1、山东省日照一中 2015 届高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的 4 个选项中，只有一项符合题目要求.）1 （5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2+bi 互为共轭复数，则（a+bi） 2=（）A 54i B 5+4i C 34i D 3+4i2 （5 分）设集合 A=xR|x1|2，B=y R|y=2x，x R，则 AB=（）A B5 （5 分）若 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列命题正确的是（）A ac2bc 2 B C D a2abb 26 （5 分）把函数 y=sin3x 的图象适当变化就可以得到
2、 y= （sin3x cos3x）的图象，这个变化可以是（）A 沿 x 轴方向向右平移 B 沿 x 轴方向向左平移C 沿 x 轴方向向右平移 D 沿 x 轴方向向左平移7 （5 分）如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点， ，且 ，则（）A B C D8 （5 分）函数 y= 的图象大致为（）A BC D9 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S20 0，S 210，则中最大的项为（）A B C D10 （5 分）给出如下性质：最小正周期为 ；图象关于直线 x= 对称；在（ ， ）上是增函数则同时具有上述性质的一个函数是（）A y=sin（ + ） B y=cos
3、（ ） C y=sin（2x ） D y=cos（2x+ ）二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答案填在答题纸上）11 （5 分）已知数列a n中， a1=3，a n+1= +1，则 a2014=12 （5 分）已知 x，y 满足条件 若目标函数 z=ax+y（其中 a0）仅在点（2，0）处取得最大值，则 a 的取值范围是13 （5 分）已知 =2 ， =3 ， =4 ，若 =7 ， （a、b均为正实数） ，则类比以上等式，可推测 a、b 的值，进而可得 a+b=14 （5 分）已知 x0，y0，且 ，若 x+2ym 2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是15
4、 （5 分）定义：如果函数 y=f（x）在定义域内给定区间上存在 x0（ax 0b） ，满足f（x 0）= ，则称函数 y=f（x）是上的“ 平均值函数”，x 0 是它的一个均值点例如 y=|x|是上的“平均值函数 ”，0 就是它的均值点给出以下命题：函数 f（x）=cosx1 是上的“平均值函数”；若 y=f（x）是上的“ 平均值函数”，则它的均值点 x0 ；若函数 f（x）=x 2mx1 是上的“平均值函数”，则实数 m 的取值范围是 m（0，2） ；若 f（x）=lnx 是区间（ba 1）上的“平均值函数”，x 0 是它的一个均值点，则 lnx0其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）三
5、、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 （12 分）已知不等式 x25ax+b0 的解集为x|x4 或 x1（1）求实数 a，b 的值；（2）若 0x1， f（x）= ，求 f（x）的最小值17 （12 分）已知单调递增的等比数列a n满足：a 2+a3+a4=28，且 a3+2 是 a2，a 4 的等差中项（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn=an an，S n=b1+b2+bn，求使 Sn+n2n+150 成立的正整数 n 的最小值18 （12 分）已知向量 =（sinx， ） ， =（cosx，1） （1）当 时，求 cos2xs
6、in2x 的值；（2）设函数 f（x）=2（ ） ，已知在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若 a= ，b=2 ，sinB= ，求 f（x）+4cos （2A+ ） （x ）的取值范围19 （12 分）为迎接 2014 年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足：p=3 （其中 0xa，a 为正常数） 已知生产该产品还需投入成本 10+2p 万元（不含促销费用） ，产品的销售价格定为（4+ ）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（）将该产品的利润 y 万元
