2014中考数学动点最值问题归纳及解法.pdf

1、中考数学动点最值问题归纳及解法最值问题是初中数学的重要内容， 也是一类综合性较强的问题， 它贯穿初中数学的始终，是中考的热点问题， 它主要考察学生对平时所学的内容综合运用， 无论是代数问题还是几何问题都有最值问题， 在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论 （如两点之间线段最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等） 。利用一次函数和二次函数的性质求最值。动态几何特点 -问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 ）动点问题一直是中考热点， 近几年考查探究运动

2、中的特殊性： 等腰三角形、 直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。“坐标几何题” （动点问题）分析动点个数 两个 一个 两个问题背景 特殊菱形两边上移动 特 殊 直 角 梯 形 三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点 探究相似三角形 探 究 三 角 形 面 积函数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式 四 边 形 面 积 的表示 动 三 角 形 面 积函数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形探究动三角形面积是定值探究等腰三角形存在性特点菱形是含 60的特殊菱形； AOB是底角为 30的

3、等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时， 按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度， 转化相似比得出方程。利用 a、 t 范围， 运用不等式求出 a、 t 的值。 观 察 图 形 构 造特 征 适 当 割 补 表示面积 动 点 按 到 拐 点时间分段分类 画 出 矩 形 必 备条 件 的 图 形 探 究其存在性直角梯形是特殊的（一底角是 45）点动带动线动线动中的特殊性（两个交点 D、 E 是定点； 动线段PF长度是定值， PF=OA）通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图，再探究（按边相等分类讨论）近几年共同点：探究存在性问题时，先画出

4、图形，再根据图形性质探究答案。小类知识归纳：一、问题原型：如图 1-1，要在燃气管道 上修建一个泵站， 分别向 、 两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？这个“确定最短路线”问题，是一个利用轴对称解决极值的经典问题。解这类问题二、基本解法：对称共线法。利用轴对称变换，将线路中各线段映射到同一直线上（线路长度不变），确定动点位置，计算线路最短长度。三、一般结论：( 在线段 上时取等号 )（如图 1-2 ）线段和最小，常见有三种类型：（一）“ |定动 |+|定动 |”型：两定点到一动点的距离和最小通过轴对称， 将动点所在直线同侧的两个定点中的其中一个， 映射到直线的另一侧， 当

5、动点在这个定点的对称点及另一定点的线段上时， 由 “两点之间线段最短” 可知线段和的最小值，最小值为定点线段的长。1.两个定点 +一个动点。如图 1-3， 作一定点 关于动点 所在直线 的对称点 ， 线段 （ 是另一定点）与 的交点即为距离和最小时动点 位置，最小距离和 。特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式） ；求直线、抛物线解析式；例 1（ 2006 年河南省中考题 ） 如图 2， 正方形 的边长为 ， 是 的中点，是对角线 上一动点，则 的最小值是 。解析： 与 关于直线 对称，连结 ，则 。连结 ,在 中， ， ，则故 的最小值为

6、例 2 （ 2009 年济南市中考题 ）如图 3，已知：抛物线 的对称轴为 ，与 轴交于 、 两点，与轴 交于点 ，其中 ， 。（ 1）求这条抛物线的函数表达式；（ 2）已知在对称轴上存在一点 ，使得 的周长最小，请求出点 的坐标。解析：（ 1）对称轴为 ， ，由对称性可知： 。根据 、 、三点坐标，利用待定系数法，可求得抛物线为：（ 2） 与 关于对称轴 对称，连结 ， 与对称轴交点即为所求 点。设直线 解析式为： 。把 、 代入得， 。当 时， ，则2.两个定点 +两个动点。两动点，其中一个随另一个动（一个主动，一个从动），并且两动点间的距离保持不变。用平移方法，可把两动点变成一个动点，转

7、化为“两个定点和一个动点”类型来解。例 3 如图 4， 河岸两侧有 、 两个村庄， 为了村民出行方便， 计划在河上修一座桥，桥修在何处才能两村村民来往路程最短？解析：设桥端两动点为 、 ，那么 点随 点而动， 等于河宽，且 垂直于河岸。将 向上平移河宽长到 ，线段 与河北岸线的交点即为桥端 点位置。四边形为平行四边形， ，此时 值最小。那么来往 、 两村最短路程为： 。例 4 (2010 年天津市中考 )在平面角坐标系中，矩形 的顶点 在坐标原点，顶点 、 分别在 轴、 轴的正半轴上， ， ， 为边 的中点。（ 1）若 为边 上的一个动点，当 的周长最小时，求点 的坐标；（ 2）若 ， 为边

