1、 5-5质 数 合 数 分 解 质 因 数5-5质 数 合 数 分 解 质 因 数教学目标教学目标本 讲 中 的 知 识 点 在 小 学 课 本 内 已 经 有 所 涉 及 ， 并 且 多 以 判 断 题 考察 。 质 数 合 数 的 出 现 是 对 自 然 数 的 另 一 种 分 类 方 式 ， 但 是 相 对 于 奇 数 偶数 的 划 分 要 复 杂 许 多 。 质 数 本 身 的 无 规 律 性 也 是 一 个 研 究 质 数 结 构 的 难点 。 在 奥 数 数 论 知 识 体 系 中 我 们 要 帮 助 孩 子 树 立 对 质 数 和 合 数 的 基 本 认识 ， 在 这 个 基 础
2、 之 上 能 够 会 与 之 前 的 一 些 知 识 点 结 合 运 用 。分 解 质 因 数 法 是 一 个 数 论 重 点 方 法 ， 本 讲 另 一 个 授 课 重 点 在 于 让 孩子 对 这 个 方 法 能 够 熟 练 并 且 灵 活 运 用 。 知识点拨知识点拨1 质 数 与 合 数一 个 数 除 了1和 它 本 身 ， 不 再 有 别 的 约 数 ， 这 个 数 叫 做 质 数(也 叫 做素 数).一 个 数 除 了1和 它 本 身 ， 还 有 别 的 约 数 ， 这 个 数 叫 做 合 数.要 特 别 记 住 ：0和1不 是 质 数 ， 也 不 是 合 数.常 用 的100以
3、内 的 质 数 ：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97， 共 计25个 ； 除 了2其 余 的 质 数 都 是 奇 数 ； 除 了2和5， 其 余 的质 数 个 位 数 字 只 能 是1，3，7或9.考 点 ： 值 得 注 意 的 是 很 多 题 都 会 以 质 数2的 特 殊 性 为 考 点. 除 了2和5， 其 余 质 数 个 位 数 字 只 能 是1，3，7或9.这 也 是 很 多 题 解题 思 路 ， 需 要 大 家 注 意.2 质 因 数 与 分 解 质 因 数质 因 数 ： 如
4、果 一 个 质 数 是 某 个 数 的 约 数 ， 那 么 就 说 这 个 质 数 是 这 个数 的 质 因 数.互 质 数 ： 公 约 数 只 有1的 两 个 自 然 数 ， 叫 做 互 质 数.分 解 质 因 数 ： 把 一 个 合 数 用 质 因 数 相 乘 的 形 式 表 示 出 来 ， 叫 做 分 解质 因 数.例 如 ：.其 中2、3、5叫 做30的 质 因 数.又 如 ，2、3都 叫 做12的 质因 数 ， 其 中 后 一 个 式 子 叫 做 分 解 质 因 数 的 标 准 式 ， 在 求 一 个 数 约 数 的 个数 和 约 数 的 和 的 时 候 都 要 用 到 这 个 标
5、准 式.分 解 质 因 数 往 往 是 解 数 论 题目 的 突 破 口 ， 因 为 这 样 可 以 帮 助 我 们 分 析 数 字 的 特 征.3 唯 一 分 解 定 理任 何 一 个 大 于1的 自 然 数n都 可 以 写 成 质 数 的 连 乘 积 ， 即 ： 其 中 为质 数 ， 为 自 然 数 ， 并 且 这 种 表 示 是 唯 一 的.该 式 称 为n的 质 因 子 分 解 式.例 如 ： 三 个 连 续 自 然 数 的 乘 积 是210， 求 这 三 个 数.分 析 ： 210=2357， 可 知 这 三 个 数 是5、6和7.4. 部 分 特 殊 数 的 分 解； ； ； ；
6、； ； ； ；.5. 判 断 一 个 数 是 否 为 质 数 的 方 法根 据 定 义 如 果 能 够 找 到 一 个 小 于p的 质 数q(均 为 整 数)， 使 得q能 够整 除p， 那 么p就 不 是 质 数 ， 所 以 我 们 只 要 拿 所 有 小 于p的 质 数 去 除p就可 以 了 ； 但 是 这 样 的 计 算 量 很 大 ， 对 于 不 太 大 的p， 我 们 可 以 先 找 一 个大 于 且 接 近p的 平 方 数 ， 再 列 出 所 有 不 大 于K的 质 数 ， 用 这 些 质 数 去 除p， 如 没 有 能 够 除 尽 的 那 么p就 为 质 数.例 如 ：149很
