1、圆学子梦想 铸金字品牌- 1 -温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭 Word 文档返回原板块。课时提升作业(二十三)模拟方法概率的应用一、选择题(每小题 3分,共 18分)1.(2014辽宁高考)将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD中,AB=2,BC=1,则质点落在以 AB为直径的半圆内的概率是 ( )A. B. C. D.2 4 6 8【解析】选 B.阴影部分为半圆,其面积 S 阴 = 12= ,长方形面积 S=21=2.12 2所以由几何概型知质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是 = = .S阴 22 4【变
2、式训练】有如下四个游戏盘,撒一粒黄豆,若落在阴影部分,就可以中奖,若希望中奖的机会最大,则应该选择的游戏是( )圆学子梦想 铸金字品牌- 2 -【解析】选 A.四个选项中中奖的概率分别为 P(A)= ,P(B)= ,P(C)=1- ,P(D)= ,故38 13 4 1P(A)P(B)P(D)P(C),所以选 A.2.(2014枣庄高一检测)已知函数 f(x)=log2x,x ,在区间 上任取一12,2 12,2点 x0,则使 f(x0)0 的概率为 ( )A.1 B. C. D.12 23 34【解析】选 C.欲使 f(x)=log2x0,则 x1,而 x ,所以 x01,2,从而由几何概型1
3、2,2概率公式知所求概率 P= = .21212233.(2014长沙高二检测)在棱长为 a的正方体 ABCD-A1B1C1D1内任取一点 P,则点 P到点 A的距离小于或等于 a的概率为 ( )A. B. C. D. 22 22 16 16【解析】选 D.事件“点 P 到点 A 的距离小于或等于 a”构成的区域是以 A 为球心,a为半径的球的 ,故 P= = .18 184333 64.如图,A 是圆上固定的一点,在圆上其他位置任取一点 A,连接 AA,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率为 ( )A. B.12 32圆学子梦想 铸金字品牌- 3 -C. D.13 14【解析】选 C
4、.当 AA的长度等于半径长度时,AOA= ,由圆的对称性及几何概型得 P= = .3 23213【误区警示】本题易忽视点 A选择的对称性,考虑不周全,造成解题错误.5.一只蚂蚁在边长分别为 3,4,5的三角形区域内随机爬行,则其恰在离三个顶点距离都大于 1的地方的概率为 ( )A. B.1- C.1- D.1-12 3 4 12【解题指南】求出三角形的面积;再求出距三角形的三顶点距离小于等于 1 的区域为三个扇形,三个扇形的和是半圆,求出半圆的面积;利用对立事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率.【解析】选 D.三角形 ABC 的面积为 S1= 34=6
5、.12离三个顶点距离都不大于 1 的地方的面积为 S2= ,2所以其恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为 P=1- =1- .S21 126.(2013湖南高考)已知事件“在矩形 ABCD的边 CD上随机取一点 P,使APB的最大边是 AB”发生的概率为 ,则 = ( )12 圆学子梦想 铸金字品牌- 4 -A. B. C. D.12 14 32 74【解题指南】本题的关键是找出使APB 的最大边是 AB 的临界条件,首先是确定ADAB,然后作出矩形 ABCD,最后分别以 A,B 为圆心以 AB 为半径作圆弧交CD 于 F,E,当 EF= CD 时满足题意.12【解析】选 D.如图,在