8、上的两个动点，且 ，当四边形 的周长最小时，求点 ， 的坐标。解析：作点 关于 轴的对称点 ，则 ， 。（ 1） 连接 交 轴于点 ， 连接 ， 此时 的周长最小。 由可知 ，那么 ，则 。（ 2）将 向左平移 2 个单位（ ）到 点，定点 、 分别到动点 、 的距离和等于为定点 、 到动点 的距离和，即 。从而把“两个定点和两个动点”类问题转化成“两个定点和一个动点”类型。在 上截取 ， 连接 交 轴于 ， 四边形 为平行四边形，。此时 值最小，则四边形 的周长最小。由 、 可求直线 解析式为 ， 当 时， ， 即 ，则 。（也可以用（ 1）中相似的方法求 坐标）（二）“ |动定 |+|动动

9、 |”型：两动点分别在两条直线上独立运动，一动点分别到一定点和另一动点的距离和最小。利用轴对称变换， 使一动点在另一动点的对称点与定点的线段上 （两点之间线段最短） ，且这条线段垂直于另一动点的对称点所在直线 （连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短）时，两线段和最小，最小值等于这条垂线段的长。例 5 （ 2009 年陕西省中考 ） 如图 6， 在锐角 中， ， ，的平分线交 于点 ， 、 分别是 和 上的动点，则 的最小值为 4 。解析： 角平分线所在直线是角的对称轴， 上动点 关于 的对称点 在 上， ，当 时， 最小。作 于 ，交 于 ， ，作 交 于 ，3.“ |定动 |+

10、|动动 |+|动定 |”型：两定点到两动点的距离、以及两动之间距离和最小。例 6 （ 2009 年漳州中考 ） 如图 8， ， 是 内一点， ，、 分别是 和 上的动点，求 周长的最小值。解析： 分别作 关于 、 的对称点 、 ， 连接 ， 则 ，当 、 在线段 上时， 周长最小， ， 。 则 周长的最小值为例 7 （ 2009 年恩施中考 ）恩施到张家界高速公路 与沪渝高速公路 垂直，如图 9建立直角坐标系。著名的恩施大峡谷（ ）和世界级自然保护区星斗山（ ）位于两高速公路同侧， ， 到直线 的距离为 ， 到直线 和 的距离分别为和 。请你在 旁和 旁各修建一服务区 、 ，使 、 、 、 组

11、成的四边形的周长最小，并求出这个最小值。解析：作点 关于 轴的对称点 ，点 关于 轴的对称点 ，连接 ，。 当 、 在 线 段 上 时 ，最小。过 、 分别作 轴、 轴的平行线交于 。 在 中， ， ，交 轴于 ，交 轴于 。，而 四边形 的周长最小值为：大类考题总结：一、 “最值”问题大都归于两类基本模型：、 归于函数模型： 即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性， 确定某范围内函数的最大或最小值、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：（ 1）归于“两点之间的连线中，线段最短” 。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。（ 2） 归于 “三角形两边之差小于第三边”

12、 凡属于求 “变动的两线段之差的最大值” 时，大都应用这一模型。二、 利用函数模型求最值例 1 、如图（ 1） ，平行四边形 ABCD 中， 120,3,4 BADBCAB ， E 为 BC 上一动点（不与 B 重合） ，作 ABEF 于 F ，设 ,xBE DEF 的面积为 .S 当 E 运动到何处A D 时， S 有最大值，最大值为多少？（ 1 【观察与思考】 容易知道 S 是 x的函数，为利用函数的性质求 S 的最大值，就应先把 S 关于 x的函数关系式求出来，而这又需要借助几何计算。 （ 1）解：如图（ 1） ，延长 FE 交 DC 的延长线于 ,G 易知 DGFG 。DGEFS 21

13、 ，而 xBBEEF23sin ，又，在 CEGRt 中，2360cos)3(,3 xxCGxCE 。211234 xxCGDCDG 。,8 3118321 2 xxDGEFS 中 30 x 。,083 对称轴 ,211x 当 30 x ， S 随 x的增大而增大。当 3x ，即 E 与 C重合时， S 有最大值， 33最大S 。【说明】 可以看出，函数是解决“数量”最值问题的最基本的方法。三、利用几何模型求最值（ 1）归入“两点之间的连线中，线段最短”例 1、几何模型：条件：如下左图， A 、 B 是直线 l 同旁的两个定点问题：在直线 l 上确定一点 P ，使 PA PB 的值最小方法：作