7、接 近 ， 根 据 整 除 的 性 质149不 能 被2、3、5、7、11整除 ， 所 以149是 质 数.例题精讲例题精讲模 块 一 、 质 数 合 数 的 基 本 概 念 的 应 用【 例 1】 下 面 是 主 试 委 员 会 为 第 六 届 “ 华 杯 赛 ” 写 的 一 首 诗 ：美 少 年 华 朋 会 友 ， 幼 长 相 亲 同 切 磋 ；杯 赛 联 谊 欢 声 响 ， 念 一 笑 慰 来 者 多 ；九 天 九 霄 志 凌 云 ， 九 七 共 庆 手 相 握 ；聚 起 华 夏 中 兴 力 ， 同 唱 移 山 壮 丽 歌 请 你 将 诗 中 56个 字 第 1行 左 边 第 一 字 起
8、 逐 行 逐 字 编 为 1 56号 ， 再 将 号 码 中 的 质 数 由 小 到 大 找出 来 ， 将 它 们 对 应 的 字 依 次 排 成 一 行 ， 组 成 一 句 话 ， 请 写 出 这 句 话 1【 解 析 】 按 要 求 编 号 排 序 ， 并 画 出 质 数 号 码 ：美 少 年 华 朋 会 友 ， 幼 长 相 亲 同 切 磋 ；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯 赛 联 谊 欢 声 响 ， 念 一 笑 慰 来 者 多 ；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九 天 九 霄 志 凌 云 ， 九 七 共
9、 庆 手 相 握 ；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42聚 起 华 夏 中 兴 力 ， 同 唱 移 山 壮 丽 歌 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将 质 数 对 应 的 汉 字 依 次 写 出 就 是 ： 少 年 朋 友 亲 切 联 欢 ； 一 九九 七 相 聚 中 山 【 巩固 】 (2008年 南 京 市 青 少 年 “ 科 学 小 博 士 ” 思 维 训 练 )炎 黄 骄 子 菲 尔 兹 奖 被 誉 为 “ 数 学 界 的 诺 贝 尔 奖 ” ， 只 奖 励 40岁 以 下的 数 学 家 华
10、 人 数 学 家 丘 成 桐 、 陶 哲 轩 分 别 于 1982年 、2006年 荣 获 此 奖 我 们 知 道 正 整 数 中 有 无 穷 多 个 质 数 (素数 )， 陶 哲 轩 等 证 明 了 这 样 一 个 关 于 质 数 分 布 的 奇 妙 定理 ： 对 任 何 正 整 数 k， 存 在 无 穷 多 组 含 有 k个 等 间 隔 质 数(素 数 )的 数 组 例 如 ， 时 ， 3， 5， 7是 间 隔 为 2的 3个 质数 ； 5， 11， 17是 间 隔 为 6的 3个 质 数 ： 而 ， ， 是 间 隔 为 12的 3个 质 数 (由 小 到 大 排 列 ， 只 写 一组 3
11、个 质 数 即 可 )2【 解析 】 最 小 的 质 数 从2开 始 ， 现 要 求 每 两 个 质 数 间 隔12， 所 以2不能 在 所 要 求 的 数 组 中 而 且 由 于 个 位 是5的 质 数 只 有 一 个5， 所 以 个 位 是3的 质 数 不 能 作 为 第 一 个 质 数 和 第 二 个 质数 ， 可 参 照 下 表 ：【 巩固 】 (2003年 “ 祖 冲 之 杯 ” 邀 请 赛 )大 约 1500年 前 ， 我 国 伟 大 的数 学 家 祖 冲 之 ， 计 算 出 的 值 在 3.1415926和 3.1415927之间 ， 成 为 世 界 上 第 一 个 把 的 值
12、精 确 到 7位 小 数 的 人 现 代人 利 用 计 算 机 已 经 将 的 值 计 算 到 了 小 数 点 后 515亿 位 以上 这 些 数 排 列 既 无 序 又 无 规 律 但 是 细 心 的 同 学 发 现 ：由 左 起 的 第 一 位 3是 质 数 ， 31也 是 质 数 ， 但 314不 是 质 数 ，那 么 在 3141， 31415， 314159， 3141592， 31415926，31415927中 ， 哪 些 是 质 数 ？ 3【 解析 】 注 意 到3141，31415，3141592，31415926，31415927依 次 能 被3，5，2，2，31整 除 ，
