1、北京英才苑 高三数学第二轮复习教案第 10 讲 参数取值问题的题型与方法（4 课时）求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们分四个方面来探讨。一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。例 1已知当 x R 时，不等式 a+cos2x3 即 a+245aa上式等价于 或 ，解得 a0,( t 1,1)恒成立。设 f(t)= 2t2 4t+4 a+ 则二次函数的对称轴为 t=1,f(x)在 1，1内单调递减。只需 f(1)0,即 a 2.(下
2、同)45a例 2已知函数 f(x)在定义域（ ，1上是减函数，问是否存在实数 k，使不等式 f(k sinx) f(k2 sin2x)对一切实数 x 恒成立？并说明理由。分析：由单调性与定义域，原不等式等价于 k sinxk 2 sin2x1 对于任意 xR 恒成立，这又等价于对于任意 xR 恒成立。)2()1(sin41222xk不等式（1）对任意 xR 恒成立的充要条件是 k2(1+sin 2x)min=1,即 1k1-(3)不等式（2）对任意 xR 恒成立的充要条件是 k2 k+ (sinx )2max= ,4149即 k 1 或 k2,-(4)由（3） 、 （4）求交集，得 k= 1,
3、故存在 k= 1 适合题设条件。说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。例 3设直线 过点 P（0，3） ，和椭圆 顺次交于 A、B 两点，试求 的取值范围.l xy294APB分析：本题中，绝大多数同学不难得到： = ，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握APBx不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程） ，这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路 1: 从第一条想法入手， = 已经是一个关系式，但由于有两个变量 ，同时这两个变量的范围PBAx BAx,不好控制
4、，所以自然想到利用第 3 个变量直线 AB 的斜率 k. 问题就转化为如何将 转化为关于 k 的表达式，BAx,到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去 y 得出关于 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.x解 1：当直线 垂直于 x 轴时，可求得 ；l 51PBA当 与 x 轴不垂直时，设 ，直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得l )(,21yx， l3kxyy，045492kk解之得 .956722,1kx因为椭圆关于 y 轴对称，点 P 在 y 轴上，所以只需考虑 的情形.0k当 时， ， ，0k421kx 4956272x所以 = = = .21xPBA5925218k25918k由
5、 , 解得 ，048)54(2k9所以 ，51912综上 .51PBA思路 2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的k k桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于 不是关于 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的21xPBA21,x方法自然也就有了，即我们可以构造关于 的对称关系式.21,x把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去y 得到关于 x 的一元二次方程xA+ xB = f（k） ，x A xB = g（k）
6、构造所求量与 k 的关系式关于所求量的不等式韦达定理AP/PB = （x A / xB）由判别式得出 k 的取值范围所求量的取值范围把直线 l 的方程 y = kx+3 代入椭圆方程，消去 y得到关于 x 的一元二次方程xA= f（k） ，x B = g（k ）得到所求量关于 k 的函数关系式求根公式AP/PB = （x A / xB）由判别式得出 k 的取值范围解 2：设直线 的方程为： ，代入椭圆方程，消去 得l3kxyy（*）045492kx则 令 ，则，.495,21kx21x .231k在（*）中，由判别式 可得 ，,0952k从而有 536204k，所以，1解得 .5结合 得0.
7、15综上， .51PBA说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例 4 （2003 年江苏卷第 11 题、天津卷第 10 题）已知长方形四个顶点 A（0，0） ，B （2，0） ，C（2，1）和D（0，1）.一质点从 AB 的中点 P 沿与 AB 夹角为 的方向射到 BC 上的点 P1 后，依次反射到
8、 CD、DA 和 AB 上的点 P2、P 3 和 P4（入射角等于反射角） .设 P4 的坐标为（x 4，0）.若 11,并且必须也只需当 x=2 时 y2 的函数值大于等于 y1 的函数值。故 loga21,a1, 10，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于） 或） 亦可合并定成0)(mfa0)(nfa0)(nfm同理，若在m,n 内恒有 f(x)2p+x 恒成立的 x 的取值范围。分析：在不等式中出现了两个字母：x 及 P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在 2，2 内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题。略解：不
