1、 中考数学压轴题解题技巧 数学压轴题是初中数学中覆盖知识面最广，综合性最强的题型 。综合近年来各地中考的实际情况，压轴题多以 函数和几何综合题的形式出现 。压轴题考查知识点 多，条件也相当隐蔽 ，这就要求学生 有较强的理解问题、分析问题、解决问题的能力，对数学知识、数学方法有较强的驾驭能力， 并 有较强的创新意识和创新能力，当然，还必须具有 强大 的心理素质。 下面谈谈中考数学压轴题的解题技巧 。 如图，在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的三个顶点 B（ 4， 0）、 C（ 8， 0）、 D（ 8， 8） .抛物线 y=ax2+bx过 A、 C 两点 . (1)直接写出点 A 的坐标，并
2、求出抛物线的解析式； (2)动点 P 从点 A 出发沿线段 AB 向终点 B 运动，同时点Q 从点 C 出发，沿线段 CD 向终点 D 运动速度均为每秒 1 个单位长度，运动时间为 t 秒 .过点 P 作 PE AB 交 AC 于 点 E. 过点 E 作 EF AD 于点 F，交抛物线于点 G.当 t 为何值时，线段 EG 最长 ? 连接 EQ在点 P、 Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得 CEQ 是等腰三角形 ?请直接写出相应的 t 值 . 解： (1)点 A 的 坐标为（ 4， 8） 1分 将 A (4， 8)、 C（ 8， 0）两点坐标分别代入 y=ax2+bx 8=16a+4b 得
3、0=64a+8b 2 解 得 a=-12 ,b=4 抛物线的解析式为 ： y=-12 x2+4x 3分 （ 2） 在 Rt APE 和 Rt ABC 中 ， tan PAE=PEAP =BCAB ,即 PEAP =48 PE=12 AP=12 t PB=8-t 点的坐标为（ 4+12 t， 8-t） . 点 G 的纵坐标为： -12 （ 4+12 t） 2+4(4+12 t） =-18 t2+8. 5分 EG=-18 t2+8-(8-t) =-18 t2+t. -18 0，当 t=4 时，线段 EG 最长为 2. 7 分 共有三个时刻 . 8分 t1=163 ， t2=4013 ， t3= 8
4、525 11 分 压轴题的做题技巧 如下： 1、 对自身数学学习状况做 一个完整的全面的认识， 根据自己的情况 考试的时候重心 定位准确 ， 防止 “捡 芝麻 丢 西瓜 ”。 所以，在心中一定要给压轴题 或几个“难点”一个时间上的限制，如果超过你设置的上限，必须要停止，回头认真检查前面的题 ，尽量 要保证选择、填空万无一失，前面的解答题尽可能的检查一遍。 2、 解数学压轴题 做一问是一问 。第一问对绝大多数同学来说，不是问题； 如果第一小问不会解，切忌不可轻易放弃第二小问 。过程会多少写多少，因为数学解答题是按步骤给分的， 写上去的东西必须要规范，字迹 要工整，布局要合理；过程会写多少3 写多
5、少，但是不要说废话，计算中尽量回避非必求成分；尽量多用几何知识，少用代数计算，尽量用三角函数，少在直角三角形中使用相似三角形的性质。 3、 解数学压轴题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。审题要全面审视题目的所有条件和答题要求，在整体上把握试题的特点、结构，以利于解题方法的选择和解题步骤的设计。 解数学压轴题要善于总结解数学压轴题中所隐含的重要数学思想，如转化思想、数形结合思想、分类讨论思想及方程的思想等。认识条件和结论之间的关系、图形的几何特征 与数、式 的数量、结构特征的关系， 确定解题的思路和方法当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注 意挖掘
6、隐蔽的条件和内在联系，既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第 24 题和 25 题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有： 一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线； 反比例函数， 它所对应的图像是双曲线； 二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）