13、 所 以 ， 质 数 是314159 【 巩固 】 (2004年 全 国 小 学 奥 林 匹 克 )自 然 数 是 一 个 两 位 数 ， 它 是 一个 质 数 ， 而 且 的 个 位 数 字 与 十 位 数 字 都 是 质 数 ， 这 样 的 自然 数 有 多 少 个 ？4【 解 析 】 这 样 的 自 然 数 有4个 ：23，37，53，73【 例 2】 两 个 质 数 之 和 为 ， 求 这 两 个 质 数 的 乘 积 是 多 少 .1 【 解 因 为 和 为 奇 数 ， 所 以 这 两 个 数 必 为 一 奇 一 偶 ， 所 以 其 中 一析 】 个 是 ， 另 一 个 是 ， 乘 积
14、 为 .我 们 要 善 于 抓 住 此 类 题 的 突 破口 。【 巩 固 】 如 果 a， b均 为 质 数 ， 且 ， 则 _.2【 解析 】 根 据 题 意a,b中 必 然 有 一 个 偶 质 数2， ， 当 时 ， ， 当 时 不符 合 题 意 ， 所 以.【 巩 固 】 A， B， C为 3个 小 于 20的 质 数 ， ， 求 这 三 个 质 数 .3 【 解析 】 因 为 三 个 质 数 之 和 为 偶 数 ， 所 以 这 三 个 质 数 必 为 两 奇 一偶 ， 其 中 偶 数 只 能 是 ， 另 两 个 奇 质 数 之 和 为 ， 又 因 为 这 三个 数 都 要 小 于 ，
15、 所 以 只 能 为 和 ， 所 以 这 三 个 质 数 分 别是 ， ， .【 巩固 】 已 知 3个 不 同 质 数 的 和 是 最 小 的 合 数 的 完 全 平 方 ， 求 这 3个 质 数 的 乘 积 是 多 少 ？4【 解析 】 最 小 的 合 数 是4， 其 平 方 为16 我 们 知 道 奇 数 个 奇 数 的 和是 奇 数 ， 所 以 这3个 质 数 中 必 然 有2， 那 么 其 余2个 的 和 是14， 只 能 一 个 是3一 个 是11， 因 此 这3个 质 数 的 乘 积 是 【 巩固 】 小 晶 最 近 迁 居 了 ， 小 晶 惊 奇 地 发 现 他 们 新 居 的
16、 门 牌 号 码 是四 位 数 同 时 ， 她 感 到 这 个 号 码 很 容 易 记 住 ， 因 为 它 的 形式 为 ， 其 中 ， 而 且 和 都 是 质 数 (和 是 两 个 数 字 ) 具 有 这 种形 式 的 数 共 有 多 少 个 ？【 巩固 】 若 两 位 数 、 均 为 质 数 ， 则 、 均 为 奇 数 且 不 为5， 故 有1331，3113，1771，7117，7337，3773，9779，7997共8个 数 【 例3】 (“ 祖 冲 之 杯 ” 小 学 数 学 邀 请 赛 )九 九 重 阳 节 ， 一 批 老 人 决定 分 乘 若 干 辆 至 多 可 乘 32人 的
17、大 巴 前 去 参 观 兵 马 俑 如 果打 算 每 辆 车 坐 22个 人 ， 就 会 有 1个 人 没 有 座 位 ； 如 果 少 开 一辆 车 ， 那 么 ， 这 批 老 人 刚 好 平 均 分 乘 余 下 的 大 巴 那 么 有多 少 个 老 人 ？ 原 有 多 少 辆 大 巴 ？1【 解析 】 仍 按 每 车 坐22人 计 算 ， 少 开 一 辆 车 将 有23人 无 座 位 ， 这 些人 刚 好 平 均 分 乘 余 下 的 车 ，23是 质 数 ， 所 以 余 下23辆 车 ，原 有24辆 车 ， 原 有 老 人 (个) 【 巩 (俄 罗 斯 数 学 奥 林 匹 克 )万 尼 亚
18、想 了 一 个 三 位 质 数 ， 各 位 数固 】 字 都 不 相 同 如 果 个 位 数 字 等 于 前 两 个 数 字 的 和 ， 那 么 这个 数 是 几 ？2【 解析 】 因 为 是 质 数 所 以 个 位 数 不 可 能 为 偶 数0，2，4，6，8也 不可 能 是 奇 数5 如 果 末 位 数 字 是3或9， 那 么 数 字 和 就 将 是3或9的 两 倍 ， 因 而 能 被 它 们 整 除 ， 这 就 不 是 质 数 了 所 以 个位 数 只 能 是7 这 个 三 位 质 数 可 以 是167，257，347，527或617中 间 的 任 一 个 【 巩固 】 (第 五 届 “
19、 华 杯 赛 ” 口 试 第 15题 )图 中 圆 圈 内 依 次 写 出 了 前25个 质 数 ； 甲 顺 次 计 算 相 邻 二 质 数 之 和 填 在 上 行 方 格 中 ；乙 顺 次 计 算 相 邻 二 质 数 之 积 填 在 下 行 方 格 中 Ima g e问 ： 甲 填 的 数 中 有 多 少 个 与 乙 填 的 数 相 同 ?为 什 么 ?3【 解 析 】 质 数 中 只 有 一 个 偶 数2， 其 余 的 质 数 均 为 奇 数 所 以 甲 填 的“和 数”中 除 第 一 个 是 奇 数5外 ， 其 余 的 均 为 不 小 于8的 偶数 乙 填 的“积 数”中 除 第 一 个
