1、2016 年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷 1 至 3页，第卷 4 至 6 页，满分 150 分考生注意： 1答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致2第卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号第卷用 0.5 毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效3考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并交回第 卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5
2、 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知 ， 是虚数单位，若 与 互为共轭复数，则,abRiia2ib2(i)ab（A） （B）3434（C） （D ）5i5i（2）执行如图所示的程序框图，若要使输出的 的值等于 3，y则输入的 的值可以是 x（A） （B） （C）8 （D）129（3）已知 ， ，则 的值等于3cos252sin（A） （B） （C） （D）15145245（4）已知 ，则“ ”是“ ”的0,abab（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件（5）若 满足约束条件 则 的取值范围为,xy20,xy1yx（
3、A） （B） 1,35 ,3（C） （D）,1,（6）已知等比数列 的各项均为正数且公比大于 1，前 项积为 ，且 ，则nannT243a使得 的 的最小值为1nT（A）4 （B）5 （C）6 （D）7（7）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的各个面的面积中，最小的值为（A） （B）8 （C） （D）254582（8）在 中， ， ， ， ，则BC3A23A2MBAC（A） （B） （C） （D） 14 13（9）若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为（A） （B） （C ） （D）5123263（10）在
4、三棱锥 中，PC， ， ， ， ，则三棱锥 外接球的37A32ABPABC表面积为（A） （B） （C） （D）4163316（11）已知 分别为双曲线 的左、右焦点，若点 是以12,F210,xyab： P为直径的圆与 右支的一个交点， 交 于另一点 ，且 ，则12C1PFQ12F的渐近线方程为C（A） （B ） （C） （D）（12）已知 是定义在 上的减函数，其导函数 满足 ，则下列)(xfRfx 1fx结论正确的是（A）对于任意 ， 0 x)(xf Rx)(xf（C）当且仅当 ， 01,1第卷注意事项：第卷共 3 页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答若在试题卷上作答，答案无效本卷包
5、括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须做答。第 22 题第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）若随机变量 ，且 ，则 2,XN:10.2PX5PX（14）若 展开式中的常数项为 ，则 51ax4a（15）若数列 的各项均为正数，前 项和为 ，且 ，则 nnnS111,nnSa25（16）已知点 ，且平行四边形 的四个顶点都在函数53,1,2ABABCD的图象上，则四边形 的面积为 2logxf三解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）在 ABC中， ，点 D在
6、边 AB上， ，且 31DAC（）若 的面积为 ，求 ；C（）若 ，求 （18） （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 中，底面 为等腰直角三角形， ，1ABCABC1ABC， 12B160（）证明： ；1（）若 ，求 与平面 所成角的正弦值1CA1BC（19） （本小题满分 12 分）甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司底薪 70 元，每单抽成 2 元；乙公司无底薪， 40 单以内( 含 40 单) 的部分每单抽成 4 元，超出 40 单的部分每单抽成 6元假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其 100 天的送餐单数，得到如下频数
7、表：（）现从甲公司记录的这 100 天中随机抽取两天，求这两天送餐单数都大于 40 的概率；（）若将频率视为概率，回答以下问题：（）记乙公司送餐员日工资为 (单位：元), 求 的分布列和数学期望； XX（）小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由.（20） （本小题满分 12 分）已知抛物线 的焦点为 ，过 且垂直于 轴的直线与抛物线 交于2:0EypxFxE两点，以 为圆心的圆过点 ，且 ,STP3, ,ST90P（）求抛物线 和圆 的方程；（）设 是圆 上的点，过点 且垂直于 的直线 交 于 两点，证明：MMFlE,
8、ABFAB（21） （本小题满分 12 分）已知函数 ， 曲线 与 在原点处ln1fxaxe1xgyfxygx的切线相同（）求 的单调区间；fx（）若 时， ，求 的取值范围0gkfx请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22） （本小题满分 10 分）选修 ：几何证明选讲41如图， 的两条中线 和 相交于点 ，且 四点共圆ABCADBEG,DCE（）求证： ；G（）若 ，求 1G（23） （本小题满分 10 分)选修 ：坐标系与参数方程4在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，在以原xOyC3cos,inxy点为