7、。此类题基本在第 24 题，满分 12 分，基本分 2 3 小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式 (即在4 没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么 )和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰 三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求 x 的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系
8、（即列出含有 x、 y 的方程），变形写成 y f（ x）的形式。一般有直接法（直接列出含有 x 和 y的方程）和复合法（列出含有 x和 y 和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和 x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到 y f（ x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量 关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出 x 的值。几何型综合题基本在第 25 题做为压轴题出现，满分 14 分，
9、一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题 是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 5 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过
10、建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、以直线 或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想： 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。 3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想： 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近
11、几年的中考压轴题分类讨论思想解题已 成为新的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想： 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几何、三角于一体的综合试题，转换的思路更要得到充分的应用。中考压轴题所考察的并非孤立的知识点，也并非个别的思想方法，它是对考生综合能力的一个全面考察，所涉及的知识面广，所使用的数学思想方法也较全面。因此有的考生对压轴题有一种恐惧感，认为自己的水平一般，做不了，甚至连看也 没看就放弃了，当然也就得不到应得的分数，为了提高压轴题的得
12、分率，考试中还需要有一种分题、分段的得分策略。 6 5、分题得分：中考压轴题一般在大题下都有两至三个小题，难易程度是第（ 1）小题较易，第（ 2）小题中等，第（ 3）小题偏难，在解答时要把第（ 1）小题的分数一定拿到，第（ 2）小题的分数要力争拿到，第（ 3）小题的分数要争取得到，这样就大大提高了获得中考数学高分的可能性。 6、分段得分：一道中考压轴题做不出来，不等于一点不懂，一点不会，要将片段的思路转化为得分点，因此，要强调分段得分，分段得分的根据是 “ 分段评分 ” ，中考的评分是按照题目所考察的知识点分段评分，踏上知识点就给分，多踏多给分。因此，对中考压轴题要理解多少做多少，最大限度地发
13、挥自己的水平，把中考数学的压轴题变成最有价值的压台戏。 近几年中考数学中运动几何问题倍受青睐，它不仅综合考查初中数学骨干知识，如三角形全等与相似、图形的平移与旋转、函数（一次函数、二次函数与反比例函数）与方程等，更重要的是综合考查初中基本数学思想与方法。此类题型也往往起到了考试的选拔作用，使学生之间的数学考试成绩由此而产生距离，所以准确快速解决此类问题是赢得中考数学胜利的关键。如何 准确、快速解决此类问题呢？关键是把握解决此类题型的规律与方法以静制动。 另外，需要强调的是此类题型一般起点低，第一步往往是一个非常简单的问题，考生一般都能拿分，但恰恰是这一步问题的解题思想和方法是本题基本的做题思想
14、和方法，是特殊到一般数学思想和方法的具体应用，所以考生在解决第一步时不仅要准确计算出答案，更重要的是明确此题的方法和思路。 下面以具体实例简单的说一说此类题的解题方法。 7 一、利用动点（图形）位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题 例 1： 在 ABC 中， B=60 ,BA=24CM,BC=16CM, (1)求 ABC 的面积； (2)现有动点 P 从 A 点出发，沿射线 AB 向点 B 方向运动，动点 Q从 C 点出发，沿射线 CB 也向点 B 方向运动。如果点 P 的速度是 4CM/秒，点 Q 的速度是 2CM/秒，它们同时出