20、 是 偶 数6外 ， 其 余 所 填 的 全 是 不 小于15的 奇 数 所 以 甲 填 的 数 与 乙 填 的 数 都 不 相 同 【 巩固 】 (全 国 小 学 数 学 奥 林 匹 克 )从 1 9中 选 出 8个 数 排 成 一 个 圆圈 ， 使 得 相 邻 的 两 数 之 和 都 是 质 数 排 好 后 可 以 从 任 意 两个 数 字 之 间 切 开 ， 按 顺 时 针 方 向 读 这 些 八 位 数 ， 其 中 可 以读 到 的 最 大 的 数 是 多 少 ？4【 解析 】 由 于 质 数 除 了2以 外 都 是 奇 数 ， 所 以 数 字 在 顺 时 针 排 列 时 应是 奇 偶
21、 相 间 排 列 切 开 后 的 数 仍 然 具 有“相 邻 两 数 之 和 是 质数”， 并 且 最 高 位 与 最 低 位 之 和 也 是 质 数 ， 考 虑 到“最大”的 限 制 条 件 ， 最 高 位 选9， 第 二 位 选8， 第 三 位 最 大 可以 选7， 但7与8之 和 不 是 质 数 ， 再 改 选5，8与5之 和 是 质数 ， 符 合 要 求 第 四 位 可 选 剩 余 的 最 大 数 字6， 如 此 类推十 位 可 选3， 个 位 选2 所 以 ， 可 以 读 到 的 最 大 数 是98567432 数 字 排 列 如 下 图 Image【 巩固 】 (保 良 局 亚 洲
22、 区 城 市 小 学 数 学 邀 请 赛 )用 L表 示 所 有 被 3除 余1的 全 体 正 整 数 如 果 L中 的 数 (1不 算 )除 1及 它 本 身 以 外 ，不 能 被 L的 任 何 数 整 除 ， 称 此 数 为 “ L 质 数 ” 问 ： 第 8个 “ L 质 数 ” 是 什 么 ？5【 解析 】 “L数”为1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，“L质 数”应 为 上 列 数 中 去 掉1，16，28， 即 为4，7，10，13，19，22，25，31，34， 所以 ， 第8个“L质 数”是31 【 例4】 9个 连 续 的 自 然 数 ， 每 个
23、 数 都 大 于 80， 那 么 其 中 最 多 有 多少 个 质 数 ？ 请 列 举 和 最 小 的 一 组1【 解析 】 我 们 知 道 任 意 连 续9个 自 然 数 中 最 多 有4个 质 数 ， 本 题 考 察对100以 外 的 质 数 的 熟 练 情 况 ， 有101，103，107，109是4个 质 数 。 【 巩固 】 (我 爱 数 学 少 年 数 学 夏 令 营 )用 0， 1， 2， ， 9这 10个 数 字组 成 6个 质 数 ， 每 个 数 字 至 多 用 1次 ， 每 个 质 数 都 不 大 于500， 那 么 共 有 多 少 种 不 同 的 组 成 6个 质 数 的
24、 方 法 请 将 所有 方 法 都 列 出 来 2【 解析 】 除 了2以 外 ， 质 数 都 是 奇 数 ， 因 为09中 只 有5个 奇 数 ， 所以 如 果 想 组 成6个 质 数 ， 则 其 中 一 定 有2 又 尾 数 为5的 数中 只 有5是 质 数 ， 所 以5只 能 单 独 作 为6个 质 数 中 的 一 个数 另4个 质 数 分 别 以1，3，7，9为 个 位 数 ， 从 而 列 举 如下 ：2，3，5，7，41，89，2，3，5，7，61，89，2，3，5，7，89，401，2，3，5，7，89，461，2，3，5，7，61，409，2，3，5，47，61，89，2，3，5
25、，41，67，89，2，3，5，67，89，401，2，5，7，43，61，89，2，5，7，61，83，409 即 共 有10种 不 同 的 方 法 【 巩固 】 从 小 到 大 写 出 5个 质 数 ， 使 后 面 数 都 比 前 面 的 数 大 12.这样 的 数 有 几 组 ？3【 解析 】 考 虑 到 质 数 中 除 了2以 外 其 余 都 是 奇 数 ， 因 此 这5个 质 数 中不 可 能 有2； 又 质 数 中 除 了2和5， 其 余 质 数 的 个 位 数 字 只能 是1、3、7、9.若 这5个 质 数 中 最 小 的 数 其 个 位 数 字 为1， 则 比 它 大24的 数
