1、1练习一 静电场中的导体三、计算题1. 已知某静电场在 xy 平面内的电势函数为 U=Cx/(x2+y2)3/2,其中C 为常数 .求(1) x 轴上任意一点,(2)y 轴上任意一点电场强度的大小和方向.解：. Ex=U/x=C1/(x2+y2)3/2+x(3/2)2x/(x2+y2)5/2= (2x2y2)C /(x2+y2)5/2Ey=U/y=Cx(3/2)2y/(x2+y2)5/2=3Cxy/(x2+y2)5/2x 轴上点(y=0) Ex=2Cx2/x5=2C/x3 Ey=0E=2Ci/x3y 轴上点(x=0) Ex=Cy2/y5=C/y3 Ey=0E=Ci/y32如图 5.6,一导体球
2、壳 A(内外半径分别为 R2,R3),同心地罩在一接地导体球 B(半径为 R1)上,今给 A 球带负电Q, 求 B 球所带电荷 QB 及的 A 球的电势 UA.静电场中的导体答案解： 2. B 球接地,有 UB=U=0, UA=UBAUA=(Q+QB)/(40R3)UBA=QB/(40)(1/R21/R1)得 QB=QR1R2/( R1R2+ R2R3 R1R3)UA=Q/(40R3)1+R1R2/(R1R2+R2R3R1R3)=Q(R2R1)/40(R1R2+R2R3R1R3)练习二 静电场中的电介质三、计算题1. 如图 6.6 所示,面积均为 S=0.1m2 的两金属平板 A,B 平行对称
3、放置,间距为 d=1mm,今给 A, B 两板分别带电 Q1=3.54109 C, Q2=1.77109 C.忽略边缘效应 ,求：(1) 两板共四个表面的面电荷密度 1, 2, 3, 4;(2) 两板间的电势差 V=UAU B.解：1. 在 A 板体内取一点 A, B 板体内取一点 B,它们的电场强度是四个表面的电荷产生的,应为零,有A BQ图 5.6A BQ1图 6.6Q21 2 3 42EA=1/(20)2/(20)3/(20)4/(20)=0EA=1/(20)+2/(20)+3/(20)4/(20)=0而 S(1+2)=Q1 S(3+4)=Q2有 1234=01+2+34=01+2=Q1
4、/S3+4=Q2/S解得 1=4=(Q1+Q2)/(2S)=2.66108C/m2 2=3=(Q1Q2)/(2S)=0.89108C/m2两板间的场强 E=2/0=(Q1Q2)/(20S)V=UA UB lEd=Ed=(Q1Q2)d/(20S)=1000V四、证明题1. 如图 6.7 所示，置于静电场中的一个导体，在静电平衡后，导体表面出现正、负感应电荷.试用静电场的环路定理证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上的负感应电荷的电场线不能存在.解：1. 设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.沿电场线 ACB 作环路 ACBA,导体内直线BA 的场强为零,ACB
5、 的电场与环路同向于是有= 0lEdl ACBlAlEd2ACBl与静电场的环路定理 0 相违背,故在l同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场线.练习三 电容 静电场的能量三、计算题1. 半径为 R1 的导体球带电 Q ,球外一层半径为 R2 相对电容率为 r 的同心均匀介质球壳,其余全部空间为空气 .如图 7.1 所示.求:(1)离球心距离为 r1(r1R2)处的 D 和E；(2)离球心 r1, r2, r3,处的 U；(3)介质球壳内外表面的极化电荷.解：1. (1)因此电荷与介质均为球对称,电场也球对称,过场点作与金属球同心的球形高斯面,有导体图 6.7R1图 7.1R
6、2BAC3iSq0dD4r2D=q0i当 r=5cmR1+d ) q0i=Q=1.0108C得 D3=Q/(4r2)=1.27108C/m2E3=Q/(40r2)=1.44104N/CD 和 E 的方向沿径向.(2) 当 r=5cmb/2. I0=blJ=blE,有H=bE/2 B=0r2H=0r2bE/2i v图 14.6EHHl92. 一根同轴电缆线由半径为 R1 的长导线和套在它外面的半径为 R2 的同轴薄导体圆筒组成，中间充满磁化率为 m 的各向同性均匀非铁磁绝缘介质，如图 15.7 所示. 传导电流沿导线向上流去, 由圆筒向下流回，电流在截面上均匀分布. 求介质内外表面的磁化电流的大
7、小及方向.解：2. 因磁场柱对称 取同轴的圆形安培环路，有 =I0lHd在介质中(R 1rR2)，I 0=I，有2rH= I H= I/(2r )介质内的磁化强度 M=mH =m I/(2r)介质内表面的磁化电流JSR1= MR1nR1= MR1=mI/(2R1) ISR1=JSR12R1=mI (与 I 同向)介质外表面的磁化电流JSR2= MR2nR2= MR2=mI/(2R2)ISR2=JSR22R2=mI (与 I 反向)练习十二 电磁感应定律 动生电动势三、计算题1. 如图 17.8 所示，长直导线 AC 中的电流 I 沿导线向上，并以 dI /dt = 2 A/s 的变化率均匀增长