15、发，几秒钟后， PBQ 的面积是 ABC 的面积的一半？ (3)在第（ 2）问题前提下， P,Q 两点之间的距离是多少？ 点评：此题关键是明确点 P、 Q 在 ABC 边上的位置，有三种情况。 （ 1）当 0 t 6 时， P、 Q 分别在 AB、 BC 边上； （ 2） 当 6 t 8 时， P、 Q 分别在 AB 延长线上和 BC 边上； （ 3）当 t 8 时 , P、 Q 分别在 AB、 BC 边上延长线上 . 然后分别用第一步的方法列方程求解 . 例 2:已知正方形 ABCD 的边长是 1， E 为 CD 边的中点， P 为正方形 ABCD 边上的一个动点，动点 P 从 A 点出发，
16、沿 A B C E 运动，到达点 E.若点 P 经过的路程为自变量 x， APE 的面积为函数 y， （ 1）写出 y 与 x 的关系式 (2)求当 y 13 时， x 的值等于多少？ 点评 :这个问题的关键是明确点 P在四边形 ABCD边上的A C B 8 位置 ,根据题意点 P 的位置分三种情况 :分别在 AB 上、 BC 边上、 EC 边上 . 例 3： 如图 1 ，在直角梯形 ABCD中， B=90， DC AB，动点 P从 B 点出发，沿梯形的边由 B C D A 运动，设点 P 运动的路程为 x , ABP 的面积为 y , 如果关于 x 的函数 y 的图象如图 2 所示 ，那么
17、ABC 的面积为 （ ） A 32 B 18 C 16 D 10 例 4： 直线 3 64yx 与坐标轴分别交于 AB、 两点，动点段PQ、 同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运动停止点 Q 沿线OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 O B A 运动（ 1）直接写出 AB、 两点的坐标； （ 2）设点 Q 的运动时间为 t 秒， OPQ 的面积为 S ，求出 S 与 t 之间的函数关系式； （ 3）当 485S 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O P Q、 、 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标 点评：本题关键是区分点 P 的位置：点 P 在 OB 上，点
18、 P 在 BA 上。 例 5： 已知：等边三角形 ABC 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 MN 在 ABC 的边 AB 上沿 AB 方向以 1 厘米 /秒的速度向 B 点运动（运动开始时，点 M 与点 A 重合，点 N到达点 B 时运动终止），过点 MN、 分别作 AB 边的垂线，与 ABC 的其它边交于 PQ、 两点，线段 MN 运动的时间为 t 秒 （ 1）线段 MN 在运动的过程中， t 为何值时，四边形 MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积； 运（ 2）线段 MN 在运动的过程中，四边形 MNQP 的面积为 S ，x A O Q P B y C P Q B A M N 9
19、动的时间为 t 求四边形 MNQP 的面积 S 随运动时间 t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围 解： （ 1）过点 C 作 CD AB ，垂足为 D 则 2AD ， 当 MN 运动到被 CD 垂直平分时，四边形 MNQP 是矩形，即 32AM 时， 四边形 MNQP 是矩形， 32t 秒时，四边形 MNQP 是矩形 3ta n 6 0 32P M A M =， 3 32M NQ PS四 边 形 （ 2） 1 当 01t时， 1 ()2M NQ PS P M Q N M N四 边 形 33 2t2 当 12t 时 ， 1 ()2M NQ PS P M Q N M N四 边 形 3
20、323 当 23t 时， 1 ()2M NQ PS P M Q N M N四 边 形 7332t 点评：此题关键也是对 P、 Q 两点的不同位置进行分类。 例 6： 如图（ 15），在梯形 ABCD 中， 9 0 6D C A B A A D ， ，厘米， 4DC 厘米，BC 的坡度 34i ， 动点 P 从 A 出发以 2 厘米 /秒的速度沿 AB 方向向点 B 运动，动点 Q 从点 B 出发以 3 厘米 /秒的速度沿B C D方向向点 D 运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止设动点运动的时间为 t 秒 （ 1）求边 BC 的长； （ 2）当 t 为何值时，