26、 个 位 即 为5， 不 可 能 是 质 数 ； 若 最 小 的数 其 个 位 数 字 为3， 则 比 它 大12的 数 个 位 即 为5， 也 不 可 能为 质 数 ； 由 此 可 知 最 小 的 数 其 个 位 数 字 也 不 可 能 是7和9，因 此 最 小 的 数 只 能 是5， 这5个 数 依 次 是5，17，29，41，53.这 样 的 数 只 有 一 组.【 例5】 用 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9这 9个 数 字 组 成 质 数 ， 如 果每 个 数 字 都 要 用 到 并 且 只 能 用 一 次 ， 那 么 这 9个 数 字 最 多 能组 成 多 少 个
27、 质 数 .1【 解析 】 要 使 质 数 个 数 最 多 ， 我 们 尽 量 组 成 一 位 的 质 数 ， 有2、3、5、7均 为 一 位 质 数 ， 这 样 还 剩 下1、4、6、8、9这5个 不是 质 数 的 数 字 未 用 有1、4、8、9可 以 组 成 质 数41、89， 而6可 以 与7组 合 成 质 数67 所 以 这9个 数 字 最 多 可 以组 成6个 质 数 。 【 巩固 】 有 三 张 卡 片 ， 它 们 上 面 各 写 着 数 字 1， 2， 3， 从 中 抽 出 一张 、 二 张 、 三 张 ， 按 任 意 次 序 排 列 出 来 ， 可 以 得 到 不 同 的一
28、位 数 、 二 位 数 、 三 位 数 ， 请 你 将 其 中 的 质 数 都 写 出 来 .2【 解析 】 抽 一 张 卡 片 ， 可 写 出 一 位 数1，2，3； 抽 两 张 卡 片 ， 可 写出 两 位 数12，13，21，23，31，32； 抽 三 张 卡 片 ， 可 写出 三 位 数123，132，213，231，312，321， 其 中 三 位数 的 数 字 和 均 为6， 都 能 被3整 除 ， 所 以 都 是 合 数.这 些 数中 ， 是 质 数 的 有 ：2，3，13，23，31.【 巩固 】 某 质 数 加 6或 减 6得 到 的 数 仍 是 质 数 ， 在 50以 内
29、你 能 找 出几 个 这 样 的 质 数 ？ 把 它 们 写 出 来 .3【 解析 】 有 六 个 这 样 的 数 ， 分 别 是11，13，17，23，37，47. 【 例6】 7个 连 续 质 数 从 大 到 小 排 列 是 a、 b、 c、 d、 e、 f、 g已 知它 们 的 和 是 偶 数 ， 那 么 d是 多 少 ？1【 解 因 为7个 质 数 的 和 是 偶 数 ， 所 以 这7个 质 数 不 可 能 都 是 奇析 】 数.我 们 知 道 是 偶 数 的 质 数 只 有2， 因 此 这7个 质 数 中 必 有一 个 是2.又 因 为2是 最 小 的 质 数 ， 并 且 这7个 连
30、 续 质 数 是 从大 到 小 排 列 的 ， 所 以.其 他6个 数 从 大 到 小 依 次 是17、13、11、7、5、3.这 样.【 巩固 】 从 以 内 的 质 数 中 选 出 个 ， 然 后 把 这 个 数 分 别 写 在 正 方 体 木块 的 个 面 上 ， 并 且 使 得 相 对 两 个 面 的 数 的 和 都 相 等 .将 这样 的 三 个 木 块 掷 在 地 上 ， 向 上 的 三 个 面 的 三 个 数 之 和 可 能有 多 少 种 不 同 的 值 ？【 解析 】 小 于 的 质 数 有 ， ， ， ， ， ， ， ， 其 中 . 每 个 木 块 掷 在 地 上 后向 上
31、的 数 可 能 是 六 个 数 中 的 任 何 一 个 ， 三 个 数 的 和 最 小 是 ，最 大 是 ， 经 试 验 ， 三 个 数 的 和 可 以 是 从 到 的 所 有 奇 数 ， 所 有可 能 的 不 同 值 共 有 个 。 【 巩固 】 将 八 个 不 同 的 合 数 填 入 下 面 的 括 号 中 ， 如 果 要 求 相 加 的两 个 合 数 互 质 ， 那 么 A最 小 是 几 ？A=（ ） +（ ） =（ ） +（ ） =（ ） +（ ） =（ ） +（ ）【 解析 】 首 先 列 出 前 几 个 合 数4，6，8，9，10，12，14，15，16，18，20，21，22，2
