1、最新人教版高中数学选修 4-5 测试题全套及答案第一讲 不等式和绝对值不等式一、选择题(本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合 Ax| ylog 2(4 2xx 2)，BError!，则 AB 等于( )A x| 10 可转化为x22x41 Bx|0 ，a| ab| b，ab2aba ba 2b 24ab3b 2，ab 22ab恒成立的序号为( )A BC D解析： ，即 ，故 不正确，排除 A、B；ab 2 2，即 正确2aba b 2ab2ab ab ab 2aba b 2ab 2答案： D4已知 a0，b0 ，则 2
2、 的最小值是( )1a 1b abA2 B2 2C4 D5解析： ab，b0， ，当且仅当 ab 时取等号，1a 1b 2ab 2 2 2 4.1a 1b ab 2ab ab 2ab2ab当且仅当 ab1 且 2 时成立，能取等号，故 2 的最小值为 4，故选 C.2ab ab 1a 1b ab答案： C5设|a |1，|b|1，则| ab |ab| 与 2 的大小关系是( )A|a b|ab|2B|ab| ab| 2C|ab| ab| 2D不可能比较大小解析： 当(ab)( ab)0 时，|a b| |ab| |(ab) (ab)|2| a|2，当(ab)(ab)0 时，|a b| |ab|
3、 |(ab) (ab)|2| b|2.答案： B6设 x，yR，a1，b1. 若 axb y3，ab2 ，则 的最大值为( )31x 1yA2 B.32C1 D.12解析： axb y3，xlog a3，ylog b3， log 3alog 3b1x 1y 1loga3 1logb3log 3ablog 3 log 331，故 选 C.a b24答案： C702B|log 1a (1a)|log (1a) (1a)|log (1a) (1a)|解析： 令 a ，代入可排除 B、C、D.12答案： A8若实数 a，b 满足 ab2，则 3a3 b的最小值是( )A18 B6C2 D.3 43解析
4、： 3a3 b2 2 2 6.3a3b 3a b 32答案： B9已知|a| |b|，m ，n ，则 m，n 之间的大小关系是( )|a| |b|a b| |a| |b|a b|Amn BmnCmn Dm n解析： | a|b| |ab| a| b|，m 1，|a| |b|a b| |a| |b|a| |b|n 1，m 1n.|a| |b|a b| |a| |b|a| |b|答案： D10某工厂年产值第二年比第一年增长的百分率为 p1，第三年比第二年增长的百分率为 p2，第四年比第三年增长的百分率为 p3，则年平均增长率 p 的最大值为( )A. B.3p1p2p3p1 p2 p33C. D2
5、p1p2p33 1 p11 p21 p33解析： (1p) 3(1p 1)(1p 2)(1p 3)，1 p ，31 p11 p21 p31 p1 1 p2 1 p33p .p1 p2 p33答案： B11若 a，b，c0，且 a22ab2ac4bc 12，则 ab c 的最小值是( )A2 B33C2 D. 3解析： a22ab2ac 4bca(a2c) 2b(a2c )(a2c)(a2b) 2，a 2c a 2b2 (a bc) 212 ，又 a，b，c0，a b c2 .3答案： A12当 00，且 tan x 时取等号12方法二：f(x) (00.答案： C二、填空题(本大题共 4 小题
6、，每小题 4 分，共 16 分请把正确答案填在题中横线上)13已知 ，则 的取值范围是_2 2 2解析： 利用不等式的性质进行求解由 可得2 2答案： 0.2 214设集合 Sx|x 2|3，T x|a3，x23 或 x25 或 x5 或 x1，求函数 y 的最小值为_x 5x 2x 1解析： x 1，x10 ，y x 5x 2x 1 x 1 4x 1 1x 1(x1)5 2 59.4x 1 x 1 4x 1当且仅当 x1 ，即 x1 时，等号成立4x 1y 的最小值是 9.答案： 916某商品进货价每件 50 元，据市场调查，当销售价格(每件 x 元) 在 500)的最值4x2解析： 由已知