21、 PC 与 BQ 相互平分； 图（ 3） Cc Dc Ac Bc Qc Pc Ec C P Q B A M N C P Q B A M N 10 （ 3）连结 PQ， 设 PBQ 的面积为 y， 探求 y 与 t 的函数关系式，求 t 为何值时， y 有最大值？最大值是多少？ 6. 解：（ 1）作 CE AB 于点 E ，如图（ 3）所示，则四边形 AECD 为矩形 46A E C D C E D A ， 又 334 4CEi EB ， 8 12EB AB ， 2 分 在 Rt CEB 中，由勾股定理得： 22 10B C C E E B （ 2）假设 PC 与 BQ 相互平分由 DC AB
22、， 则 PBCQ 是平行四边形（此时 Q 在 CD 上） 即 3 1 0 1 2 2C Q B P t t ， 解得 225t ， 即 225t 秒时， PC 与 BQ 相互平分 （ 3）当 Q 在 BC 上，即 100 3t 时，作 QF AB 于 F ，则 CE QF QF BQCE BC， 即 396 1 0 5Q F t tQF 1 1 9(1 2 2 )2 2 5PBQ tS P B Q F t = 29 81( 3)55t 当 3t 秒时， PBQS 有最大值为 2815厘 米 当 Q 在 CD 上，即 10 1433t 时， 11 (1 2 2 ) 622PBQS P B C E
23、 t =36 6t 易知 S 随 t 的增大而减小故当 103t 秒时， PBQS 有最大值为 2103 6 6 1 63 厘 米 29 5 4 1 05 5 381 165 1 0 1 46 3 633t t tytt ， 0 ， 综上，当 3t 时， PBQS 有最大值为 2815厘 米 11 二、利用函数与方程的思想和方法将所解决图形的性质（或所求图形面积）直接转化为函数或方程。 例 7： 如图，已知 ABC 中， 10AB AC厘米， 8BC 厘米，点 D 为AB 的中点 （ 1）如果点 P在线段 BC上以 3厘米 /秒的速度由 B点向 C点运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由 C
24、点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， BPD 与 CQP 是否全等，请说明 理由； 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度为多少时，能够使 BPD 与 CQP 全等？ （ 2）若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 ABC 的哪条边上相遇？ 解：（ 1） 1t 秒， 3 1 3BP C Q 厘米， 10AB 厘米，点 D 为 AB 的中点， 5BD 厘米 又 8P C B C B P B C ，厘米， 8
25、3 5PC 厘米， PC BD 又 AB AC ， BC ， BPD CQP PQvv ， BP CQ ， 又 BPD CQP ， BC ，则 45B P P C C Q B D ， ， 点 P ，点 Q 运动的时间 433BPt 秒 ， 5 154 43Q CQv t 厘米 /秒 A Q C D B P 12 （ 2）设经过 x 秒后点 P 与点 Q 第一次相遇，由题意，得 15 3 2 104 xx ，解得 803x 秒 点 P 共运动了 80 3 803 厘米 80 2 28 24 ，点 P 、 点 Q 在 AB 边上相遇， 经过 803 秒点 P 与 点 Q 第一次在边 AB 上相遇
26、例 8： 如图，在梯形 ABCD 中， 3 5 4 2 45AD BC AD D C AB B ， ， ， ， 动点 M 从B 点出发沿线段 BC 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 C 运动；动点 N 同时从 C 点出发沿线段 CD 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 D 运动设运动的时间为 t 秒 （ 1）求 BC 的长 （ 2）当 MN AB 时，求 t 的值 （ 3）试探究： t 为何值时， MNC 为等腰三角形 解：（ 1）如图，过 A 、 D 分别作 AK BC 于 K ， DH BC 于 H ，则四边形 ADHK 是矩形 3KH AD 在 Rt ABK 中， 2s in 4 5