32、4，25，26，27，28， 因 为 相加 的 合 数 互 质 ， 所 以 不 能 同 时 为 偶 数 ， 要 想A尽 量 小 ， 这 两个 数 也 不 能 都 同 时 为 奇 数 ， 因 为 奇 合 数 比 较 少 ， 找 出8个 来必 然 很 大 。 所 以 应 该 是 一 奇 一 偶 ， 经 试 验 得A=4+25=8+21=9+20=14+15=29， 即A的 最 小 值 为29。大 部 分 的 题 考 的 都 是 质 数 ， 此 题 考 合 数 ， 重 在 强 化 合 数 以及 互 质 的 概 念 。【 巩固 】 4只 同 样 的 瓶 子 内 分 别 装 有 一 定 数 量 的 油
33、每 瓶 和 其 他 各瓶 分 别 合 称 一 次 ， 记 录 千 克 数 如 下 ： 8， 9， 10， 11， 12，13 已 知 4只 空 瓶 的 重 量 之 和 以 及 油 的 重 量 之 和 均 为 质数 ， 求 最 重 的 两 瓶 内 有 多 少 油 ？【 解析 】 由 于 每 只 瓶 都 称 了 三 次 ， 因 此 记 录 数 据 之 和 是 瓶 油 (连 瓶 )重量 之 和 的 倍 ， 即 瓶 油 (连 瓶 )共 重 ()(千 克 )而 油 重 之 和 及 瓶 重之 和 均 为 质 数 ， 所 以 它 们 必 为 一 奇 一 偶 ， 由 于 是 唯 一 的 偶 质数 ， 只 有
34、两 种 可 能 ： 油 重 之 和 为 千 克 ， 瓶 重 之 和 为 千克 ， 每 只 瓶 重 千 克 ， 最 重 的 两 瓶 内 的 油 为 (千 克 ) 油 重之 和 为 千 克 ， 瓶 重 之 和 为 千 克 ， 每 只 瓶 重 千 克 ， 最 重 的 两 瓶内 的 油 为 (千 克 )， 这 与 油 重 之 和 千 克 矛 盾 因 此 最 重 的 两 瓶内 共 有 千 克 油 。【 例7】 将 60拆 成 10个 质 数 之 和 ， 要 求 最 大 的 质 数 尽 可 能 小 ， 那么 其 中 最 大 的 质 数 是 多 少1【 解析 】 最 大 的 质 数 必 大 于5， 否 则1
35、0个 质 数 之 和 将 不 大 于50， 又60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2即8个7与2个2的 和 为60，故 其 中 最 大 的 质 数 是7 【 巩固 】 将 50分 拆 成 10个 质 数 的 和 ， 要 求 其 中 最 大 的 质 数 尽 可 能大 ， 则 这 个 最 大 的 质 数 是 多 少 ？2【 解析 】 若 要 求 最 大 的 质 数 尽 可 能 大 ， 则 其 余9个 质 数 应 尽 可 能 小 ，最 佳 的 方 案 是9个2。 但 是 此 时 剩 余 的 数 为32， 不 是 质 数 ，所 以 退 而 求 其 次 ， 另 其 余9个 数 为8个2，1个3，
36、那 么 第10个 数 为31【 巩固 】 将 37拆 成 若 干 个 不 同 的 质 数 之 和 ， 有 多 少 种 不 同 的 拆 法 ？将 每 一 种 拆 法 中 拆 出 的 那 些 质 数 相 乘 ， 得 到 的 乘 积 中 ， 哪个 最 小 ？3【 解 析 】 枚 举 法 ： 有 些 学 生 会 问 ， 老 师 ： 什 么 时 候 用 枚 举 法 ？1.数 不 大 ， 种 类 比 较 少2.没 有 规 律 ， 不 能 用 排 列 组 合 等 方 法3.能 有 方 法 做 的 时 候 建 议 不 采 用 枚 举 的 方 法37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13
37、+19=5+13+197+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17共 有10种 不 同 的 拆 法 ， 其 中3529=435最 小 【 巩固 】 如 果 一 个 数 不 能 表 示 为 三 个 不 同 合 数 的 和 ， 那 么 我 们 称 这样 的 数 为 智 康 数 ， 那 么 最 大 的 智 康 数 是 几 ？4【 解析 】 首 先 我 们 可 以 分 析 出 大 多 数 自 然 数 都 是 智 康 数 ， 所 以 核 心的 思 想 是 找 到 智 康 数 与 其 他 自 然 数 的“分 界 线”。 我 们 知 道最 小 的 三 个 不 同