14、点 A 关于直线 l 的对称点 A ，连结 A B 交 l 于点 P ，则 PA PB A B 的值最小（不必证明） 模型应用：（ 1） 如图 1， 正方形 ABCD 的边长为 2， E 为 AB 的中点， P 是 AC 上一动点 连结 BD ，由正方形对称性可知， B 与 D 关于直线 AC 对称连结 ED 交 AC 于 P ，则 PB PE 的最小值是 _；（ 2）如图 2， O 的半径为 2，点 A B C、 、 在 O 上， OA OB ， 60AOC ， P 是OB 上一动点，求 PA PC 的最小值；（ 3）如图 3， 45AOB ， P 是 AOB 内一点， 10PO ， Q R

15、、 分别是 OA OB、 上的动点，求 PQR 周长的最小值A B C D E F G A B AP l O A B P R Q 图 3 O A B C 图 2 A B E C P D 图 1 （第 1 题）P 例 2 如图 （ 1） 所示， 在一笔直的公路 MN 的同一旁有两个新开发区 BA, ， 已知 AB 10 千米， 直线 AB 与公路 MN 的夹角 ,30AON 新开发区 B 到公路 MN 的距离 3BC 千米。（ 1）求新开发区 A 到公路 MN 的距离；（ 2） 现从 MN 上某点 P 处向新开发区 BA, 修两条公路 PBPA, ， 使点 P 到新开发区 BA, 的距离之和最短

16、，请用尺规作图在图中找出点 P 的位置（不用证明，不写作法，保留作图痕迹） ，并求出此时 PBPA 的值。【观察与思考】 对于（ 1） ，直接归于几何计算。对于（ 2） ，首先利用“轴对称”的性质，把原题中的求“ PBPA ” 最短，转化成求“ PBPA ”最短（其中 A 是 A 关于 MN的对点。解： （ 1）先作 AD 垂直于 MN 于点 D 如图（ 1）在 OBCRt 中， 62BCOB （千米）在 AODRt 中， 16BOABAO （千米） 30AOD821 AOAD （千米）（ 2）作点 A 关于 MN 的对称点 A ，连结 BA 交 MN 于点 P 。（ 1）结果如图（ 1） ，

17、点 P 即为所求。如图（ 1） ，作 / BACA 交 AA 的延长线于点 A 。在 DCARt 中， 11 BCADDA （千米） ，353338OCODCD （千米） 。1475121 22 CDDACABA （千米） 。此时 PBPA 14BA （千米）注意：至于求线段的长，仍是以归入“解直角三角形”为第一选择。不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短” ，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”A B C N O M A B C N O M 30D A B C N O M 30D P AA例 3 如图（ 1） ，抛物线 351853 2 xxy 和

18、 y 轴的交点为 MA, 为 OA 的中点，若有一动点 P ，自 M 点处出发，沿直线运动到 x轴上的某点（设为点 E ） ，再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点 （设为点 F ） ， 最后又沿直线运动到点 A ， 求使点 P 运动的总路程最短的点 E ，点 F 的坐标，并求出这个最短路程的长。解：如图（ 1） ，由题意可得 A （ 0， 3） ， M )23,0( ，抛物线的对称点为 3x ，点 M 关于 x轴的对称点为 M )23,0( ，点 A 关于抛物线对称轴 3x 的对称点为 A （ 6， 3） 。连结 AM 。根据轴对称性及两点间线段最短可知， A M 的长就是所求点 P 运动中最

19、短总路程的长， A M 在直线的方程为2343 xy （过程略） 。设 A M 与 x的交点为 ,E 则 E 为在 x轴上所求的点， A M 与直线3x 的交点为所求的 F 点。可得 E 点的坐标为（ 2， 0） ， F 点的坐标为43,3( ） 。由勾股定理可求出 A M215 （过程略）所以点 P 运动的总路程（ FAEFME ）最短时间为215 。不管在什么背景下，有关线段之和最短问题，总是化归到“两点之间的所有连线中，线段最短” ，而转化的方法大都是借助于“轴对称点”（ 2）归于“三角形两边之差小于第三边”例 5、如图（ 1） ，直线 23xy 与 x轴交于点 C，与 y 轴交于点 B

20、，点 A 为 y 轴正半轴上的一点， A 经过点 B 和点 O ，直线 BC交 A 于点 D。（ 1）求点 D 的坐标；（ 2）过 O ， C， D 三点作抛物线，在抛物线的对称轴上是否存在一点 P ，使线段 PO 与 PD之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点 P的坐标。若不存在，请说明理由。xyOA F E M xyOA F E M AMB 3 3 解： （ 1）在 23xy 中，分别令 0,0 yx 得 B 点的坐标为（ 2， 0） ， C 点的坐标为)0,332(OB 为 A 的直径， BCOD 。,332332tan CBO ,60,30 CB 且 121 OBOD 。 （ 1）