27、4 2 42A K A B 2c o s 4 5 4 2 42B K A B 在 ， Rt CDH 中，由勾股定理得， 225 4 3HC 4 3 3 1 0B C B K K H H C （ 2）如图，过 D 作 DG AB 交 BC 于 G 点，则四边形 ADGB 是平行四边形 （图） A D C B K H （图） A D C B G M N 13 MN AB MN DG 3BG AD 10 3 7GC 由题意知，当 M 、 N 运动到 t 秒时， 1 0 2C N t C M t ， DG MN NMC DGC 又 CC M NC GDC N CMCD CG 即 10 257tt 解得
28、， 5017t （ 3）分三种情况讨论：当 NC MC 时，如图，即 10 2tt 103t 当 MN NC 时，如图，过 N 作 NE MC 于 E 解法一：由等腰三角形三线合一性质得 11 1 0 2 522E C M C t t 在 Rt CEN 中， 5cos EC tc N C t又在 Rt DHC 中， 3cos 5CHc CD 535tt 解得258t 90C C D H C N E C ， NEC DHC NC EDC HC 即 553tt 258t 当 MN MC 时，如图，过 M 作 MF CN 于 F 点 . 1122FC NC t 解法一：（方法同中解法一） 1 32c
29、 o s 1 0 2 5tFCC M C t 解得 6017t 解法二： A D C B M N （图） （图） A D C B M N H E （图） A D C B H N M F 14 A B O C D P Q 90C C M F C D H C ， M FC DHC FC MCHC DC 即 1 10 2235t t 6017t 综上所述，当 103t 、 258t 或 6017t 时， MNC 为等腰三角形 例 9： 如图，在直角梯形 ABCD 中， AD BC， ABC 90， AB 12cm， AD 8cm， BC 22cm， AB 为 O 的直径，动点 P 从点 A 开始沿
30、AD 边向点 D以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动， P、 Q 分别从点 A、 C 同时出发，当其中一点到达端 点时，另一个动点也随之停止运动设运动时间为 t(s) (1)当 t 为何值时，四边形 PQCD为平行四边形？ (2)当 t 为何值时， PQ 与 O 相切？ 解： (1)直角梯形 ABCD， AD BC PD QC 当 PD QC 时，四边形 PQCD 为平行四边形 由题意可知： 2AP t CQ t， 82tt ， 38t ， 83t 当 83ts 时，四边形 PQCD 为平行四边形 （ 2）解：设 PQ 与 O 相
31、切于点 H， 过点 P 作 PE BC ， 垂足为 E 直角梯形 ABCD AD BC， PE AB由题意可知： 2A P B E t C Q t ， 2 2 2B Q B C C Q t 2 2 2 2 2 3E Q B Q B E t t t O A P D B Q C O A P D B Q C H E 15 AB 为 O 的直径， 90A B C D A B AD BC 、 为 O 的切线 A P P H H Q B Q ， 2 2 2 2 2P Q P H H Q A P B Q t t t 在 Rt PEQ 中， 2 2 2PE EQ PQ 2 2 21 2 ( 2 2 3 ) (
32、 2 2 )tt 即： 28 88 144 0tt 2 11 18 0tt ， ( 2)( 9) 0tt 1229tt ， 7 分 因为 P 在 AD 边运动的时间为 8 811AD秒 ， 而 98t 9t （舍去） 当 2t 秒时， PQ 与 O 相切 例 10. 如图，在矩形 ABCD 中， BC=20cm， P， Q， M， N分别从 A， B， C， D 出发沿 AD， BC， CB， DA 方向在矩形 的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个 端点 时 ， 运 动 即 停 止 已 知 在 相 同 时 间 内 ， 若BQ=xcm( 0x )，则 AP=2xcm， CM=3xc