38、 合 数 是4,6,8， 它 们 的 和 是18,则 比18小的 数 一 定 都 不 是 智 康 数 ， 而 比18大 的 数 中 ， 我 们 可 以 分 为与18的 差 是“奇 数”或 者 是“偶 数”。 如 果 与18的 差 是 偶数 ， 那 么 这 类 自 然 数 一 定 不 是 智 康 数 ， 可 以 写 作4+6+(8+2n),如 果 与18的 差 是 一 个 奇 数 ， 那 么 可 以 写 作4+(6+2n)+(8+1)也 不 是 一 个 智 康 数 ， 所 以 最 大 的 智 康 数 为17。模 块 二 、 分 解 质 因 数【 例 8】 两 个 连 续 奇 数 的 乘 积 是
39、， 这 两 个 奇 数 之 和 是 多 少 ?1 【 解析 】 分 解 质 因 数 ： ()()， 所 以 和 为 .本 讲 不 仅 要 求 学 生 熟 练 掌 握分 解 质 因 数 ， 而 且 要 注 意 一 些 技 巧 ， 例 如 本 题 中 的 。 【 巩 固 】 三 个 连 续 自 然 数 的 乘 积 是 ， 求 这 三 个 数 是 多 少 ？2 【 解 析 】 分 解 质 因 数 ： ， 可 知 这 三 个 数 是 、 和 。【 巩固 】 把 26， 33， 34， 35， 63， 85， 91， 143分 成 若 干 组 ， 要 求每 组 中 任 意 两 个 数 的 最 大 公 约
40、 数 是 1， 那 么 至 少 要 分 几 组 .3【 解析 】 要 保 证 每 组 中 的 任 意2个 数 均 互 质 ， 需 要 每 组 中 的 每 个 数 字都 有 独 有 的 质 因 数 才 能 实 现 。 可 以 对 以 上 每 个 数 字 进 行 分解 质 因 数 ， 容 易 得 出 最 少 分3组.【 巩固 】 把 40， 44， 45， 63， 65， 78， 99， 105这 八 个 数 平 分 成 两组 ， 使 每 组 四 个 数 的 乘 积 相 等 。4 【 解析 】 ， ， ， ， ， ， ， ， 要 使 每 组 四 个 数 的 乘 积 相 等 ， 需 要 每 组含 有
41、 相 同 的 质 因 数 ， 看 质 因 数2， 第 一 组 含 有40， 第 二 组 含有44，78， 再 看 ， 第 一 组 应 有40，99，65， 再 看5第 二 组应 有44，78，45，105， 最 后 看7， 第 一 组 应 有40，99，65，63【 例9】 4个 一 位 数 的 乘 积 是 360， 并 且 其 中 只 有 一 个 是 合 数 ， 那 么在 这 4个 数 字 所 组 成 的 四 位 数 中 ， 最 大 的 一 个 是 多 少 ？1【 解析 】 将360分 解 质 因 数 得 ， 它 是6个 质 因 数 的 乘 积.因 为 题 述 的四 个 数 中 只 有 一
42、个 是 合 数 ， 所 有 该 合 数 必 至 少 为 个 质 因 数的 积 ， 又 只 有3个2相 乘 才 能 是 一 位 数 ， 所 以 这4个 乘 数 分别 为3，3，5，8， 所 组 成 的 最 大 四 位 数 是8533.【 巩固 】 将 1 9九 个 自 然 数 分 成 三 组 ， 每 组 三 个 数 .第 一 组 三 个 数的 乘 积 是 48， 第 二 组 三 个 数 的 乘 积 是 45， 第 三 组 三 个 数 字之 和 最 大 是 多 少 ？2【 解析 】 分 解 质 因 数 ， ， 可 知45只 能 是1，5，9的 乘 积 ， 而48可 能是2，4，6或2，3，8或1，
43、6，8(舍 去)， 则 第 三 组 的 三 个数 可 能 是3，7，8或4，6，7， 其 中 和 最 大 的 是.【 例10】 在 面 前 有 一 个 长 方 体 ， 它 的 正 面 和 上 面 的 面 积 之 和 是209， 如 果 它 的 长 、 宽 、 高 都 是 质 数 ， 那 么 这 个 长 方 体 的体 积 是 多 少 ?1 【 解析 】 如 下 图 ， 设 长 、 宽 、 高 依 次 为a、b、c， 有 正 面 和 上 面 的和 为ac+ab=209ac+ab=a(c+b)=209， 而209=1119当a=11时 ，c+b=19， 当 两 个 质 数 的 和 为 奇 数 ， 则