21、在 CODRt 中，由 30COD 和 1OD ，得点 D 的坐标为（ 1,23 ） 。（ 2）如图（ 1） ，当点 P 为该抛物线的对称轴33x 和 CD 所在的直 线 23xy 的 交 点 处 时 ， CDPDPCPDPO ， 其 值 最 大 ， 而3333130tanODCD 。解得此时点 P 的坐标为 )1,33( 。点 P 为 )1,33( 时 PDPO 取最大值为33 。【说明】 这里将求“两线段之差的最大值” ，借助“三角形两边之差小于第三边”转化为求一条特殊线段的长，其间，还借助了抛物线 （ 1）对称轴的性质。A O xyD C B O xyD C B P 23xy33xO x

22、yD C B P P 解题技巧总结：专题一：建立动点问题的函数解析式例 1. 如图 2, 在 ABC中 ,AB=AC=1,点 D,E 在直线 BC上运动 . 设 BD= ,x CE=y . (1) 如果 BAC=30 , DAE=105 , 试确定 y 与 x之间的函数解析式；(2) 如果 BAC的度数为 , DAE的度数为 , 当 , 满足怎样的关系式时 ,(1) 中 y与 x之间的函数解析式还成立 ?试说明理由 . 解 :(1) 在 ABC中 , AB=AC, BAC=30 , ABC= ACB=75 , ABD= ACE=105 . BAC=30 , DAE=105 , DAB+ CAE

23、=75 , 又 DAB+ ADB= ABC=75 , CAE= ADB, ADB EAC, ACBDCEAB , 11 xy , xy 1 . (2) 由于 DAB+ CAE= , 又 DAB+ ADB= ABC=290 ,且函数关系式成立 , 290 = , 整理得 2 90 . 当2 90 时 , 函数解析式 xy1 成立 . 应用求图形面积的方法建立函数关系式例 2（ 2004 年 上海） 如图 , 在 ABC中 , BAC=90 ,AB=AC= 22 , A 的半径为 1. 若点 O在 BC边上运动 ( 与点 B、 C不重合 ), 设 BO=x, AOC的面积为 y . (1) 求 y

24、 关于 x的函数解析式 , 并写出函数的定义域 . (2) 以点 O为圆心 ,BO 长为半径作圆 O,求当 O与 A 相切时 , AOC的面积 . 解 :(1) 过点 A 作 AH BC,垂足为 H. BAC=90 ,AB=AC= 22 , BC=4,AH=21 BC=2. OC=4-x . AHOCS AOC21 , 4xy ( 40 x ). (2) 当 O与 A 外切时 , 在 Rt AOH中 ,OA= 1x ,OH= x2 , 222 )2(2)1( xx . 解得 67x . 此时 , AOC的面积 y =617674 . A E D C B 图 2 O F P D E A C B

25、3(1) A B C O 图 8 H 当 O与 A 内切时 , 在 Rt AOH中 ,OA= 1x ,OH= 2x , 222 )2(2)1( xx . 解得27x . 此时 , AOC的面积 y = 21274 . 综上所述 , 当 O与 A 相切时 , AOC的面积为617 或21 .专题二：动态几何型压轴题动态几何特点 -问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 ）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三

26、角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。建立联系，计算说明例 3：如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 M 在边 DC 上，且 DM=1， N 为对角线 AC上任意一点，则 DN+MN 的最小值为 . 分析： 能否将 DN 和 NM 进行转化， 与建立三角形两边之和大于第三边等问题， 很自然地想到轴对称问题， 由于 ABCD为正方形， 因此连结 BN，显然有 ND=NB，则问题就转化为 BN+NM 的最小值问题了，一般情况下：BN+NM BM,只有在 B、 N、 M 三点共线时， BN+NM=BM，因此 DN+MN的最小值为 BM= 522 CMB

27、C本题通过建立平面上三个点中构成的三角形中的两边之和大于第三边及共线时的两边之和等于第三边的特殊情况求最小值，最后通过勾股定理计算得出结论。例 4：如图，在等腰直角三角形 ABC中，斜边 BC=4， OA BC于 O,点 E和点 F 分别在边 AB、 AC上滑动并保持 AE=CF,但点 F不与 A、 C重合，点 E不与 B、 A 重合。判断四边形 AEOF的面积是否随点 E、 F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值 . AEF的面积是否随着点 E、 F 的变化而变化，若变化，求其变化范围，若不变化，求它的值。（即例 3 的第 2、第 3 问）分析： (2)本题的方法很多，其