7、表示为促销费用 x 万元的函数；（）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值20 （13 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，通项公式为 ，（）计算 f（1） ，f（2） ，f（3）的值；（）比较 f（n）与 1 的大小，并用数学归纳法证明你的结论21 （14 分）已知函数 f（x） =（ax 2+x+a）e x（1）若函数 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线与直线 3xy+1=0 平行，求 a 的值；（2）当 x时，f（x） e4 恒成立，求实数 a 的取值范围山东省日照一中 2015 届高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 10 个
8、小题，每小题 5 分，共 50 分在每小题给出的 4 个选项中，只有一项符合题目要求.）1 （5 分）已知 a，bR，i 是虚数单位，若 ai 与 2+bi 互为共轭复数，则（a+bi） 2=（）A 54i B 5+4i C 34i D 3+4i考点： 复数代数形式的乘除运算 专题： 数系的扩充和复数分析： 由条件利用共轭复数的定义求得 a、b 的值，即可得到（ a+bi） 2 的值解答： 解：ai 与 2+bi 互为共轭复数，则 a=2、b=1，（ a+bi） 2=（2+i） 2=3+4i，故选：D点评： 本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，虚数单位 i 的幂运算
9、性质，属于基础题2 （5 分）设集合 A=xR|x1|2，B=y R|y=2x，x R，则 AB=（）A B4 （5 分） “sinx= ”是“ x= ”的（）A 充要条件 B 充分不必要条件C 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题： 简易逻辑分析： 根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论解答： 解：若 x= 满足 sinx= ，但 x= 不成立，即充分性不成立，若 x= ，则 sinx= 成立，即必要性成立，故“sinx= ”是“ x= ”的必要不充分条件，故选：C点评： 本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数之间的关系是解决
10、本题的关键5 （5 分）若 a，b，c 为实数，且 ab0，则下列命题正确的是（）A ac2bc 2 B C D a2abb 2考点： 不等式比较大小；不等关系与不等式 专题： 不等式的解法及应用分析： 本题可以利用基本不等关系，判断选项中的命题是否正确，正确的可加以证明，错误的可以举反例判断，得到本题结论解答： 解：选项 A，c 为实数，取 c=0，ac2=0，bc 2=0，此时 ac2=bc2，故选项 A 不成立；选项 B， = ，ab0，ba0，ab 0， 0，即 ，故选项 B 不成立；选项 C，ab0，取 a=2，b=1 ，则 ， ，此时 ，故选项 C 不成立；选项 D，ab0，a2a
11、b=a（ab）0，a2ababb2=b（ab）0，abb 2故选项 D 正确，故选 D点评： 本题考查了基本不等关系，本题难度不大，属于基础题6 （5 分）把函数 y=sin3x 的图象适当变化就可以得到 y= （sin3x cos3x）的图象，这个变化可以是（）A 沿 x 轴方向向右平移 B 沿 x 轴方向向左平移C 沿 x 轴方向向右平移 D 沿 x 轴方向向左平移考点： 函数 y=Asin（ x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用 专题： 三角函数的图像与性质分析： 由条件根据函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，可得结论解答： 解：函数 y= （ sin3xcos3x）=sin
12、（3x ）=sin3（x ） ，把函数 y=sin3x 的图象沿 x 轴方向向右平移 个单位，可得 y= （sin3x cos3x）的图象，故选：C点评： 本题主要考查函数 y=Asin（x+）的图象变换规律，属于基础题7 （5 分）如图，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点， ，且 ，则（）A B C D考点： 向量在几何中的应用；相等向量与相反向量 专题： 计算题分析： 根据相等向量的定义及向量的运算法则：三角形法则求出 ，利用平面向量基本定理求出 x，y 的值解答： 解：由题意， ， ，即 ， ，即 故选 A点评： 本题以三角形为载体，考查向量的加法、减法的运算法则；利用运算法则将未
13、知的向量用已知向量表示，是解题的关键8 （5 分）函数 y= 的图象大致为（）A BC D考点： 余弦函数的图象；奇偶函数图象的对称性 专题： 三角函数的图像与性质分析： 由于函数 y= 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除 A，利用极限思想（如 x0+，y +）可排除 B，C ，从而得到答案 D解答： 解：令 y=f（x）= ，f（ x）= = =f（x） ，函数 y= 为奇函数，其图象关于原点对称，可排除 A；又当 x0+，y +，故可排除 B；当 x+，y0，故可排除 C；而 D 均满足以上分析故选 D点评： 本题考查奇偶函数图象的对称性，考查极限思想的运用，考查排除法的应用，属于中档题