44、 其 中 必 定 有一 个 数 为 偶 质 数2， 则c+b=2+17;当a=19时 ，c+b=11， 则c+b=2+9，b为9不 是 质 数 ， 所 以 不满 足 题 意 所 以 它 们 的 乘 积 为11217=374【 巩固 】 一 个 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 是 连 续 的 3个 自 然 数 ， 它 的 体 积是 39270立 方 厘 米 ， 那 么 这 个 长 方 体 的 表 面 积 是 多 少 平 方厘 米 ?2【 解析 】 39270=23571117， 为 三 个 连 续 自 然 数 的 乘 积 ， 而343434最 接 近39270，39270的 约 数 中 接
45、近 或 等 于34的 有35、34、33， 有333435=39270 所 以33、34、35为 满 足 题 意 的 长 、 宽 、 高 则 长 方 体 的 表 面 积 为 ：2(长宽+宽高+高长)=2(3334+3435+3533)=6934(平 方 厘 米)方 法 二 ：39270=23571117， 为 三 个 连 续 自 然 数 的 乘积 ， 考 虑 质 因 数17， 如 果17作 为 长 、 宽 或 高 显 然 不 满 足 当17与2结 合 即34作 为 长 方 体 一 条 边 的 长 度 时 有 可 能 成 立 ， 再 考虑 质 因 数7， 与34接 近 的 数3236中 ， 只
46、有35含 有7， 于 是7与5的 乘 积 作 为 长 方 体 的 一 条 边 的 长 度 而39270的 质 因 数 中只 剩 下 了3和1l， 所 以 这 个 长 方 体 的 大 小 为333435 长 方体 的 表 面 积 为2(+)=2(1190+1155+1122)=23467=6934(平 方 厘米) 【 巩固 】 一 个 长 方 体 的 长 、 宽 、 高 都 是 整 数 厘 米 ， 它 的 体 积 是 1998立 方 厘 米 ， 那 么 它 的 长 、 宽 、 高 的 和 的 最 小 可 能 值 是 多 少厘 米 ?3【 解析 】 我 们 知 道 任 意 个 已 确 定 个 数
47、的 数 的 乘 积 一 定 时 ， 它 们 相 互越 接 近 ， 和 越 小 如3个 数 的 积 为18， 则 三 个 数 为2、3、3时 和 最 小 ， 为81998=233337，37是 质 数 ， 不 能再 分 解 ， 所 以2333对 应 的 两 个 数 应 越 接 近 越 好 有2333=69时 ， 即1998=6937时 ， 这 三 个 自 然 数 最接 近 它 们 的 和 为6+9+37=52(厘 米) 【 例1 1 】 （ 老 师 可 以 先 引 入 ： 小 明 一 家 四 兄 弟 ， 大 哥 叫 大 毛 ， 二 哥叫 二 毛 ， 三 哥 叫 三 毛 ， 那 老 四 叫 什 么
48、 ？ ） 大 毛 、 二 毛 、 三毛 、 小 明 四 个 人 ， 他 们 的 年 龄 一 个 比 一 个 大 岁 ， 他 们 四 个人 年 龄 的 乘 积 是 。 问 他 们 四 个 人 的 年 龄 各 是 几 岁 ？1【 解析 】 题 中 告 诉 我 们 ， 是 四 个 人 年 龄 的 乘 积 ， 只 要 我 们 把 分 解 质因 数 ， 再 按 照 每 组 相 差2来 分 成 四 个 数 相 乘 ， 这 四 个 数 就 是四 个 人 的 年 龄 了 。， 由 此 得 出 这 四 个 人 的 年 龄 分 别是12岁 、14岁 、16岁 、18岁 。 由 题 意 可 知 ， 这 四 个 数
49、是 相 差2的 四 个 整 数 。 它 们 的 积 是 偶 数 ，当 然 这 四 个 数 不 是 奇 数 ， 一 定 是 偶 数 。 又 因 为 的 个 位 数 字 不 是0， 显 然 这 四 个 数 中 ， 没 有个 位 数 字 是0的 ， 那 么 这 四 个 数 的 个 位 数 字 一 定 是2、4、6、8。 又 因 为 ， 而 ，所 以 可 以 断 定 ， 这 四 个 数 一 定 是12、14、16、18。 也 就 是说 ， 这 四 个 人 的 年 龄 分 别 是12岁 、14岁 、16岁 、18岁 。 答 ： 这 四 个 人 的 年 龄 分 别 是12岁 、14岁 、16岁 、18岁 。【 巩固 】 甲 乙 两 人 的 年 龄 和 为 一 个 质 数 ， 这 个 数 的 个 位 与 十 位 数 字的