6、矩形 ABCD 中,以 AB 为 半径作圆交 CD分别于点 E,F,当点 P 在线段 EF 上运动时满足题设要求,所以E,F 为 CD 的四等分点,设 AB=4,则 DF=3,AF=AB=4,在直角三角形 ADF 中,AD= = ,所以 = .A22 7A74二、填空题(每小题 4分,共 12分)7.(2013湖北高考)在区间-2,4上随机地取一个数 x,若 x满足|x|m 的概率为 ,则 m=_.56【解题指南】解绝对值不等式,根据几何概型利用区间长度之比求解.【解析】由|x|m,得-mxm,当 m2 时,由题意 = ,m=2.5 矛盾,舍去;26 56当 2m4 时,由题意得 = ,解得
7、m=3.m(2)6 56答案:38.已知正方体 ABCD -A1B1C1D1内有一个内切球 O,则在正方体 ABCD -A1B1C1D1内任取点 M,点 M在球 O内的概率是_.【解析】设正方体的棱长为 2.圆学子梦想 铸金字品牌- 5 -正方体 ABCD -A1B1C1D1 的内切球 O 的半径是其棱长的一半,其体积为V1= 13= .43 43则点 M 在球 O 内的概率是 = .43236答案:69.(2013南昌高二检测)如图,半径为 10cm的圆形纸板内有一个相同圆心的半径为 1cm的小圆.现将半径为 1cm的一枚硬币抛到此纸板上,使硬币整体随机落在纸板内,则硬币落下后与小圆无公共点
8、的概率为_.【解析】由题意,硬币的中心应落在距圆心 29cm 的圆环上,圆环的面积为 92-22=77(cm2),故所求概率 为 = .77817781答案:7781三、解答题(每小题 10分,共 20分)10.(2014长春高二检测)在街道旁边有一游戏:在铺满边长为 9cm的正方形塑料板的宽广地面上,掷一枚半径为 1cm的小圆板.规则如下:每掷一次交 5角钱,若小圆板压在边上,可重掷一次;若掷在正方形内,需再交 5角钱才可玩;若压在圆学子梦想 铸金字品牌- 6 -正方形塑料板的顶点上,可获得一元钱.试问:(1)小圆板压在塑料板的边上的概率是多少?(2)小圆板压在塑料板顶点上的概率是多少?【解
9、析】(1) 如 图(1) 所示 ,因为小圆板的中心 O 落在正方形 ABCD 内任何位置是等可能的,小圆板与正方形塑料板 ABCD 的边相交接是在圆板的中心 O 到与它靠近的边的距离不超过 1cm 时,所以小圆板的中心 O 落在图中阴影部分时,小圆板就能与塑料板 ABCD 的边相交接,这个范围的面积等于 92-72=32(cm2),因此所求的概率是 = .32923281(2)小圆 板与正方形的顶点相交接是在圆心 O 与正方形的顶点的距离不超过小圆板的半径 1cm 时,如图(2) 阴影部分,四块合起来面 积为 cm2,故所求概率是 .8111.在半径为 1的圆内一条直径上任取一点,过这个点作垂
10、直于直径的弦,求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率.【解析】记事件 A=弦长超过圆内接等边三角形的边长,如图,不妨在过等边三角形 BCD 的顶点 B 的直径 BE 上任取一点 F 作垂直于直径的弦,当弦为 CD 时,就是等边三角形的边长,弦长大于CD 的充要条件是圆心 O 到弦的距离小于 OF,由几何概型公式得 P(A)= = .1222 12圆学子梦想 铸金字品牌- 7 -【变式训练】(2013临沂高一检测)已知平面区域 = ,直(,)| 0,42线 y=mx+2m和曲线 y= 有两个不同的交点 ,它们围成的平面区域为 M,向区42域 上随机投一点 A,点 A落在区域 M内的概率为 P(M)
11、,若 0m1,则 P(M)的取值范围为 ( )A. B.(0,22 (0,+22C. D. +22,1 22,1【解析】选 D.已知直线 y=mx+2m 过半圆 y= 上一点(-2,0), 当 m=0 时,直线42与 x 轴重合,这时 P(M)=1,故可排除 A,B,若 m=1,如图可求得 P(M)= ,故选 D. 22一、选择题(每小题 3分,共 12分)1.(2014湖南高考)在区间-2,3上随机选取一个数 X,则 X1 的概率为 ( )A. B. C. D.45 35 25 15【解析】选 B.基本事件空间为区间-2,3,它的度量是长度 5,X1 的度量是 3,所以所求概率为 .352.