9、等式即(x 1)p+x2 2x+10,设 f(p)= (x 1)p+x2 2x+1,则 f(p)在 2,2上恒大于 0，故有：即 解得：)2(0f0134x13x或或x3.例 8.设 f(x)=x2 2ax+2,当 x 1,+ )时，都有 f(x) a 恒成立，求 a 的取值范围。分析：题目中要证明 f(x) a 恒成立，若把 a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间 1,+ )时 恒大于 0 的问题。解：设 F(x)= f(x) a=x2 2ax+2 a.)当 =4（a 1)(a+2)0.则原方程有解即方程 t2+(4+a)t+4=0 有正根。即04)(21a4016)(2a 4
10、80a或解得 a 8.解法 2（利用根与系数的分布知识）：即要求 t2+(4+a)t=0 有正根。设 f(x)= t2+(4+a)t+4.10. =0,即（4+a） 2 16=0,a=0 或 a= 8.a=0 时，f(x)=(t+2) 2=0,得 t= 20,符合题意。a= 8.20. 0,即 a0 时，f(0)=40,故只需对称轴 ，即 a0,y0,x,yZ） 。12058230y计年利润为 s，那么 s3x+6y-2.4x-4y，即 s0.6x+2y作出不等式表示的平面区域。问题转化为求直线 0.6x+2x s0 截距的最大值。过点 A 作 0.6x+2y=0 的平行线即可求出 s 的最大
11、值。联立 得 A（18,12） 。1205823yx将 x18，y12 代入 s0.6x+2y 求得 Smax34.8。设经过 n 年可收回投资，则 11.6+23.2+34.8(n 2)=1200，可得 n33.5。学校规模初中 18 个班级，高中 12 个班级，第一年初中招生 6 个班 300 人，高中招生 4 个班 160 人。从第三年开始年利润 34.8 万元，大约经过 36 年可以收回全部投资。说明：本题的背景材料是投资办教育，拟定一份计划书，本题是计划书中的部分内容。要求运用数形结合思想，解析几何知识和数据处理的综合能力。通过计算可知，投资教育主要是社会效益，提高整个民族的素质，经
12、济效益不明显。五、强化训练1 （南京市 2003 年高三年级第一次质量检测试题） 若对 个向量 存在 个不全为零的实数nna,21，使得 成立，则称向量 为“线性相关” 依此规定， 能说明nk,2 021naka a,21， ， “线性相关”的实数 依次可以取 （写出一组数值即可，不必考1(0)a2(,)3(,) 3,k虑所有情况） 2已知双曲线 ，直线 过点 ，斜率为 ，当 时，双曲线的上支上有且仅有一12:xyCl0,2A10k点 B 到直线 的距离为 ，试求 的值及此时点 B 的坐标。lk3设函数 f(x)=2x-1 2-x-1,x R,若当 0 时，f(cos 2 +2msin )+f
13、( 2m 2)0 恒成立，求实数 m 的取值范围。4已知关于 x 的方程 lg(x +20x) lg(8x 6a 3)=0 有唯一解，求实数 a 的取值范围。5试就 的不同取值，讨论方程 所表示的曲线形状，并指出其焦点坐标。k22()(6)()2kxkyk6某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况（如资金、劳动力）确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大。已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表：单位产品所需资金（百元）资金空调机 洗衣机 月资金供应量（
14、百元）成本 30 20 300劳动力 （工资）5 10 110单位利润 6 8试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？7某校伙食长期以面粉和大米为主食，而面食每 100 克含蛋白质 6 个单位，含淀粉 4 个单位，售价 0.5 元，米食每 100 克含蛋白质 3 个单位，含淀粉 7 个单位，售价 0.4 元，学校要求给学生配制盒饭，每盒饭至少有 8 个单位的蛋白质和 10 个单位的淀粉，问应如何配制盒饭，才既科学又费用最少？8发电厂主控室的表盘，高 m 米，表盘底边距地面 n 米。问值班人员坐在什么位置上，看得最清楚？（值班人员坐在椅子上眼睛距地面的高度一般为
15、1.2 米）9. 某养鸡厂想筑一个面积为 144 平方米的长方形围栏。围栏一边靠墙，现有 50 米铁丝网，筑成这样的围栏最少要用多少米铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？六、参考答案1分析：本题将高等代数中 维向量空间的线形相关的定义，移植到平面向量中，定义了 个平面向量线性相n n关在解题过程中，首先应该依据定义，得到 ，即 ，于是1230kak123(,)(,1)(,2)0kk，所以 即 则 所以， 的值依次12323(,)0kk1230,.1234,.123:4:123,k可取 （ 是不等于零的任意实数） 4c2分析 1：解析几何是用代数方法来研究几何图形的一门学科，因此，数形结