14、9 （5 分）设等差数列a n的前 n 项和为 Sn，且满足 S20 0，S 210，则中最大的项为（）A B C D考点： 等差数列的前 n 项和 专题： 等差数列与等比数列分析： 由等差数列的性质和求和公式易得 a10+a110 且 a110，可得 n10 时，S 10 最大，而 a10 最小，故 最大解答： 解：由题意显然公差 d0，S20= =10（a 1+a20）0，a1+a200，a 10+a110；同理由 S210 可得 a1+a210，a 110，结合 a10+a11 0 可得 a100，n10 时，S 10 最大，而 a10 最小，故 最大 故选：C点评： 本题考查等差数列的
15、求和公式和性质，属基础题10 （5 分）给出如下性质：最小正周期为 ；图象关于直线 x= 对称；在（ ， ）上是增函数则同时具有上述性质的一个函数是（）A y=sin（ + ） B y=cos（ ） C y=sin（2x ） D y=cos（2x+ ）考点： 正弦函数的单调性；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的对称性 专题： 三角函数的图像与性质分析： 利用函数的最小正周期为 可排除 A，B，利用图象的单调递增区间进一步排除D，即可得答案解答： 解：A，y=sin （ + ）的最小正周期 T= =4，故不满足；B，y=cos （ ）的最小正周期 T= =4，故不满足；C，令 y=f（x） =
16、sin（2x ） ，则 f（ ）=sin （ ）=sin =1，为最大值，f（ x）=sin （2x ）的图象关于直线 x= 对称，且其周期 T= =，同时具有性质、，符号题意；由 2k 2x 2k ，k Z 解得：x ，kZ，从而当 k=1 时，有函数 f（x）=sin （2x ）在（ ， ）上是增函数D，y=cos（2x+ ） ，由 2k2x+ 2k+，k Z 可解得其单调递减区间为， kZ，故不符合；故选：C点评： 本题考查三角函数的周期性与对称性及其求法，以及单调递增区间的求法，突出排除法在解选择题中的应用，属于中档题二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分，请将答
17、案填在答题纸上）11 （5 分）已知数列a n中， a1=3，a n+1= +1，则 a2014= 考点： 数列递推式 专题： 点列、递归数列与数学归纳法分析： 由题意可知a n1为周期数列且周期为 2，a 11=2，即可求出答案解答： 解： ，a n1为周期数列且周期为 2，a 11=2，a20141=a21= ， 故答案为： 点评： 本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础12 （5 分）已知 x，y 满足条件 若目标函数 z=ax+y（其中 a0）仅在点（2，0）处取得最大值，则 a 的取值范围是（ ，+） 考点： 简单线性规划的应用 专题： 不等式的解法及应用分
18、析： 作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出 a 的取值范围解答： 解：作出不等式对应的平面区域，由 z=ax+y 得 y=ax+z，a0，此时目标函数的斜率 k=a0，要使目标函数 z=ax+y 仅在点 A（2，0）处取得最大值，则此时ak AB= ，即 a ，故答案为：（ ，+）点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法13 （5 分）已知 =2 ， =3 ， =4 ，若 =7 ， （a、b均为正实数） ，则类比以上等式，可推测 a、b 的值，进而可得 a+b=55考点： 类比推理 专题： 计算题；推理和证明分析：
19、观察所给的等式，照此规律，第 7 个等式中：a=7，b=7 21=48，即可写出结果解答： 解：观察下列等式=2 ， =3 ， =4 ，照此规律，第 7 个等式中：a=7，b=7 21=48，a+b=55，故答案为：55点评： 本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系14 （5 分）已知 x0，y0，且 ，若 x+2ym 2+2m 恒成立，则实数 m 的取值范围是4 m2考点： 函数恒成立问题 专题： 计算题；压轴题分析： 先把 x+2y 转化为（x+2y） 展开后利用基本不等式求得其最小值，然后根据 x+2ym 2+2m 求得 m2+2
20、m8，进而求得 m 的范围解答： 解： ， x+2y=（x+2y） =4+ + 4+2 =8x+2ym 2+2m 恒成立，m2+2m8，求得4m2故答案为：4 m2点评： 本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用考查了学生分析问题和解决问题的能力15 （5 分）定义：如果函数 y=f（x）在定义域内给定区间上存在 x0（ax 0b） ，满足f（x 0）= ，则称函数 y=f（x）是上的“ 平均值函数”，x 0 是它的一个均值点例如 y=|x|是上的“平均值函数 ”，0 就是它的均值点给出以下命题：函数 f（x）=cosx1 是上的“平均值函数”；若 y=f（x）是上的“ 平均值函数”，则它的