9、极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 . li24（）求 的普通方程和 的倾斜角；Cl（）设点 ， 和 交于 两点，求 0,2P,ABPB（24） （本小题满分 10 分）选修 ：不等式选讲45已知函数 .1fx（）求不等式 的解集 ；2xM（）设 ，证明： ,abMfabffb2016 年福建省普通高中毕业班质量检查理科数学试题答案及评分参考评分说明：1本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后
10、继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分数选择题和填空题不给中间分一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 60 分 （1）B （2）C （3）D （4）A （5）B （6）C（7）B （8）C （9）D （10）D （11）A （12）B二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算每小题 5 分，满分 20 分 （13） （14） （15） （16） 0.332623三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（1
11、7）本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想等满分 12 分解法一：（）因为 , 即 ， 2 分=3BCDS 1sin32B又因为 , ，所以 3 分314在 中,由余弦定理得， ,5 分B22cosDCB即 ，解得 6 分2643CD13（）在 中， ，可设 ，则 ，ACAA又 ，由正弦定理，有 ， 7 分3sin2i所以 8 分2cosCD在 中, ，BDC2,3BCD由正弦定理得， ，即 ， 10 分sini 1cos2ini()化简得 ，2coi()3于是 11 分sn)s因为 ，所以 ，0220,3
12、3所以 或 , 3+=解得 ，故 12 分=618或 618DCA或解法二：（）同解法一（）因为 ，A所以 取 中点 ，连结 ，CED所以 7 分设 ， 因为 ，所以 A3AC32EAC在 中， 8 分RtCDEcos2cosD以下同解法一（18）本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想等满分 12 分解法一：（）连结 ，在 中， ，1AB1 11,2,60ABAB由余弦定理得， ， 22cos3 ， 1 分13 ，221B 2 分1A又 为等腰直角三角形，且 ，C ABCC 1B1A1A
13、BCDEACB ，ACB又 ，1 平面 4 分又 平面 ，11 5 分ABC（） ，113,2ABC ， 6 分221如图，以 为原点，以 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空1,间直角坐标系，7 分则 ， 10,3,0ABC， ， ， ， ， ， ， ， ， 8 分1 1,设平面 的法向量 ，Cxyzn由 得 令 ，得 10,B30,3xy平面 的一个法向量为 91,1n分 1110,31,ACACB，10 分 ，.11 分11 3105cos,|7ACn 与平面 所成角的正弦值为 12 分11B解法二：（）同解法一（）过点 作 平面 ，垂足为 ，连结 ，AH1CH1C则 为
14、与平面 所成的角 6 分1C1B由（） 知， ， ， ， ，13AA12B ， ，2211ABxzyA 1B1 C1ABC又 ， 平面 ， 7 分ABC1ABC 8 分1 133326VSAB取 中点 ，连结 ， ， P11P又在 中， ， ， ，RtABC 2C ，21 142PP 9 分117BCS ， 1AABV ，即 ， 10 分1336CSH 7326AH217 平面 ， 平面 ， ，BC1三棱柱 中， ， ，1AB1/2 ， 11 分1C25A在 中， ，1RtAH 1107sin3HC所以 与平面 所成的角的正弦值为 12 分1C1B5（19）本小题主要考查古典概型、随机变量的分
15、布列及数学期望等基础知识，考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查分类与整合思想、必然与或然思想、化归与转化思想满分 12 分解：（） 记“抽取的两天送餐单数都大于 40”为事件 ，M则 4 分2019()45CPM（） （）设乙公司送餐员送餐单数为 ，则a当 时， ； 38a12X当 时， ； 9456A 1B1 C1PABCH当 时， ；40a4160X当 时， ；1当 时， 227所以 的所有可能取值为 152,156,160,166,172 6 分故 的分布列为：X152 156 160 166 172P105125108 分 9 分1121()526067620550EX所 以
16、（）依题意， 甲公司送餐员日平均送餐单数为 10 分38.9.4.2.4.39所以甲公司送餐员日平均工资为 元 11 分7391由（）得乙公司送餐员日平均工资为 元6因为 ，故推荐小明去乙公司应聘 12 分1462（20）本小题考查圆与抛物线的标准方程及几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想、分类与整合思想等满分 12 分解法一：() 将 代入 ，得 ，所以 ， 1 分2px2ypxyp2STp又因为 ，所以 是等腰直角三角形，90SPTSPT所以 ，即 ，F32p解得 ，2p所以抛物线 ，3 分:4Eyx此时圆 的半径为
17、 ，P2p所以圆 的方程为 4 分38xy()设 ，012,MyABx依题意 ，即 5 分20061TSy xOFPy xBAMOFP（）当直线 斜率不存在时， ，l32,0M当 时，由 ，得 32x24yxy不妨设 ，,AB则 即 1, 1FBAFkkF当 时，同理可得， .6 分32x（）当直线 斜率存在时，因为直线 与抛物线 交于 两点，l lE,AB所以直线 斜率不为零， 且 01x0y因为 ，所以 ，lMFlMFk所以 ，7 分01lxky直线 00:ly由 得， ， 8 分2004,1yxy 220004411xyx即 ，所以 ， 9 分200yx0012124,yxx所以 10