16、合必然是研究解析几何问题的重要手段. 从“有且仅有”这个微观入手，对照草图，不难想到：过点 B 作与 平行的直线，必与双曲线 C 相切. 而相l切的代数表现形式是所构造方程的判别式 . 由此出发，可设计如下解题思路：01)2(: kxkyl kkxyl 2: 把直线 l的方程代入双曲线方程，消去 y，令判别式 0直线 l在 l 的上方且到直线 l 的距离为 2的 值解 得 k解题过程略.分析 2：如果从代数推理的角度去思考，就应当把距离用代数式表达，即所谓“有且仅有一点 B 到直线 的距离l为 ”，相当于化归的方程有唯一解. 据此设计出如下解题思路：解：设点 为双曲线 C 上支上任一点，则点
17、M 到直线 的距离为：)2,(xM l212k10k于是，问题即可转化为如上关于 的方程.x由于 ，所以 ，从而有10kk2 .22kxk于是关于 的方程x)1(22kxk0)1( ,(2 2kxkx .2)( ,02)1(2)1(2kxk kkxx由 可知：10方程 的二根同正，故 02)1(2)1(22 kkxx恒成立，于是 等价于0)(2kk.02)1()(222 kkxkx由如上关于 的方程有唯一解，得其判别式 ，就可解得 .x05说明：上述解法紧扣解题目标，不断进行问题转换，充分体现了全局观念与整体思维的优越性.3分析与解：从不等式分析入手，易知首先需要判断 f(x)的奇偶性和单调性
18、，不难证明，在 R 上 f(x)是奇函数和增函数，由此解出 cos2 +2msin 0,t0,1-(*)恒成立时，求实数 m 的取值范围。接下来，设 g(t)=t2 2mt+(2m+1),按对称轴 t=m 与区间0，1的位置关系，分类使 g(t)min0,综合求得 m .12转化为一元二次方程根的问题求解问题关于 x 的方程 有唯一解10212kkx本题也可以用函数思想处理，将（*）化为 2m(1 t) (t2+1),t0,1当 t=1 时，mR;当 0th(t)=2 (1 t)+ ,由函数 F（u)=u+ 在（ 1，1 上是减函数，易知当 t=0 时，h(x) max=t12u1, m ,综
19、合（1） 、 （2 ）知 m 。说明：本题涉及函数的奇偶性、单调性、二次函数的条件极值、不等式等知识，以及用函数的思想、数形结合、分类讨论、转化和化归的思想方法解题，是综合性较强的一道好题。4分析：方程可转化成 lg(x2+20x)=lg(8x 6a 3),从而得 x2+20x=8x 6a 30,注意到若将等号两边看成是二次函 数y= x2+20x 及一次函数 y=8x 6a 3，则只需考虑这两个函数的图象在 x 轴上方恒有唯一交点即可。解：令 y1= x2+20x=（x+10） 2 100,y2=8x 6a 3,则如 图所示，y 1 的图象为一个定抛物线，y 2 的图象是一条斜率为定值 8，
20、而截距不定的直线，要使 y1 和 y2 在 x 轴上有唯一交点，则直线必须位于 l1 和 l2 之间。 （包括 l1 但不包括 l2)当直线为 l1 时，直线过点（ 20，0）此时纵截距为 6a 3=160,a= ;63当直线为 l2 时，直线过点（0 ，0） ，纵截距为 6a 3=0，a= 2a 的范围为 ， ） 。61325解：（1）当 时，方程化为 ，表示 轴。k0yx（2）当 时，方程化为 ，表示 轴x（3）当 时，方程为标准形式：,621(*)6yk当 时，方程化为 表示以原点为圆心， 为半径的圆。24kkx2当 时，方程（*）表示焦点在 轴上的双曲线，焦点为 (8,0)k当 时，方
21、程（*）表示焦点在 轴上的椭圆，焦点为当 时，方程（*）表示焦点在 轴上的椭圆，焦点为46ky,当 时，方程（*）表示焦点在 轴上的双曲线，焦点为 (2)k6解：设空调机、洗衣机的月供应量分别是 x、y 台，总利润是 P，则 P6x+8y由题意：30x+20y 3005x+10y110x0，y0x、y 均为整数画图知直线 y3/4x 1/8P 过 M（4,9）时，纵截距最大，这时 P 也取最大值 Pmax648996（百元）故：当月供应量为：空调机 4 台，洗衣机 9 台时，可获得最大利润 9600 元。7解：设每盒盒饭需要面食 x（百克） ，米食 y（百克）则目标函数为 S0.5x+0.4y
22、 且 x，y 满足 ： 6x+3y8 4x+7y10 x0 ，y0画图可知，直线 y5/4x+5/2S过 A（13/15,14/15）时，纵截距 5/2S 最小，即 S 最小。xyl1l2l-20 o故每盒盒饭为 13/15 百克，米食 14/15 百克时既科学又费用最少。8解答从略，答案是： 值班人员的眼睛距表盘距离为 （米） 。本题材料背景:仪表)2.1)(.nmx及工业电视，是现代化企业的眼睛，它总是全神贯注地注视着生产内部过程，并忠实地把各种指标显示在值班人员的面前。这就要在值班人员和仪表及工业电视之间，建立某种紧密的联系，联系的纽带是值班人员的眼睛！因此只有在最佳位置上安排值班人员的
23、座位，才能避免盲目性。9.解：假设围栏的边长为 x 米和玉米，于是由题设可知 x0，y0，且xy144 （1）2x+y50 （2）双曲线 xy144 在第一象线内的一支与直线 2xy50 的交点是 A（ ） ，B（3725,） ，满足条件（1） 、 （2）的解集是在双曲线 xy144（ ） ，这一3725, 2375x段上的点集（即如图中双曲线 A、B 之间的一段） ，当过双曲线 A、B 之间上的任一点作一点作直线2xyk（k0）就是相应需用铁丝网的长度，直线 2x+y=k（k0）与双曲线 xy144 相切。这时，相应的 k 值最小，消去 y 得 x 的二次方程： ，从0 得 ， 即 k24 （米）所需用142kx 01422铁丝网的最短长度为 24 米。从图中知，利用已有墙的最大长度由点 A 的纵坐标给出，即 米，利用墙375的最短长度由 B 纵坐标给出，即 米。375