21、均值点 x0 ；若函数 f（x）=x 2mx1 是上的“平均值函数”，则实数 m 的取值范围是 m（0，2） ；若 f（x）=lnx 是区间（ba 1）上的“平均值函数”，x 0 是它的一个均值点，则 lnx0其中的真命题有 （写出所有真命题的序号）考点： 命题的真假判断与应用 专题： 简易逻辑分析： 直接利用定义判断的正误；利用反例判断的正误；利用定义推出 m 的范围判断的正误；利用分析法直接证明结合函数的导数即可证明的正误解答： 解：容易证明正确函数 f（x）=cosx1 是上的“ 平均值函数”；1 就是它的均值点不正确反例：f（x）=x 在区间上正确由定义： 得 ，又 x0（1，1）所以
22、实数 m 的取值范围是 m（0，2） 正确理由如下：由题知 要证明 ，即证明： ，令 ，原式等价于 令 ，则，所以 得证故答案为：点评： 本题考查新定义的应用，函数的导数以及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16 （12 分）已知不等式 x25ax+b0 的解集为x|x4 或 x1（1）求实数 a，b 的值；（2）若 0x1，f（x）= ，求 f（x）的最小值考点： 基本不等式；一元二次不等式的解法 专题： 不等式的解法及应用分析： （1）由三个二次的关系可得 ，解方程组可得；（2）由（1）知 f（x）
23、= + （ + ）=5+ + ，由基本不等式可得解答： 解：（1）由题意可得 ，解得 ，实数 a，b 的值分别为 1，4；（2）由（1）知 f（x）= +0 x 1， 01x1， 0， 0，f（ x）= + =（ + ）=5+ + 5+2 =9当且仅当 = 即 x= 时，等号成立f（ x）的最小值为 9点评： 本题考查基本不等式，涉及一元二次不等式的解集，属基础题17 （12 分）已知单调递增的等比数列a n满足：a 2+a3+a 4=28，且 a3+2 是 a2，a 4 的等差中项（1）求数列a n的通项公式；（2）若 bn=an an，S n=b1+b2+bn，求使 Sn+n2n+150
24、成立的正整数 n 的最小值考点： 数列的求和；等比数列的性质 专题： 等差数列与等比数列分析： （1）设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q，依题意，可得到关于 a1 与 q 的方程组，解之即可求得数列a n的通项公式；（2） （1）得 an=2n，再由 bn=an an，可得 bn=n2n，于是 Sn=（1 2+222+n2n） ，利用错位相减法即可求得 Sn=2+22+23+2nn2n+1=2n+12n2n+1，解不等式 Sn+n2Pn+1P50 即可求得使之成立的正整数 n 的最小值解答： 解：（1）设等比数列a n的首项为 a1，公比为 q依题意，有 2（a 3+2）=a 2+a4
25、，代入 a2+a3+a4=28，可得 a3=8，a 2+a4=20，（2 分）即 ，解之得 或 （4 分）又 数列 an单调递增，所以 q=2，a 1=2，数列 an的通项公式为 an=2n （6 分）（2）因为 ，所以 Sn=（12+22 2+n2n） ，2Sn=，两式相减，得 Sn=2+22+23+2nn2n+1=2n+12n2n+1 （10 分）要使 Sn+n2n+150，即 2n+1250，即 2n+152易知：当 n4 时， 2n+125=3252；当 n5 时，2 n+126=6452故使Sn+n2n+150 成立的正整数 n 的最小值为 5（12 分）点评： 本题考查数列的求和，
26、着重考查等比数列的通项公式的应用，突出考查错位相减法求和，考查运算、分析、求解的能力，属于中档题18 （12 分）已知向量 =（sinx， ） ， =（cosx ，1） （1）当 时，求 cos2xsin2x 的值；（2）设函数 f（x）=2（ ） ，已知在ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为a、b、c，若 a= ，b=2 ，sinB= ，求 f（x）+4cos （2A+ ） （x ）的取值范围考点： 解三角形；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数的恒等变换及化简求值 专题： 计算题分析： （1）由 可得 ，从而可求 tanx，而（2）由正弦定理得， 可求 A= 代入可得，结合已知
27、x 可求函数的值域解答： 解：（1） （2 分）（6 分）（2）由正弦定理得，所以 A= （9 分） 所以 （12 分）点评： 本题主要考查了向量平行的坐标表示，利 用 1=sin2x+cos2x 的代换，求解含有sinx，cosx 的齐次式，向量的数量积的坐标表示，三角函数在闭区间上的值域的求解19 （12 分）为迎接 2014 年“双十一”网购狂欢节，某厂家拟投入适当的广告费，对网上所售产品进行促销经调查测算，该促销产品在“双十一”的销售量 p 万件与促销费用 x 万元满足：p=3 （其中 0xa，a 为正常数） 已知生产该产品还需投入成本 10+2p 万元（不含促销费用） ，产品的销售价