8、. 导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示. 求此线框中产生的感应电动势的大小和方向.解： 1. 取顺时针为三角形回路电动势正向,得三角形面法线垂直纸面向里.取窄条面积微元dS=ydx=(a+bx)l/bdxm=B= baldxxI20= balln20cm 10cm5cmCAI 图 17.8 bB ld c a图 17.9r2 r2r1bE图 15.6mOI I图 15.7R1R210 i=dm/dt= dtIabblln20=5.18108 V负号表示逆时针2. 一很长的长方形的 U 形导轨，与水平面成 角，裸导线可在导轨上无摩擦地下滑，导轨位于磁
9、感强度 B 垂直向上的均匀磁场中，如图 17.9 所示. 设导线 ab 的质量为 m，电阻为 R，长度为 l，导轨的电阻略去不计 , abcd 形成电路. t=0 时， v=0. 求：(1) 导线 ab 下滑的速度 v 与时间 t 的函数关系; (2) 导线 ab 的最大速度 vm .解：2. (1) 导线 ab 的动生电动势为 i = l vBdl=vBlsin(/2+)=vBlcosIi= i/R= vBlcos/R方向由 b 到 a. 受安培力方向向右,大小为F= l (IidlB)= vB2l2cos/RF 在导轨上投影沿导轨向上,大小为F = Fcos =vB2l2cos2/R重力在
10、导轨上投影沿导轨向下,大小为 mgsinmgsin vB2l2cos2/R=ma=mdv/dtdt=dv/gsin vB2l2cos2/(mR)mBt0cossinRtlelmR221co(2) 导线 ab 的最大速度 vm= .2siBg练习十三 感生电动势 自感 三、计算题1. 在半径为 R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场 B,B 的方向与柱的轴线平行.有一长为 2R的金属棒 MN 放在磁场外且与圆柱形均匀磁场相切,切点为金属棒的中点,金属棒与磁场 B 的轴线垂直.如图 18.6 所示.设 B 随时间的变化率 dB/dt 为大于零的常量.求:棒上感应电动势图 18.6 OR2RBM Na2a
11、z图 18.7L11的大小,并指出哪一个端点的电势高. (分别用对感生电场的积分 i=lEidl 和法拉第电磁感应定律 i=d /dt 两种方法解).解：(1) 用对感生电场的积分 i=lEidl 解:在棒 MN 上取微元 dx(R0,故 N 点的电势高.(2) 用法拉第电磁感应定 律 i =d /dt 解:沿半径作辅助线 OM,ON 组成三角形回路MONM i = =NMlEid MNlEid= + +MNlEidOli Nli=( d mMONM/dt) =dmMONM/dt而 mMONM= =R2B/4SB故 i=R2(dB/dt)/4N 点的电势高.2. 电量 Q 均匀分布在半径为 a
12、,长为 L(La)的绝缘薄壁长圆筒表面上,圆筒以角速度 绕中心轴旋转.一半径为 2a,电阻为 R 总匝数为 N 的圆线圈套在圆筒上,如图 18.7 所示.若圆筒转速按 =0(1t/t0)的规律( 0,t0 为已知常数)随时间线性地减小 ,求圆线圈中感应电流的大小和流向.解：2. .等效于螺线管B 内 =0 nI=0 Q /(2)/L=0 Q /(2L)B 外 =0=SBdS=Ba2=0Q a2 /(2 L) i =d /dt= 0Q a2 /(2 L)d /dt=0 0Q a2 /(2 L t0)Ii= i /R=0 0Q a2 /(2 LR t0)方向与旋转方向一致. OBM NdxEi O
13、 BM N12练习十四 自感（续）互感 磁场的能量三、计算题1. 两半径为 a 的长直导线平行放置,相距为 d,组成同一回路,求其单位长度导线的自感系数 L0.解：1. 取如图所示的坐标,设回路有电流为 I,则两导线间磁场方向向里,大小为0ra B1=0Ir/(2a2)+ 0I/2(dr)arda B2=0I/(2r)+0I/2(dr)dard B3=0I/(2r)+ 0I(dr)/(2a2)取窄条微元 dS=ldr,由 m= 得Sml = +rIl02ardIl0+ +adrlal+ +adIl20adrl-I20=0Il/(4)+0Il/(2)lnd/(da) +0Il/(2)ln(da)
14、/a +0Il/(2)ln(da)/a+0Il/(2)lnd/(da)+0Il/(4)=0Il/(2)+(0Il/)ln(d/a)由 Ll=l /I,L0= Ll/l=l /(Il).得单位长度导线自感 L0=0l/(2)+(0l/)ln(d/a) 2 内外半径为 R、r 的环形螺旋管截面为长方形,共有 N 匝线圈.另有一矩形导线线圈与其套合 ,如图19.4(1)所示. 其尺寸标在图 19.4(2) 所示的截面图中,求其互感系数.解：2. 设环形螺旋管电流为 I, 则管内磁场大小为B=0NI/(2) rR方向垂直于截面; 管外磁场为零.取窄条微元dS=hd,由 m= 得Sdm = =0NIhln(R/r)/(2)RrNIh2d0 图 19.4(1) Rr h a b(2)8M=m/I=0Nhln(R/r)/(2)