12、(2014临沂高一检测)如图,在半径为 R的圆内随机撒一粒黄豆,它落在圆内接正三角形内(阴影部分)的概率是 ( )圆学子梦想 铸金字品牌- 8 -A. B. C. D.34 334 34 334【解析】选 D.因为 S 圆 =R2,S 三角形 =3 2 R R= R2,所以落在圆内接正三12 32 12 334角形内的概率是 = = .S三角形 圆33422 3343.(2013淄博高一检测)在面积为 S的ABC 的边 AB上任取一点 P,则PBC 的面积不小于 的概率是 ( )3A. B. C. D.23 13 34 14【解析】选 A.记事件 A= PBC 的面积大于等于 ,基本事件空间是
13、线段 AB 的长S3度,圆学子梦想 铸金字品牌- 9 -如图,因为 SPBC ,则有 BPCD ABCD.S3 12 1312化简即得 ,B13所以,事件 A 的几何度量为线段 AP 的长度,因为 AP= AB,23所以 P(A)= = ,故选 A.A234.如图,在AOB 中,已知AOB=60,OA=2,OB=5,在线段 OB上任取一点 C,则AOC为钝角三角形的概率为 ( )A.0.6 B.0.4 C.0.2 D.0.1【解题指南】试验发生包含的事件对应的是长度为 5 的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况,第一种ACO 为钝角,第二种 OAC 为钝角,根据等可能事件的概
14、率得到结果.【解析】选 B.试验发生包含的事件对应的是长度为 5 的一条线段,满足条件的事件是组成钝角三角形,包括两种情况:第一种ACO 为钝角,这种情况的边界是ACO=90的时候,此时 OC=1,所以这种情况下,满足要求的是 0OC1.第二种OAC 为钝角,这种情况的边界是OAC=90的时候,此时 OC=4,所以这种情况下,满足要求的是 4OC5.圆学子梦想 铸金字品牌- 10 -综合两种情况,若AOC 为钝角三角形,则 0OC1 或 4OC5.所以概率 P= =0.4.25【误区警示】本题易出现只考虑一种情况的错误,致使所得结果为 0.2.二、填空题(每小题 4分,共 8分)5.(2014
15、重庆高考)某校早上 8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:307:50 到校,且每人在该时间段内的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早 5分钟到校的概率为_.(用数字作答)【解题指南】可设出两人到校的时刻,列出两人到校时刻满足的关系式,再根据几何概型的概率公式进行求解.【解析】设小张与小王到校的时刻分别为 7:30 之后 x,y 分钟,则由题意知小张比小王至少早 5 分钟到校需满足 y-x5,其中 0x20,0y20.所有的基本事件构成的区域为一个边长为 20 的正方形,随机事件“小张比小王至少早 5 分钟到校” 构成的区域为阴影部分.由几何概型的概率公式可知,其概率为 P=
16、 = .1215152020 932答案:9326.在区间-2,3上任取一个实数 a,则使直线 ax+y+1=0截圆 O:x2+y2=1所得弦长d 的概率是_.2,455【解题指南】由给出的弦长范围,求出圆心到直线 ax+y+1=0 的距离的范围,再由点圆学子梦想 铸金字品牌- 11 -到直线的距离公式写出圆心到直线的距离,列式求出 a 的范围,然后用长度比求概率.【解析】如图.直线 ax+y+1=0 截圆 O:x2+y2=1 所得弦长 d=AB ,则半弦长 BC 2,455,22,255因为圆的半径等于 1,所以圆心到直线 ax+y+1=0 的距离 OC ,即 55, 22 55 ,得-2a
17、-1 或 1a2.12+1 22又 a-2,3,所以在区间-2,3上任取一个实数 a,则使直线 ax+y+1=0 截圆O:x2+y2=1 所得弦长 d 的概率是 = . 2,455 -1(2)+(21)3(2) 25答案:25【误区警示】解答本题时易出现利用直线和圆的方程求弦长的解法,这样会使解答过程烦琐、易错,甚至解不出答案.通过本题的解答应该学会抓住问题的本质,适时将问题转化,养成转化与化归的意识.三、解答题(每小题 10分,共 20分)7.已知-2x2,-2y2,点 P的坐标为(x,y).圆学子梦想 铸金字品牌- 12 -(1)求当 x,yR 时,P 满足(x-2) 2+(y-2)24
