1、2.2 谓词公式与翻译,2.2.1 谓词公式的定义,在命题逻辑中，简单命题和逻辑联结词可以组合成复合命题。那么在谓词逻辑中，怎样的谓词表达式才能够成为谓词公式并能进行谓词演算呢？定义2.4 P(x1, x2, , xn) 称为谓词演算的原子谓词公式，其中，P 是谓词，x1, x2, , xn 是个体变元。,定义2.5 谓词演算的合式公式，又称为谓词公式，由如下递归定义构成：(1) 原子谓词公式是谓词公式；(2) 若 A 是谓词公式，则 A 也是谓词公式；(3) 若 A 和 B 都是谓词公式，则 (AB), (AB), (AB), (AB) 都是谓词公式；(4) 若 A 是谓词公式，x 是任何个
2、体变元，则 (x)A 和 (x)A 都是谓词公式；(5) 只有经过有限次地应用规则 (1), (2), (3), (4)所得到的公式是谓词公式。在讨论命题公式时，曾规定了关于使用圆括号的某些约定，即最外层的括号可以省略，在谓词公式中，也将遵循同样的约定，但若量词后面有括号则不能省略。,举例说明用谓词公式将自然语言中的一些有关命题符号化。【例2.9】并非一切鸟都会飞。解1：设 A(x) 表示 “x是鸟”B(x) 表示 “x能飞”则原命题符号化为：(x)(A(x)B(x)解2：原命题等价于“有的鸟不会飞”，即 (x)(A(x)B(x)。,2.2.2 谓词公式的翻译,【例2.10】没有不犯错误的人。
3、解1：设 A(x) 表示 “x是人”B(x) 表示 “x犯错误”则原命题符号化为：(x)(A(x)B(x)解2：原命题等价于 “任何人都会犯错误”，即(x)(A(x)B(x)【例2.11】尽管有些人聪明，但未必一切人都聪明。解：设 A(x) 表示 “x是人”B(x) 表示 “x聪明”则原命题符号化为：(x)(A(x)B(x)(x)(A(x)B(x),【例2.12】两条不同的直线最多有一个交点。解：设 A(x) 表示 “x是直线”B(x) 表示 “x是点”C(x,y) 表示 “x在y上”D(x,y) 表示 “xy”则原命题符号化为：(x)(y)(A(x)A(y)D(x,y)(!z)(B(z)C(
4、z,x)C(z,y)。,【例2.13】在数学分析中极限定义为：任给小正数，则存在着一个正数 ，使得当 0|xa| 时有 |f(x)b|。此时即称。解：若设 P(x,y) 表示 “x大于y”，Q(x,y) 表示 “x小于y”，则可表示为： ()()(x)(P(,0)P(,0)Q(|xa|, )P(|xa|, 0)Q(|f(x)b|,),2.3 约束变元与自由变元,定义 2.6 对于谓词公式 (x)P(x) 或 (x)P(x) 来说，x 称为量词 (x) 或量词 (x) 的指导变元或作用变元。P(x)称为相应量词的辖域。定义2.7 在一个谓词公式中，若 x 出现于 (x) 或 (x) 的辖域中或者
5、它就是 (x) 或 (x) 中的 x，则称 x 的出现是约束的；若 x 的出现不是约束的，则称是自由的。,【例2.14】说明下列各式中量词的辖域与变元约束的情况：(1) (x)A(y)(2) (x)(A(x)B(x)(3) (x)(A(x)(y)B(x, y)(4) (x)(y)(A(x,y)B(y,z)(x)A(x,y)(5) (x)(A(x)(x)B(x,z)(y)C(x,y)B(x, y)(6) (x)(A(x)B(x)(x)C(x)D(x)解：(1)(x)的辖域是A(y)，其中x为约束出现，y为自由出现。(2)(x)的辖域是A(x)B(x), x为约束出现。(3)(x)的辖域是A(x)
6、(y)B(x, y), (y)的辖域是B(x, y)，其中x, y都为约束出现。,(4) (x)(y)(A(x,y)B(y,z)(x)A(x,y)(x) 的辖域是 (y)(A(x, y)B(y, z)，(y) 的辖域是 A(x, y)B(y, z)，(x) 的辖域是 A(x, y)，其中在 (x)(y)(A(x,y)B(y,z)中，x，y 都为约束出现，z为自由出现，在 (x)A(x,y) 中，x 为约束出现，y 为自由出现。,(5) (x)(A(x)(x)B(x,z)(y)C(x,y)B(x,y)(x) 的辖域是 (A(x)(x)B(x, z)(y)C(x, y)，其中 x 的 3 次出现都
7、为约束出现，但第 2 次出现是受量词 (x) 的约束，而第1次、3次出现是受量词(x)的约束，z 是自由出现，(x) 的辖域是 B(x, z)。(y) 的辖域是 C(x,y)，其中 y 是约束出现，B(x, y) 中的 x, y 都是自由出现。(6) (x)(A(x)B(x)(x)C(x)D(x)(x) 的辖域是 A(x)B(x)，x 为约束出现，(x) 的辖域是C(x), x 也为约束出现，D(x) 中 x 的出现为自由出现。,一个变元在同一个公式中:既可以为约束出现，又为自由出现。从约束变元的概念可以看出，P(x1, x2, , xn)是 n 元谓词公式或者是 n 元谓词函数，它有 n 个
8、相互独立的自由变元。若对其中 k 个变元进行约束，则成为 nk 元谓词公式。因此，如果一个谓词公式中没有自由变元出现，则该公式就成为一个命题。例: (x)P(x,y,z) 是二元谓词公式，(y)(x)P(x,y,z) 是一元谓词公式， (y)(z)(x)P(x,y,z) 是一个命题。,【例2.15】若谓词 P(x) 表示 “x 是正数” 则：(1) 公式 (x)P(x)、(y)P(y) 和 (z)P(z) 在相同的个体域中具有相同的意义，若在有理数域中，则表示 “一切有理数都是正数”；(2) 公式 (x)P(x)、(y)P(y) 和 (z)P(z) 在相同的个体域中具有相同的意义，若在有理数域
9、中，则表示 “存在有理数都是正数”。,故可将谓词公式中的约束变元更改名称符号，这一过程称为约束变元换名。但约束变元换名也要遵循一定的规则：(1) 换名时，更改的变元名称的范围是量词中的指导变元，以及该量词辖域中所出现的所有该变元，在公式的其余部分不变；(2) 换名时一定不能更改为公式中的其它变元名称。,为了使一个变元在同一个公式中只以一种身份出现，除了进行约束变元换名外，也可以进行自由变元的代入，规则如下：(1) 将给定公式中出现该自由变元的每一处都用新的个体变元替换；(2) 新变元不允许在原公式中以任何约束形式出现。此规则称为自由变元的代入规则。,【例2.16】谓词公式 (x)(A(x,y)B(x,z)，若对约束变元x换名，则可变为 (v)(A(v,y)B(v,z)，但下列换名都是错误的：(1) (v)(A(v, y)B(x, z)(2) (x)(A(v, y)B(v, z)(3) (v)(A(x, y)B(x, z)(4) (y)(A(x, y)B(y, z)(5) (z)(A(z, y)B(z, z),另外需要指出的是，当个体域中元素的个数是有限时，对量词辖域中的约束变元的所有可能的取代是可枚举的，即：若设个体域为 a1, a2, , an 则：(1) (x)A(x)A(a1)A(a2)A(an)(2) (x)A(x)A(a1)A(a2)A(an ),
