1、 习题 1241 求下列微分方程的通解 (1) xeyd解 )()()( CxedeCdxx (2)xyyx23x2 解 原方程变为 xy231)(Cdexeyd)23(1231dxx x)(2(3)yycos xesin x 解 )(cossincoCdxd )(sinisi ex(4)yytan xsin 2x 解 )sin(tatadxedcoslcolnCex)1si2(xcos x(2cos x+C)C cos x2cos2x (5)(x21)y2xycos x0 解 原方程变形为 1cos2y)s(2122 dxexeyd )(sin1)co22 Cx(6) 23d解 )(3Cde
2、3 32)(ee(7) xyd42解 )(2Cdex2ex 22)(xe(8)yln ydx(xln y)dy0 解 原方程变形为 yd1ln)(lln1Ceyexlld yyln21)n(1(9) 3)2xdx解 原方程变形为 2)(xy)2(121Cdexeydx )(x2)(x2)2C(x2)3C(x2) (10) 0)62ydy解 原方程变形为 yxdy213)(3Ceexy1233d 32)(yy2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解 (1) y|x00 dxsectan解 )(tant Cdyx (cos1cosecs1xx由 y|x00 得 C0 故所求特解为 yxsec x
3、(2) y|x1 din解 )si(1deeyx cos(1inCx由 y|x1 得 C1 故所求特解为 )cos1(xy(3) xedcos5t4|2解 )(ctsct Cdyxxd )5(sin1i5sin1cosoeex由 得 C1 故所求特解为 4|2xy 1y(4) y|x0283d解 )8(3Cdxeydx xxCee333 8)(由 y|x02 得 故所求特解为 )4(2y(5) y|x10 3d解 )(322Cdeeydx )1(122223exxx由 y|x10 得 故所求特解为 eC)(132xy3 求一曲线的方程 这曲线通过原点 并且它在点(x y)处的切线斜率等于 2x
4、y 解 由题意知 y2xy 并且 y|x00 由通解公式得)2()( CdxeCdexxdx ex(2xex2exC)Cex2x2 由 y|x00 得 C2 故所求曲线的方程为 y2(exx1) 4 设有一质量为 m 的质点作直线运动 从速度等于零的时刻起 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为 k1)的力作用于它 此外还受一与速度成正比(比例系数为 k2)的阻力作用 求质点运动的速度与时间的函数关系 解 由牛顿定律 Fma 得 即 vtd21tmkvdt12由通解公式得)()( 2222 11 CtekCtetmkevtmdt )(22211ktt由题意 当 t0 时 v0 于是
5、得 因此21kmC)(21212ektevtmk即 )(212tktk5 设有一个由电阻 R10、电感 L2h(亨) 和电源电压 E20sin5t V(伏) 串联组成的电路 开关 K 合上后 电路中有电源通过 求电流 i 与时间 t 的函数关系 解 由回路电压定律知 即 012sin0idt tidt5sn10由通解公式得 ttt CetCeei 555 coi)i( 因为当 t0 时 i0 所以 C1 因此(A) )45sin(2cosn5tti tt6 设曲 在右半平面(x0)内与路径无关 其中 f(x)可导 且dyxfdyfL)(2)(f(1)1 求 f(x) 解 因为当 x0 时 所给
6、积分与路径无关 所以 )(2xfyf即 f(x)2f(x)2xf(x)2x 或 1因此 xCdxCdxexfdx 32)(1)()(2由 f(1)1 可得 故 3Cf3)7 求下列伯努利方程的通解 (1) )sin(co2xydx解 原方程可变形为 即 xydxsinco12 xydcosin)(1)i(Cee xxx sinsnco原方程的通解为 Ceyi1(2) 23xd解 原方程可变形为 即 yx12 xydx13)()(3Ceed)22xx 3131(222 xee原方程的通解为 2xCy(3) 4)1(3dx解 原方程可变形为 即 )2(34xy12)(3xyd1Ceedx xxe1
7、2)2(原方程的通解为 3ey(4) 5xyd解 原方程可变形为 即 yx451xydx4)(4)(4Ceed4x e41原方程的通解为 xCy(5)xdyyxy3(1ln x)dx0 解 原方程可变形为 即 )ln1(123d )ln1(2)(2xyxd)l(2 Cexeyxn12 xxC94l32原方程的通解为 yl8 验证形如 yf(xy)dxxg(xy)dy0 的微分方程 可经变量代换 vxy 化为可分离变量的方程 并求其通解 解 原方程可变形为 )(xygfd在代换 vxy 下原方程化为 )(2vxf即 dxuvfg1)(积分得 Cln对上式求出积分后 将 vxy 代回 即得通解 9
8、 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程 然后求出通解 (1) 2)(yxd解 令 uxy 则原方程化为 即 2121ud两边积分得xarctan uC 将 uxy 代入上式得原方程的通解xarctan(xy)C 即 yxtan(xC) (2) 1d解 令 uxy 则原方程化为 即 dxudu 两边积分得 12Cux将 uxy 代入上式得原方程的通解 即(xy) 22xC(C2C1) 12)(3)xyyy(ln xln y) 解 令 uxy 则原方程化为 即 udln1(2 duxln两边积分得ln xln Clnln u 即 ueCx 将 uxy 代入上式得原方程的通解xyeCx 即 xy1(4)yy22(sin x1)ysin2x2sin xcos x1 解 原方程变形为y(ysin x1)2cos x 令 uysin x1 则原方程化为 即 udcossdxu21两边积分得 Cx将 uysin x1 代入上式得原方程的通解 即 sinCxy1sin(5)y(xy1)dxx(1xyx2y2)dy0 解 原方程变形为 )1(2d令 uxy 则原方程化为 即 )(22uxx)1(23uxd分离变量得 dud)1(123两边积分得 uCxlnln21将 uxy 代入上式得原方程的通解 xyyll21即 2x2y2ln y2xy1Cx2y2(C2C1)
