积 分 的 计 算111、 变 上 限 积 分 的 计 算（ 1） 定 义 ： 积 分 上 限 x为 变 量 时 的 定 积 分 称 为 变 上 限 积 分 ， 变 上 限 积 分 是 上 限 x 的 函 数 ，记 作 ( )x ( )xa f t dt（ 2） 变 上 限 积 分 的 导 数 ： ( ) ( )xa f t dt f x 将 x 代 入 到 ( )f t 即 可例 1： 设 0( ) sinxf x tdt ， 则 ( ) sinf x x .例 2： 3 30xd t t dt x xdx 2、 牛 顿 莱
32、 布 尼 茨 公 式（ 1） 公 式 ：如 果 ( )F x 是 连 续 函 数 ( )f x 在 ,a b 上 的 一 个 原 函 数 ， 则 有( )ba f x dx = ( ) baF x = ( ) ( )F b F a（ 2） 由 公 式 可 知 ： 连 续 函 数 ( )f x 在 ,a b 上 定 积 分 ， 就 是 ( )f x 的 一 个 原 函 数 ( )F x 在 ,a b上 的 增 量 （ 上 限 值 减 下 限 值 ） 。 而 连 续 函 数 ( )f x 的 不 定 积 分 ， 就 是 ( )f x 的 全 体 原 函 数 （ 原函 数 后 面 加 常 数 C）
33、。 可 见 定 积 分 和 不 定 积 分 的 计 算 都 是 围 绕 求 原 函 数 进 行 的 。例 1： 求 定 积 分 2 21 x dx解 ： 原 式 = 3 213x = 3 32 13 3 =73例 2： 求 定 积 分 220 cos sinx xdx （ 将 sinxdx凑 成 cosd x ）解 ： 原 式 = 220 cos cosxd x = 3 20cos3 x = 10 3 =13例 3： 求 定 积 分 1 lne x dxx （ 将 1dxx 凑 成 lnd x ）解 ： 原 式 = 1 ln lne xd x = 2 1ln2 ex = 2 2ln ln 12
34、 2e =1 02 2 =12注 意 ： 用 凑 微 分 法 计 算 定 积 分 时 ， 在 换 元 时 ， 由 于 引 入 了 新 的 变 量 ， 故 原 变 量 的 积 分 限 要 更换 成 新 变 量 的 积 分 限 ;如 不 想 更 换 积 分 限 ， 可 省 略 换 元 步 骤 。3、 分 部 积 分 法 （ 考 到 概 率 为 40 左 右 ， 要 了 解 的 可 参 考 重 点 解 析 “ 详 细 版 ” ）12附 表 ： 几 个 特 殊 角 的 三 角 函 数 值角 度三 角 0 6 4 3 2 2 2 -sinx 0 12 22 32 1 0 0 1 0cosx 1 32 22 12 0 1 1 0 1tanx 0 33 1 3不 存 在 0 0 不 存 在 0cotx 不 存 在 3 1 33 0 不 存 在 不 存 在 0 不 存 在