33、m， DN=x2cm （ 1）当 x 为何值时，以 PQ， MN 为两边 ,以矩形的边（ AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （ 2）当 x 为何值时，以 P， Q， M， N 为顶点的四边形是平行四边形； （ 3）以 P， Q， M， N 为顶点的四边形能否为等腰梯形 ?如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由 解： （ 1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ， MN 为两边，以矩形的边（ AD 或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形 当点 P 与点 N 重合时， A B D C P Q M N （第 25题） 16 2 122 2 0 2 1
34、1 2 1 1x x x x 由 ， 得 ，（舍去）因为 BQ+CM= 3 4 ( 2 1 1) 2 0xx ，此时点 Q与点 M 不重合所以 21 1x符合题意 当点 Q 与点 M 重合时， 3 2 0, 5x x x 由得此时 2 25 20DN x ，不符合题意故点 Q 与点 M 不能重合 所以所求 x 的值为 21 1 （ 2）由（ 1）知，点 Q 只能在点 M 的左侧， 当点 P 在点 N 的左侧时，由 220 ( 3 ) 20 ( 2 )x x x x ，解得 120( ) 2xx舍 去 ， 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形 当点 P 在点 N 的右侧时，由 220 (
35、 3 ) ( 2 ) 20x x x x ， 解得 121 0 ( ) 4xx 舍 去 ， 当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形所以当 24xx或 时， 以 P， Q， M， N 为顶点的四边形是平行四边形 （ 3）过点 Q， M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点 E， F由于 2xx，所以点 E 一定在点 P 的左侧 若以 P， Q， M， N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点 F 一定在点 N 的右侧，且 PE=NF， 即 223x x x x 解得 120( ) 4xx舍 去 ， 由于当 x=4 时， 以 P， Q， M， N 为顶点的四边形是平行四边形，所以 ,以 P， Q，
36、 M， N为顶点的四边 形不能为等腰梯形 第一是以静化动，把问的某某秒后的那个时间想想成一个点，然后再去解，第二是对称性，如果是二次函数的题，一定要注意对称性。第三是关系法：你可以就按照图来，就算是图画的在不对，只要你把该要的条件列成一些关系，列出一些方程来。中等的17 动点题也就没问题了。但是在难一点的动点题就要你的能力了，比如让你找等腰三角形的题，最好带着圆规，这样的题你要从三个顶点考虑，每一条边都要想好，然后再求出来看看在不在某个范围内 【典型例题】 例 1在四边形 中，顺次连接四边中点 ，构成一个新的四边形，请你对四边形 填加一个条件，使四边形 成为一个菱形，这个条件是 。 解： 或四
37、边形 是等腰梯形（符合要求的其它答案也可以） 例 2将两块全等的含 30角的三角尺如图 1 摆放在一起，设较短直角边为 1。 （ 1）四边形 ABCD 是平行四边形吗？说出你的结论和理由： _。 （ 2）如图 2，将 Rt BCD 沿射线 BD 方向平移到 Rt B1C1D1的位置，四边形 ABC1D1是平行四边形吗？说出你的结论和理由： _。 18 （ 3）在 Rt BCD 沿射线 BD 方向平移的过程中，当点 B 的移动距离为 _时，四边形 ABC1D1为矩形，其理由是 _；当点 B 的移动距离为 _时，四边形 ABC1D1为菱形，其理由是 _。（图 3、图 4 用于探究） 解： （ 1）
38、是，此时 AD BC，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （ 2）是，在平移过程中，始终保持 AB C1D1，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 （ 3） ，此时 ABC1=90，有一个角是直角的平行四边形是矩形。 ，此时点 D 与点 B1重合， AC1 BD1，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 例 3如图所示，在平面直角坐标中，四边形 OABC 是等腰梯形， BC OA， OA=7， AB=4， COA=60，点 P 为 x 轴上的 个动点，点 P 不与点 O、点 A 重合。连结 CP，过点 P作 PD 交 AB 于点 D。 （ 1）求点 B 的坐标； （ 2）当点 P 运动什