18、的概率.(2)求当 x,yZ 时,P 满足(x-2) 2+(y-2)24 的概率.【解题指南】(1)为几何概型,作出图形,利用几何概型的概率公式求解.(2)是古典概型,需分别求出满足-2x2,-2y2 的点及(x-2) 2+(y-2)24 的点的个数,利用古典概型的概率公式求解.【解析】(1) 如 图,点 P 所在的区域为正方形 ABCD 的内部(含边 界), 而 满足(x-2) 2+(y-2)24 的点 P 的区域为以(2,2)为圆心,2 为半径的扇形区域(含边界).所以所求的概率P1= = .142244 16(2)满足 x,yZ,且-2x2,-2y2 的点(x,y) 有 25 个,满足
19、x,yZ,且(x-2) 2+(y-2)24的点(x,y) 有 6 个,所以所求的概率 P2= .625【变式训练】(2013天水高一检测)甲、乙两人约好在“五一”长假时间去天水市石马坪南山牡丹园观花游玩,决定在早晨 7点半到 8点半在石马坪的惠民商场门口会面,并约定先到者等候另一人 15分钟,若未等到,即可离开惠民商场门口,直接去牡丹园观花,大家算一算两人会面后一起去观花的概率是多少.【解题指南】由题意知本题是一个几何概型,试验发生包含的所有事件对应的集合是 =(x,y)|7.5x8.5,7.5y8.5,作出集合对应的图形是边长为 1 的正方形,写出满足条件的事件对应的集合,画出图形,根据面积
20、之比得到概率.【解析】由题意知本题是一个几何概型,因为试验发生包含的所有事件对应的集合是 =(x,y)|7.5x8.5,7.5y8.5,圆学子梦想 铸金字品牌- 13 -集合对应的面积是边长为 1 的正方形的面积 S=1,而满足条件的事件对应的集合是A= .(,)|7.58.5,7.58.5,|14如图:由几何图形面积公式得到 SA= ,716所以两人能够会面的概率是 = .7161 7168.如图,已知 AB是半圆 O的直径,AB=8,M,N,P 是将半圆圆周四等分的三个分点,(1)从 A,B,M,N,P这 5个点中任取 3个点,求这 3个点组成直角三角形的概率.(2)在半圆内任取一点 S,
21、求三角形 SAB的面积大于 8 的概率.2【解析】(1) 从 A,B,M,N,P 这 5 个点中任取 3 个点,一共可以组成 10 个三角形: ABM,ABN,ABP,AMN,AMP,ANP,BMN,BMP,BNP,MNP,其中是直角三角形的只有ABM, ABN,ABP,3 个,所以所取这 3 个点组成直角三角形的概率 P= .310圆学子梦想 铸金字品牌- 14 -(2)连接 OM,OP,ON,MP,取线段 MP 的中点 D,则 ODMP,易求得 OD=2 ,2当 S 点在线 段 MP 上时 ,SABS= 2 8=8 ,12 2 2所以只有当 S 点落在阴影部分 时,三角形 SAB 的面积才
22、能大于 8 ,而 S 阴影 =2S 扇形 MOP-SOMP= 42- 42=4-8,122 12所以由几何概型公式得三角形 SAB 的面积大于 8 的概率 P= = .2488 22【拓展提升】求解概率问题的步骤(1)判断 类型 :是古典概型 还是几何概型.(2)求解 总的基本事件及所求事件的个数( 古典概型) 或总的基本事件及所求事件构成空间的长度、面积、体积或角度(几何概型 ).(3)利用相 应 概率类型的概率公式求解概率.【变式训练】设点(p,q)在|p|3,|q|3 中按均匀分布出现,试求方程 x2+2px-q2+1=0的两根都是实数的概率.【解析】设基本事件总数为区域 D,则 SD=62=36.由方程 x2+2px-q2+1=0 的两根都是实数得=(2p)2-4(-q2+1)0,圆学子梦想 铸金字品牌- 15 -所以 p2+q21.所以当点(p,q)落在如图所示的阴影部分时,方程的两根均为实数,由图可知,所求事件构成的区域为 d,则 Sd=S 正方形 -SO =36-.由几何概型公式可得, = .S3636关闭 Word 文档返回原板块