7、 x0，y3x 4x2 3x2 3x2 4x23 3 ，33x23x24x2 39当且仅当 ，即 x 时，取等号3x2 3x2 4x2 2393当 x 时，函数 y3x 的最小值为 3 .2393 4x2 3921(12 分) 在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距 d(m)正比于车速 v(km/h)的平方与车身长 s(m)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长均为 s(m)，且车速为 50 km/h 时车距恰为车身长 s，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量 Q 最大？解析： 由题意，知车身长 s 为常量，车距 d 为变量且dkv 2s，把 v50，ds 代
8、入，得 k ，把 d s 代入12 500 12d v2s，得 v25 .所以12 500 2dError!则车流量Q Error!1 000vd s当 025 时，2Q2 1 000vs(1 v22 500)1 000s(1v v2 500) .1 000s21v v2 500 25 000s当且仅当 ，即 v50 时，等号成立即当 v50 时，Q 取得最大值 Q2 .因为 Q2Q1，所1v v2 500 25 000s以车速规定为 50km/h 时，该 地段的车流量 Q 最大22(14 分) 已知函数 f(x)ax 24(a 为非零实数)，设函数 F(x)Error!.(1)若 f( 2)
9、0，求 F(x)的表达式；(2)在(1)的条件下，解不等式 1|F(x)|2；(3)设 mn0，试判断 F(m)F(n)能否大于 0?解析： (1)f(2) 0， 4a 40，得 a1，f(x )x 24，F(x)Error!.(2)|F(x)|F( x)|，|F(x)|是偶函数，故可以先求 x0 的情况当 x0 时，由|F(2)|0，故当 02 时，解不等式 1x 242，得 x ；5 6综合上述可知原不等式的解集为x| x 或 x 或 x 或 x 2 3 5 6 3 2 6 5(3)f(x)ax 24，F(x) Error!，mn0，则 n0，mn0 ，m2n2，F(m) F(n)am 2
10、4an 24a(m 2n 2)，所以：当 a0 时，F(m)F( n)能大于 0，当 a ，则下列不等式一定成立的是( )ac2 bc2Aa 2b2 Blg alg bC. D. b a1b1c (13) (13)解析： 从已知不等式入手： ab(c0)，其中 a，b 可异号或其中一个为 0，由此否定 A、B、C，ac2 bc2应选 D.答案： D2若 2 D|a|b| ab|ba ab解析： 因为 0，y0，x y 1， 的最大值是( )x yA1 B. 2C. D.22 32解析： x0，y0，1x y 2 ，xy ，12 xy (当且仅当 xy 时取“”) x y 2x y 212答案：
11、 B6用分析法证明：欲使AB，只需C0 B2 ab 2 所以 2 4，ba ab baab而 ab0，b0，则“a b”是“a b ”成立的( )1a 1bA充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D即不充分也不必要条件解析： a b ab (ab) .1a 1b a bab (1 1ab)a0，b0，ab( ab) 0a b .(1 1ab) 1a 1b可得“ab”是“ a b ”成立的充要条件1a 1b答案： C9设 a0，b0，则以下不等式中不恒成立的是( )A(ab) 4 Ba 3b 32ab 2(1a 1b)Ca 2b 222a2b D. |a b| a b解析： 因为(ab) 2
12、2 4，所以 A 正确(1a 1b) ab 1aba3b 32ab 2(ab)( a2ab b 2)0，但 a，b 大小不确定，所以 B 错误(a2b 22) (2a2b)(a1) 2( b1) 20，所以 C 正确 0，所以 D 正确|a b| a b |a b| b a ba b答案： B10设 a，bR ，且 ab， P ，Q ab，则( )a2b b2aAP Q BPQCP0，PQ.a ba b2ab答案： A11若函数 f(x)，g(x)分别是 R 上的奇函数、偶函数，且满足 f(x)g(x) e x，则有( )Af(2)b 82 82 ，同理可比较得 bc.3 5 2 6 15 1