28、格定为（4+ ）元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求（）将该产品的利润 y 万元表示为促销费用 x 万元的函数；（）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？并求出最大利润的值考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；函数模型的选择与应用 专题： 函数的性质及应用分析： （）根据产品的利润=销售额产品的成本建立函数关系；（）利用导数基本不等式可求出该函数的最值，注意等号成立的条件解答： 解：（）由题意知，y= ，将 p=3 代入化简得： （0x a） ；（） = = = ，当 a1 时，x（0，1）时 y0，所以函数 在（0，1）上单调递增，当 x（1，a）时 y0，所以函数 在（1，
29、a）上单调递减，从而促销费用投入 1 万元时，厂家的利润最大；当 a1 时，因为函数 在（0，1）上单调递增，所以在上单调递增，故当 x=a 时，函数有最大值即促销费用投入 a 万元时，厂家的利润最大综上，当 a1 时，促销费用投入 1 万元，厂家的利润最大，为 =13 万元；当 a1 时，促销费用投入 a 万元，厂家的利润最大，为 万元点评： 本题主要考查了函数模型的选择与应用，以及基本不等式在最值问题中的应用，同时考查了计算能力，属于中档题20 （13 分）已知数列a n的前 n 项和为 Sn，通项公式为 ，（）计算 f（1） ，f（2） ，f（3）的值；（）比较 f（n）与 1 的大小，
30、并用数学归纳法证明你的结论考点： 数列递推式；用数学归纳法证明不等式 专题： 计算题分析： （1）此问根据通项公式计算出前 n 项的和当 n=1 时， f（1）=s 2；当 n=2 时，f（2）=s 4s1=a2+a3；当 n=3 时， f（3）=s 6s2 （2）当 n=1 时，1当 n2 时，f （n）中没有 a1，因此都小于 1解答： 解：（）由已知 ， ，；（3 分）（）由（）知 f（1）1 ，f （2）1；当 n3 时，猜想： f（n）1 （4 分）下面用数学归纳法证明：（1）由（）当 n=3 时，f（n）1；（5 分）（2）假设 n=k（k3）时，f（ n）1，即 ，那么= =，所
31、以当 n=k+1 时，f （n）1 也成立由（1）和（2）知，当 n3 时，f（n）1 （9 分）所以当 n=1，和 n= 2 时，f（ n）1；当 n3 时，f（n）1 （10 分）点评： 此题主要考查数列递推式及相关计算21 （14 分）已知函数 f（x） =（ax 2+x+a）e x（1）若函数 y=f（x ）在点（0，f（0） ）处的切线与直线 3xy+1=0 平行，求 a 的值；（2）当 x时，f（x） e4 恒成立，求实数 a 的取值范围考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程 专题： 计算题；导数的概念及应用；导数的综合应用分析： （1）求出导数，求得切线斜率，由两直线平行的条件即
32、可得到 a；（2）当 x时，f（x） e4 恒成立，即有当 x时，f（x） mine4求出导数，讨论当 a0时，当 a0 时，当 a1，当 1a0 时，当1a 0 时，运用单调性，求出 f（x）最小值即可得到解答： 解：（1）函数 f（x ）= （ax 2+x+a）e x导数 f（x）=（2ax+1）e x+（ax 2+x+a）e x=ex（1+a+x+2ax+ax 2） ，则在点（0，f（0） ）处的切线斜率为 f（0）=1+a，f（0）=a，由于切线与直线 3xy+1=0 平行，则有 1+a=3，a=2；（2）当 x时，f（x） e4 恒成立，即有当 x时，f（x） mine4由于 f（x
33、）=（2ax+1）e x+（ax 2+x+a）e x=ex（1+a+x+2ax+ax 2）= （x+1） （ax+1+a）e x，当 a0 时，x，f（x）0 恒成立，f（x）在递增，f（x） min=f（0）=a e4；当 a0 时， f（x）=a（x+1） （x+1+ ） ex，当 a1， 1 0，0 1+ 1 ， 1（1+ ）0，x，f （ x）0 恒成立，f（x）递减，f（x） min=f（4）=（17a+4）e 4e4，17a+41，a ，与 a1 矛盾，当1 a0 时， 1，1+ 0，（1+ ）0，f（x）在递增，或存在极大值，f（x） min 在 f（ 0）和 f（4）中产生，则需 f（0）=ae 4，且 f（4）= （17a+4） e4e4，且1 a0，推出 a，综上，ae 4点评： 本题考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，考查分类讨论的思想方法，是该题的难点所在，此题属中档题
