1、对一道竞赛试题的思考杨广亮(高新区枫杨街 郑州外国语学校 河南 郑州 450001）题目 设 为锐角三角形， ， ， 分别是 的重心 向边 ，ABCMNPABCGAB， 所作垂线的垂足. 证明： （第 16 届巴尔干地区数学奥林匹克）BC41274ABCS1我们知道， “重心” 、 “内心” “垂心”是三角形的三个比较特殊的点，在各类竞赛试题中对三心的考查也是屡见不鲜的，这里，笔者通过类比发现，将试题中的“重心”改为“内心” 、 “垂心”后，仍有类似的面积问题值得我们探究.同时我将给出在同一锐角三角形中，由三心向各边做垂线所形成的垂足三角形面积大小关系.命题 1 设 为任意三角形， ， ， 分
2、别是 的内心 向边 ，ABCMNPABCGAB， 所作垂线的垂足. 证明：BC41ABCS引理 若 是区间 上的上凸函数， ， ，, ,则2xfyba， 1x2baxn，nxfnffn 2121当且仅当 时上式等号成立.xx21证明：如图 1，设 ， ， 长分别为 ， ， ，内切圆BCAabc半径为 ，则 ，记 ， rrGPNMp21的面积为 .ABCS即有 ，cbapr而 ， ， ，ABCNGP图 1CBAr rrSSNGPMGPMNsinisin21sin2121 aArcbaArcbarSMNP sinsii21i 将带入有由三角形和差化积公式和倍角公式化简得又在 中， 有 ， ， AB
3、C2BC20，从而 ，3sinisinisni CA当且仅当 时上式等号成立.CBA已知 ， ， ，而 在 上为上凸函数，220， xfsin20，由引理知 ，13si32isini CBAC此处也是当且仅当 时上式等号成立.BA从而上式两处等号同时成立的条件是当且仅当 时，即 为等边三角形时.CBAAB命题 2 设 为锐角三角形， 为 的垂心， ， ， 分别为 ，ABCGMNPAB， 边的垂足. 证明：BC41ABCMNPS证明:如图 2， 为 垂足三角形，可证得SABCMNPcoss3后面求范围过程类似于命题 2，可证明 ，读者可81cosCBAaApcbaSMNPsin CBACBAsi
4、nsinsinsin21sinsiSMNP4132sini2sinsi2nsi 3 CSMNP图 2试着证明.面积关系 在锐角三角形 中，我们把由垂心，内心，重心向三边作垂线形成ABC的垂足三角形依次记为 ， ， .则1S23321S证明：已知 下面仅证4在 中ABC易证 2sini2sin41coscos CBACB由1知 ， 又有 ABSS9iniin2223 ABCSSsii从而只需证 ASCAB22222232 sinisin189sinisin 1coscos3418222CB也即证 5cso2csocs9 2CBACBA此即转化为在条件 ，且 ， ， 下，求函数0，的最大值问题.C
5、BF 222coscosscos9 ，设 CBABACBAAL 222cscscs，得方程组 .02sini90in2i9CBALL，易知 CB2sini9sii2sini 令 ，xxg9则 ，其中， . 320916cos82s4co9xxg 20，x当 时， ，其中， ，160s0g0在 上， ， 单调递增；在 上， ，0x，0x20，x0xg单调递减.g从而若 ，则 ， ， 中至少有两个相等.321xgx12x3由知 ，若只有两个相等，不妨设CBABA则 sinisin从而 C2i929，ii163令 ， ， 则sinCttt3248 tt（）当 时，知 ，故 ，BA2C1，t当 时，
6、，易求得 ，从而与2410t0t7,69，t矛盾.9sinsi63C（）当 时，知 ，故 ，BA30C210，t易求得 ，也与 矛盾.9，t9sin2si16从而由（） ， （）知，必有 .也即通过解方程组我们得到唯一一个稳定点 ，而这个稳定点处的值 即是我3， 15们所求 的最大值，从而到此问题得证，有 成立.CBAF， 32S参考文献1周沛耕 王博程. 数学奥林匹克标准教材M. 北京教育出版社文津出版社 .P484 2魏大宽. 凸函数的性质及应用J. 零陵师专学报.19963曾仪. 垂足三角形周长和面积的简证J.中学数学月刊.20074赵心敬 焦和平.三角形的内接三角形面积的不等式链J.数学通报 1996