13、2答案： abc14已知三个不等式：(1)ab0；(2) ad.ca db以其中两个作为条件，余下一个作为结论，为_解析： 运用不等式性质进行推理，从 较复杂的分式不等式 (2)切入，去寻觅它与(1)的联系 0ca db cadb ca db 0ab(bcad)0.bc adab答案： (1)、(3) (2) ；(1)、(2)(3)；(2) 、(3)(1)15若 f(n) n，g(n) n ，(n) ，则 f(n)，g(n) ， (n)的大小顺序为_n2 1 n2 112n解析： 因为 f(n) n ，n2 11n2 1 ng(n)n .n2 11n2 1 n又因为 n(n)f(n)16完成反
14、证法整体的全过程题目：设 a1，a 2，a 7 是 1,2,3，7 的一个排列，求证：乘积 p(a 11)( a22)(a 77) 为偶数证明：反设 p 为奇数，则_均为奇数 因奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数_. _. 0.但奇数偶数，这一矛盾说明 p 为偶数解析： 反设 p 为奇数，则(a 11)，(a 22) ，(a77)均为奇数因为数个奇数的和还是奇数，所以有奇数(a 11) ( a22)(a 77)(a 1a 2a 7)(1 237) 0.但奇数偶数，这一矛盾说明 p 为偶数答案： (a 11)，( a22)，(a 77)(a11)(a 22)(a 77)(a1a 2a 7)(1
15、237)三、解答题(本大题共 6 个小题，共 74 分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分) 若 a1 .3 8 10证明： 用分析法证明 18 3 10832 110224 102 224 10 .24 10最后一个不等式是成立的，故原不等式成立20(12 分) 若 x，y 0，且 xy2，则 和 中至少有一个小于 2.1 yx 1 xy证明： 反设 2 且 2，1 yx 1 xyx，y0，1 y2x,1 x2y 两边相加， 则2(x y)2( xy)，可得 xy2，与 xy2 矛盾， 和 中至少有一个小于 2.1 yx 1 xy21(12 分) 已知 a，b，c
16、 ，d 都是实数，且 a2b 21，c 2d 21，求证|acbd| 1.证明： 证法一(综合法) 因 为 a，b，c，d 都是实数，所以|ac bd|ac| bd| a2 c22 b2 d22 .a2 b2 c2 d22又因为 a2b 21，c 2d 21.所以|acbd| 1.证法二(比较法) 显然有|ac bd|11acbd1.先证明 acbd1.acbd( 1)acbd 12 12acbd a2 b22 c2 d22 0.a c2 b d22acbd1.再证明 acbd1.1 (acbd) (acbd)12 12 ac bda2 b22 c2 d22 0，a c2 b d22acbd1
17、.综上得|acbd|1.证法三(分析法) 要证|ac bd| 1.只需证明(acbd) 21.即只需证明 a2c22abcd b 2d21. 由于 a2b 21，c 2d 21，因此式等价于a2c22abcdb 2d2(a 2b 2)(c2d 2) 将式展开、化简，得(adbc) 20. 因为 a，b，c，d 都是实数，所以式成立，即 式成立，原命题得证22(14 分) 数列 an为等差数列，a n为正整数，其前 n 项和为 Sn，数列b n为等比数列，且a13，b 11，数列ba n是公比为 64 的等比数列，b 2S2 64.(1)求 an，b n；(2)求证： bcd，x(ab)( cd) ，y(ac)(bd)，z(ad)(bc)，则 x，y ，z 的大小顺序为( )Axd 且 bc，则(ab)(cd)b 且 cd，则(ac )(bd)1)时，第一步应验证不等式( )12 13 12n 1A1 1，n 取的第一个自然数为 2，左端分母最大的项为 ，故 选 B.122 1 13答案： B2用数学归纳法证明 123 25 2(2n1) 2 n(4n21)的过程中，由 nk 递推到 nk1 时，13等式左边增加的项为( )A(2k) 2 B(2k3) 2C(2k1) 2 D(2 k2) 2解析： 把 k1 代入(2 n1) 2 得(2k21) 2即(2k 1)2，选 C.