39、么位置时， OCP 为等腰三角形，求这时点 P的坐标； （ 3）当点 P 运动什么位置时，使得 CPD= OAB，且 = ，求这时点 P 的坐标。 解析： （ 1）过 C作 CH OA于 H， BE OA 于 E 19 则 OCH ABE，四边形 CHEB 为矩形 OH=AE， CH=BE OC=AB=4， COA=60 CH= ， OH=2 CB=HE=3 OE=OH+HE=5 BE=CH= B（ 5， ） （ 2） COA=60， OCP 为等腰三角形 OCP 是等边三角形 OP=OC=4 P（ 4， 0） 即 P 运动到（ 4， 0）时， OCP为等腰三角形 （ 3） CPD= OAB=
40、 COP=60 OPC+ DPA=120 又 PDA+ DPA=120 OPC= PDA OCP= A=60 COP PAD 20 ， AB=4 BD= AD= 即 得 OP=1 或 6 P 点坐标为（ 1， 0）或（ 6， 0） 例 4已知：如图，四边形 ABCD是矩形（ AD AB），点 E 在 BC 上，且 AE =AD， DFAE，垂足为 F。 请探求 DF与 AB有何数量关系？写出你所得到的结论并给予证明。 解： 经探求，结论是： DF = AB 证明如下： 四边形 ABCD 是矩形， B = AD BC， 21 DAF = AEB。 DF AE AFD = AE = AD ABE
41、DFA AB = DF 例 5我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形。 （ 1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称； （ 2）如图，在 中，点 分别在 上，设 相交于点 ，若 ，。 请你写出图中一个与 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形； （ 3）在 中，如果 是不等于 的锐角，点 分别在 上，且。探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证明你的结论。 解： （ 1）回答正确的给 1 分（如平行四边形、等腰梯形等）。 （ 2） 答： 与 相等的角是 （或 ）。 四边形 是等对边四边形。
42、 22 （ 3） 答： 此时存在等对边四边形，是四边形 。 证法一： 如图 1，作 于 点，作 交 延长线于 点。 因为 ， 为公共边，所以 。 所以 。因 为 ， ， 所以 。 可证 。 所以 。 所以四边形 是等边四边形。 证法二： 如图 2，以 为顶点作 ， 交 于 点。 因为 ， 为公共边， 所以 。 所以 ， 。 23 所以 。 因为 ， ， 所以 。 所以 。 所以 。 所以 。 所以四边形 是等边四边形。 说明： 当 时， 仍成立。只有此证法，只给 1 分。 例 6如图 1 所示，在 中， ， ， 为 的中点，动点 在 边上自由移动，动点 在 边上自由移动。 （ 1）点 的移动过
43、程中， 是否能成为 的等腰三角形？若能，请指出 为等腰三角形时动点 的 位置。若不能，请说明理由。 （ 2）当 时，设 ， ，求 与 之间的函数解析式，写出 的取值范围。 （ 3）在满足（ 2）中的条件时，若以 为圆心的圆与 相切（如图 2），试探究直线 与圆 O 的位置关系，并证明你的结论。 解： 如图， （ 1）点 移动的过程中， 能成为 的等腰三角形。 24 此时点 的位置分别是： 是 的中点， 与 重合。 。 与 重合， 是 的中点。 （ 2）在 和 中， ， ， 。 又 ， 。 。 ， ， ， 。 （ 3） 与圆 O 相切。 ， 。 。 即 。又 ， 。 。 点 到 和 的 距离相等
44、。 与圆 O 相切， 点 到 的距离等于圆 O 的半径。 与圆 O 相切。 例 7如图，在矩形 中， ， 。直角尺的直角顶点 在 上滑动时（点与 不重合），一直角边经过点 ，另一直角边 交于点 。我们知道，结论“ ”成立。 （ 1）当 时，求 的长； （ 2）是否存在这样的点 ，使 的周长等于 周长的 倍？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。 25 解： （ 1）在 中，由 ，得 ，由 知 ， 。 （ 2）假设存在满足条件的点 ，设 ，则 由 知 ， ，解得 ， 此时 ， 符合题意。 例 8观察算式： 1=12； 1+3=4=22； 1+3+5=9=32； 1+3+5+7=16=42； 1+3+5+7+9=25=52 用代数式表示这个规律（ n 为正整数）： 1+3+5+7+9+（ 2n 1） = 。 分析与解答： 由以上各等式知，等式左端是从 1 开始的连续若干个奇数之和，右端是左端奇数个数的平方，由此易得 1+3+5+7+ +（ 2n 1） =n2，填 n2。