28、一，可以建立四边形 AEOF 与AE长的函数关系式，如设 AE=x，则 AF= x22 ，而三角形 AOB的面积与三角形 AOE的面积之比 = x22， 而三角形 AOB 的面积 =221 OAOB，则三角形 AOE 的面积 =2x， 同 理 三 角 形 AOF 的 面 积 = 222 x， 因 此 四 边 形 AEOF 的 面 积 =22)22( xx；即 AEOF的面积不会随点 E、 F 的变化而变化，是一个定值，且为MNDCBAFEO CBA2. 当然， 本题也可以这样思考， 由于三角形 AOE与三角形 COF全等， 则四边形 AEOF的面积与三角形 AOC的面积相等，而 AOC 的面积

29、为 2，因此 AEOF的面积不会随点 E、F的变化而变化，是一个定值，且为 2. 本题通过建立函数关系或有关图形之间的关系 ,然后通过简单的计算得出结论的方法应用比较广泛 . 第 (3) 问 , 也 可 以 通 过 建 立 函 数 关 系 求 得 , AEF 的 面 积 =1)2(21)22(21 2xxx,又 x的变化范围为 220 x ,由二次函数知识得AEF的面积的范围为 : 0 AEF的面积 1. 本题也可以根据三角形 AEF与三角形 OEF的面积关系确定 AEF的面积范围 : 不难证明 AEF的面积 OEF的面积， 它们公用边 EF， 取 EF的中点 H， 显然由于OEF为等腰直角三

30、角形，则 OH EF，作 AG EF，显然 AG AH=AG（ =EF21） ，所以AEF的面积 OEF的面积，而它们的和为 2，因此 0 AEF的面积 1. 专题三：双动点问题点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题 . 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题 . 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力， 空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力 . 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为今年中考试题的热点， 现采撷几例加以分类浅析， 供读者欣赏 . 专题四：函数中因动点产生的相似三角形问题例题 如图 1，已知抛物线的顶点为

31、 A（ 2， 1） ，且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。 求抛物线的解析式； （用顶点式求得抛物线的解析式为xx41y 2） 若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、 C、 D、 B 四点为顶点的四边形为平行四边形，求 D 点的坐标； 连接 OA、 AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得 OBP 与 OAB相似？若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。分 析 :1. 当 给出 四 边 形 的两个顶点时应以两个顶点的连线 为四边形的边和对角线来考虑问题以 O、 C、 D、 B 四点为例 1 题图图 1 OAByxOAByx图 2 顶点

32、的四边形为平行四边形要分类讨论 :按 OB 为边和对角线两种情况2. 函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径 求相似三角形的第三个顶点时， 先要分析已知三角形的边 和角 的特点， 进而得出已知三角形是否为特殊三角形。 根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角函数、对称、旋转等知识来推导边的大小。若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。五、以圆为载体的动点问题动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，

33、只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。例 1. 在 Rt ABC 中， AC 5， BC 12， ACB 90， P 是 AB边上的动点（与点 A、 B 不重合） ， Q是 BC边上的动点（与点 B、 C不重合） ，当 PQ与 AC不平行时， CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段 CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由。 （ 03 年广州市中考）分析： 不论 P、 Q如何运动， PCQ都小于 ACB即小于 90， 又因为 PQ与 AC不平行，所以 PQC不等于 90，所以只有 CPQ为直角， CPQ才可能是直角三角形，而要判断

34、CPQ是否为直角三角形，只需构造以 CQ为直径的圆，根据直径所对的圆周角为直角，若 AB边上的动点 P 在圆上， CPQ就为直角，否则 CPQ就不可能为直角。以 CQ为直径做半圆 D。当半圆 D与 AB相切时，设切点为 M，连结 DM，则DM AB，且 AC AM 5 所以 MB AB AM 13 5 8设 CD x ，则 DM x DB x， 12在 Rt DMB 中， DB DM MB2 2 2 ，即12 82 2 2x x解得： x 103，所以 CQ x2 203即当 CQ 203 且点 P 运动到切点 M的位置时， CPQ为直角三角形。当 203 12CQ 时，半圆 D 与直线 AB有两个交点，当点 P 运动到这两个交点的位置时， CPQ为直角三角形。当 0 203CQ 时， 半圆 D与直线 AB相离， 即点 P 在半圆 D之外， 0 CPQ 90，此时， CPQ不可能为直角三角形。所以，当 203 12CQ 时， CPQ可能为直角三角形。