1、山东省 2014 届理科数学一轮复习试题选编：函数的综合问题一、选择题1. （山东省潍坊市 2013 届高三第二次模拟考试理科数学）某学校要召开学生代表大会,规定根据班级人数每10 人给一个代表名额,当班级人数除以 10 的余数大于 6 时,再增加一名代表名额.那么各班代表人数y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 yx(x表示不大于*的最大整数)可表示为 （ ）A 10B 310xyC 410D 510xy【答案】B 法一:特殊取值法,若 x=56,y=5,排除 CD,若 x=57,y=6,排除 A,所以选 B 法二:设 )9(mx, ，时 33,6mx 10103103,96 m时当
2、,所以选 B 2. （山东省寿光市 2013 届高三 10 月阶段性检测数学（理）试题）已知函数 函321,(),0,.62xf数 ,若存在 ,使得 成立,则实数 a 的取值()sin()2(0)6gxaxa12,0x12()fxg范围是 （ ）A B C D14,231,4,3,【答案】B 3. （山东省德州市 2013 届高三第二次模拟考试数学（理）试题）若对于定义在 R 上的函数 f(x),存在常数()tR,使得 f(x+t)+tf(x)=0 对任意实数 x 均成立,则称 f(x)是阶回旋函数,则下面命题正确的是（ ）Af(x)=2 x是 12阶回旋函数 Bf(x)=sin( x)是 1
3、 阶回旋函数 Cf (x)=x 2是 1 阶回旋函数 Df(x)=log ax 是 0 阶回旋函数【答案】B 4. （山东省 2013 届高三高考模拟卷（一）理科数学）已知 cb,为互不相等的三个正实数,函数 )(xf可能满足如下性质: )(axf为奇函数; )(axf为奇函数; )(xf为偶函数; )(bxf为偶函数;cf.类比函数 2013siny的对称中心、对称轴与周期的关系,某同学得到了如下结论:(i)若满足,则 )(xf的一个周期为 4a;(ii)若满足;则 )(xf的一个周期为 |4ba;(iii)若满足,则 的一个周期为 |3b;(iv)若满足; 则 的一个周期为 |c.其中正确
4、结论的个数为 （ ）A1 B2 C3 D4【答案】B【解析】由 01sinyx的图象知,两相邻对称中心的距离为 2T两相邻对称轴的距离为2T,对称中心与距其最近的对称轴的距离为 4T,若满足,则 )(xf的两个相邻对称中心分别为)0(a, ,从而有 aT2)(2,即 ;若满足,则 的对称轴为 bx,与对称轴相邻的对称中心为 )0.(a,有 |b,即 |b;若满足,则 )(f的两个相邻的对称轴为 bx和 ,从而有 )(,即 T4;若满足,则 x的对称中心为)0,(a,与其相邻的对称轴为 cx,从而有 ()cac,即 T4|ac.故只有(iii)(iv)错误. 5. （山东省枣庄市 2013 届高
5、三 3 月模拟考试数学（理）试题）已知函数 2()1fx的定义域为,()ab,值域为1,5,则在平面直角坐标系内,点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形的面积是 （ ）A8 B6 C4 D2【答案】C 由 2()15fx,得 2x,即 2.故根据题意得 a,b 的取值范围为: 20a且 2b或者0b且 a,所以点(a,b)的运动轨迹与两坐标轴围成的图形是一个边长为 2 的正方形面积为4,选 C 6. （山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学）已知函数 (1)yfx的图象关于直线 1x对称,且当 (,0)()0xfxf成立若 a=(20.2) 0.2(),fbn 12,()4
6、fcog12()4fog,则 a,b,c 的大小关系是 （ ）A abcB bacC cabD acb 【答案】B 因为函数 (1)yfx的图象关于直线 1x对称,所以 ()yfx关于 y轴对称,所以函数()yxf为奇函数 .因为 ()ff,所以当 ,0时,()0xf,函数 yx单调递减,当 ()x时,函数 ()yxf单调递减.因为 0.21, ln1, 2log4,所以 0.21lnlog4,所以 bac,选 B7. （2012 年山东理）(12)设函数 f(x)= ,g(x)=ax2+bx 若 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2
7、),则下列判断正确的是 （ ）A当 a0 B当 a0, y1+y20 时,x 1+x20 时,x 1+x20, y1+y20【答案】解析:令 bxa,则 )0(23xba,设 23)(bxaxF, bxaF23)(令 03)(2xF,则 ,要使 y=f(x)的图像与 y=g(x)图像有且仅有两个不同的公共点只需 1)3()(2aab,整理得 2374,于是可取 ,2来研究,当,2时, 23x,解得 2x,此时 12y,此时0211yx;当 b时, 32,解得 1x,此时,2y,此时 0,2121yx.答案应选 B另解:令 )(gxf可得 a.设 bay,12不妨设 1x,结合图形可知,当 0a
8、时如右图 ,此时 21x,即 21x,此时 021, 121yxy,即 02;同理可由图形经过推理可得当 0a时 ,2121.答案应选 B)0(abxy)0(abxyyyxx21x218. （山东省 2013 届高三高考模拟卷（一）理科数学）我们定义若函数 )(xf为 D 上的凹函数须满足以下两条规则:(1)函数在区间 D 上的任何取值有意义;(2)对于区间 D 上的任意 n个值 nx,21 ,总满足)()()( 2121 nxxffxff n,那么下列四个图象中在 0上满足凹函数定义的是【答案】A【解析】要判断是不是凹函数,需要先明确凹函数的定义,由定义的第一点可以排除 D,在（ ）A BC