18、分1212FABx 124y2 21 1211212 123646yyy y来源： 0002253xxx00000214651yx，2001x0021xy所以 12 分AFB解法二：() 同解法一()设 ，依题意 ，即 ， （*） 5 分0,Mxy20038xy20061x设 ，则 ，22112,4AB221,4yFMABy， 6 分2101020,4yyxyxy由于 ， ，FMAB/所以 7 分210021200,4.4yxyxy注意到 ， 8 分12y120120,1.2y由（1）知，若 ，则 ，此时不满足（*） ，故 ，0x0x从而（1） ， （2）可化为 9 分01212044,yx以
19、下同解法一.（21）本小题主要考查导数的几何意义、导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等满分 12 分解法一：（）因为 ， ， 2 分1fxaxe1xg依题意， ，解得 ， 3 分0fg所以 ，当 时， ；当 时， 1x 1x00fxx0fx故 的单调递减区间为 ， 单调递增区间为 5 分f ,（）由（）知，当 时， 取得最小值 00f所以 ，即 ，从而 fx ln1x e1x设 el,Fgkfkk则 ， 6 分e11xx（）当 时，因为 ，所以 （当且仅当 时等号成1k0 20Fx 0x立
20、） ，此时 在 上单调递增，从而 ，即 7 分Fx0,0Fx gxkf（）当 时，由于 ，所以 8 分1k0fx fkf由（）知 ，所以 ，故 ，即 g g 0F xkf9 分（）当 时， 令 ，则 ，1ke1xkh2e1xkh显然 在 上单调递增，又 ，hx0,0, 0khk所以 在 上存在唯一零点 ， 10 分1kx当 时， 所以 在 上单调递减，0,x0,hxh0,从而 ，即 所以 在 上单调递减，,Fx0,从而当 时， ，即 ，不合题意 11 分0,xxgkf综上， 实数 的取值范围为 12 分k,1解法二：（）同解法一 （）由（）知，当 时， 取得最小值 00xfx所以 ，即 ，从而
21、 f ln1 e1x设 el,xFxgkfkk则 ， 6 分e11x x 1xk（）当 时， 在 恒成立，所以 在 单调递增 1k 0F ,F0,所以 ，即 9 分0Fx gxkf（）当 时，由（）知，当 时， （当且仅当 时等号成1xex 0x立） ，所以当 时， ， 01xexex所以 ()()1kFk 10 分1xx21()kx于是当 时， 所以 在 上单调递减.10kx()0,Fx()x10,k故当 时， ，即 ，不合题意 11 分gfx综上， 实数 的取值范围为 12 分k,1解法三：（）同解法一 （） （）当 时，由（）知，当 时， 取得最小值 00k 0xfx所以 ，即 ，从而
22、，即 fx ln1x e1 g所以 ， ， 6 分k g kfx（）当 时，0设 则 ，eln11,xFxkfkkxe1xkF令 ，则 h 2=xh显然 在 上单调递增 7 分x0,当 时， ，所以 在 上单调递增，1k 10hxk hx0,；0hx故 ，所以 在 上单调递增， ，即 F Fx,0Fx gxkf9 分当 时，由于 ，1k101,所以 在 上存在唯一零点 ， 10 分hx, 0x当 时， 单调递减，0,0,hx从而 ，即 在 上单调递减，,Fx0,从而当 时， ，即 ，不合题意 11 分0,xxgkfx综上， 实数 的取值范围为 12 分k,1请考生在第（22） ， （23） ，
23、 （24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号（22）选修 ：几何证明选讲41本小题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、切割线定理等基础知识，FAB CDEG考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想等满分 10 分解法一：（）连结 ，因为 四点共圆，则 2 分DE,CGADECG又因为 为 的两条中线，,ABC所以点 分别是 的中点，故 3 分DE,AAB:所以 ， 4 分从而 5 分G（）因为 为 与 的交点，ADBE故 为 的重心，延长 交 于 ，CAF则 为 的中点，且 6 分F2G在 与 中，因为 ， ，CGCFA所以 ， 7 分AF所
24、以 ，即 9 分FC2因为 ， ， ，12B1G32所以 ，即 ，234AAC又 ，所以 10 分1C解法二：（）同解法一 5 分() 由() 知， ，BDG因为 四点共圆，所以 ， 6 分,DEGACE所以 ，所以 ， 7 分A C由割线定理， ， 9 分又因为 是 的中线，所以 是 的重心，,BE GAB所以 ,又 ，23AGD=2AE所以 ，所以 ，C3所以 ，因为 ，所以 10 分B1GB（23）选修 ；坐标系与参数方程4本小题考查直线的极坐标方程和参数方程、椭圆的参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想等 满分 10 分解法一：（）由 消去参数 ，得 ，
25、3cos,inxy219xy即 的普通方程为 2 分C219由 ，得 ， （） 3 分sin4sincos2将 代入（） ，化简得 ， 4 分co,ixyyx所以直线 的倾斜角为 5 分l4（）由（）知，点 在直线 上， 可设直线 的参数方程为 （0,2Pllcos,42inxty为参数） ，t即 （ 为参数） ， 7 分2,xtyt代入 并化简，得 8 分219x251870tt28470设 两点对应的参数分别为 ，,AB12,t则 ，所以 9 分12,55t120,t所以 10 分12128Ptt解法二：（）同解法一. 5 分（）直线 的普通方程为 .lyx由 消去 得 ， 7 分2,9yx2103670于是 .3647设 ，则 ，所以 ，12(,)(,)AxyB1280,5x1270x12,0x8 分故 .10 分221 12|0|5P（24）选修 ：不等式选讲45本小题考查绝对值不等式的解法与性质、不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等 满分 10 分解法一：（） （） 当 时，原不等式可化为 ，解得 ，1x 12x1x此时原不等式的解是 ； 2 分（）当 时，原不等式可化为 ，解得 ，2此时原不等式无解； 3 分（）当 时，原不等式可化为 ，解得 ，1x 12x1x此时原不等式的解是 ；
