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类型弹性力学平面问题的基本理论1.ppt

  • 上传人:无敌
  • 文档编号:325617
  • 上传时间:2018-03-29
  • 格式:PPT
  • 页数:23
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    弹性力学平面问题的基本理论1.ppt
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    1、,第二章 平面问题的基本理论,2-1 平面应力问题与平面应变问题,在实际问题中,任何一个弹性体严格地说都是空间物体,它所受的外力一般都是空间力系。但是,当所考察的弹性体的形状和受力情况具有一定特点时,如果经过适当的简化和抽象处理,可以简化为弹性力学平面问题,将使计算工作量大为减少。,一、平面应力问题,图21,等厚度薄板,只在板边受到平行于板面并且不沿厚度变化的面力,同时体力也平行于板面并且不沿厚度变化。,应力特征,如图选取坐标系,以板的中面为xy 平面,垂直于中面的任一直线为 z 轴。由于板面上不受力,有,因板很薄,且外力沿 z 轴方向不变。,可认为整个薄板的各点都有:,图21,结论:,平面应

    2、力问题只剩下三个应力分量:,应变分量、位移分量也仅为 x、y 的函数,与 z 无关。,共六个应力分量,平面问题的基本理论,特征:,1) 长、宽尺寸远大于厚度。,2) 沿板边受有平行板面的面力,且沿厚度均布,体力平行于板面且不沿厚度变化,在平板的前后表面上无外力作用。,注意:平面应力问题z =0,但,二、平面应变问题,x,图 22,平面问题的基本理论,如挡土墙、受内压的圆柱管道和长水平巷道等。,设有很长的柱体,在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力,同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化。,厚壁圆筒,(1) 几何特征,水坝,一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多,且沿长度方向几何形状和尺

    3、寸不变化。, 近似认为无限长,(2) 外力特征,外力(体力、面力)平行于横截面作用,且沿长度 z 方向不变化。,约束 沿长度 z 方向不变化。,(3) 变形特征,建立如图坐标系:以任一横截面为 xy 面,任一纵向线为 z 轴。,设 z方向为无限长,则,沿 z 方向都不变化,,仅为 x、y 的函数。,任一横截面均可视为对称面,水坝,所有各点的位移分量都平行于 x y 平面。, 也叫平面位移问题,水坝, 平面应变问题,注:,(1)平面应变问题中,但是,,(2)平面应变问题中有四个应力分量:, 仅为 x、 y 的函数。,如图所示三种情形,是否属平面问题?是平面应力问题还是平面应变问题?,平面应力问题

    4、,平面应变问题,非平面问题,平面问题的基本理论,-空间问题,三. 平面问题的求解,问题:,已知:外力(体力、面力)、边界条件,求:, 仅为 x、 y 的函数,需建立三个方面的关系:,(1)静力学关系:,(2)几何学关系:,应力与体力、面力间的关系;,应变与位移间的关系;, 平衡微分方程, 几何方程,平面问题的基本理论,(3)物理学关系:,应变与应力间的关系。,建立边界条件:, 物理方程,(1)应力边界条件;,(2)位移边界条件;,平面问题的基本理论,(3)混合边界条件;,2-2 平衡微分方程,无论平面应力问题还是平面应变问题,都是在xy平面内研究问题,所有物理量均与z无关。,下面讨论物体处于平

    5、衡状态时,各点应力及体力的相互关系,并由此导出平衡微分方程。从图21所示的薄板取出一个微小的单元体PACB (图23),它在z方向的尺寸取为一个单位长度,在x方向和y方向上的长度分别为dx和dy。,平面问题的基本理论,设作用在单元体左侧面上的正应力是 。,平面问题的基本理论,图23,右侧面上坐标x得到增量dx,该面上的正应力为 ,将上式展开为泰勒级数:,平面问题的基本理论,对平面应力状态考虑体力时,仍可证明切应力互等定理。以通过中心D并平行于z 轴的直线为矩轴,列出力矩的平衡方程 :,此处以顺时针转动为正,因为y轴向下,将上式的两边除以 得到:,平面问题的基本理论,下面推导平面应力问题的平衡微

    6、分方程,对单元体列平衡方程:,平面问题的基本理论,平面问题的基本理论,即有平衡微分方程:,这两个微分方程中包含着三个未知函数 。因此决定应力分量的问题是超静定的,还必须考虑形变和位移,才能解出问题。,平面问题的基本理论,对于平面应变问题,虽然前后面上还有 ,但它们完全不影响上述方程的建立。所以上述方程对于两种平面问题都同样适用。,解:选择坐标系如图。因表面无任何面力,、 、 = 0,故表面上在近表面很薄一层 接近平面应力问题。,例题1(习题2-3)试分析说明,在不受任何面力作用的空间体表面附近的薄层中,其应力状态接近于平面应力状态。,解:根据题意,本题中只有 ,且为,ox,y,z,例2(思考题2-4)试分析说明,在板面上处处受到法向约束且不受切向面力作用的等厚度薄板中,在板边上受到xy向的面力和约束且不沿厚度变化时,其应变状态接近于平面应变状态。, 接近平面应变问题。,

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