9、 这三个选项中可以考虑特值法 ,取 01x, 2,则显然选项 BC 不满足 )2()(21fxff,故选 （ ）A 9. （山东省夏津一中 2013 届高三 4 月月考数学（理）试题）函数 y=f(x),xD,若存在常数 C,对任意的 xlD,仔在唯一的 x2D,使得 12()fx,则称函数 f(x)在 D 上的几何平均数为 C已知f(x)=x3,x1,2,则函数 f(x)=x3在1,2上的几何平均数为 （ ）A B2 C4 D2【答案】D 10. （山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学）对于函数 ()fx,如果存在锐角 使得 ()fx的图象绕坐标原点逆时针旋转角 ,所得曲线仍
10、是一函数,则称函数 具备角 的旋转性,下列函数具有角4的旋转性的是 （ ）A yxB lnyxC 1()2xyD 2yx【答案】C 设直线 b,要使 ()f的图像绕坐标原点逆时针旋转角 4,所得曲线仍是一函数,则函数 yxb与 ()f不能有两个交点.由图象可知选 C 11. （山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）已知定义在 R 上的函数 ()yfx满足以下三个条件:对于任意的 xR,都有 (4)(fxf;对于任意的121212,0,();xRxfxf且 都 有 函数 (2)yfx的图象关于 y 轴对称,则下列结论中正确的是 （ ）A (4.5)(76.5)ff B
11、(7)4.5)(6.)ff C .4D .7【答案】A 【解析】由 ()(fxf知函数的周期是 4,由知,函数在 0,2上单调递增,函数2y的图象关于 y 轴对称,即函数函数 ()yfx的图象关于 x对称,即函数在 2,4上单调递减.所以 (4.5)(0.)ff, 6.5(2.1.5ff, 7(3)1f,由(0)1f可知 47)6),选 （ ）A 12.（山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知定义在 上的奇函数 满足Rfx,且 时, ,甲、乙、丙、丁四位同学有下列结论:甲:(4)(fxfx022()log(1)fx;乙:函数 在 上是减函数;丙:函数 关于直线 对称;
12、丁:若 ,31)6(fx401m则关于 的方程 在 上所有根之和为 ,其中正确的是 （ ）(fm8,8A甲、乙、丁 B乙、丙 C甲、乙、丙 D甲、丙二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.【答案】A 13. （山东省夏津一中 2013 届高三 4 月月考数学（理）试题）函数 y = 1n|x-1|的图像与函数 y=-2 cos x(-2x4)的图像所有交点的横坐标之和等于 （ ）A8 B6 C4 D2【答案】B 14. （山东省文登市 2013 届高三 3 月二轮模拟考试数学（理）对于正实数 ,记 M为满足下述条件的函数()fx构成的集合: 12,xR且 21x,有 21
13、2121()()()xfxfx.下列结论中正确的是 （ ）A若 12(),()fMg,则 12()fg B若 12xx且 12,则 12()fxM C若 12(),()f,则 12()f D若 12(),()fxMgx且 ()0gx,则 12()fxM【答案】A 15. （2013 年山东临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知集合 M=(x,y)|f(x),若对于任意1(x,y),存在 2(x,y),使得 120xy成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合:M= 1(,)|;M= (,)|sin;M= 2xylogx; 2xMye.其中是“垂直对点集”的序号是 （ ）A B C
14、 D【答案】 【答案】D 1y是以 ,轴为渐近线的双曲线,渐近线的夹角为 90,在同一支上,任意(x 1,y1)M,不存在(x 2,y2)M,满足“垂直对点集”的定义;对任意(x 1,y1)M,在另一支上也不存在(x 2,y2)M,使得 x1x2+y1y2=0 成立,所以不满足“垂直对点集”的定义,不是“垂直对点集”.(,)sinMy,如图在曲线上,两点构成的直角始存在 ,所以(,)sin1Mxyx是“垂直对点集”. 对于 2log,如图在曲线上两点构成的直角始存在,例如取 M(0,1),N 2(log,0),满足“垂直对点集”的定义,所以正确. 对于 (,)2xMye,如图取点(1,0),曲
15、线上不存在另外的点,使得两点与原点的连线互相垂直,所以不是“垂直对点集”. ,故选 D 二、填空题16. （山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学）已知 ()fx为 R上的偶函数,对任意xR都有 (6)(3)fxf且当 12,0,3x, 12 时,有 12)(0ffx成立,给出四个命题: (3)0f 直线 6x是函数 ()yf的图像的一条对称轴 函数 ()yf在 9,上为增函数 函数 ()fx在 9,上有四个零点其中所有正确命题的序号为_【答案】 【解析】令 3x,得 (6)(3)(3fff,即 )0f,所以正确.因为(6)(ff,所以 (3xxfx,即 6)()fxf
16、,所以直线 x是函数 ()yf的图像的一条对称轴,因为函数为偶函数,所以 也是函数()yf的图像的一条对称轴所以正确.由 12()0fxf可知函数 ()fx在区间 0,3上递增,又 6()3()fxffx,所以函数的周期为 6,所以函数在 6,9上递增,所以在 9,6上为减函数,所以错误.因为函数的周期为 6,所以 (9)3()0fff,故函数()yfx在 9,上有四个零点 ,所以正确,所以正确的命题为 17. （山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理（A）若函数 )(xf满足 ,mR,对定义域内的任意 )()(, mfxfx恒成立,则称 )(xf为 m 函数 ,现给出下列函数:
17、y1; y2; ysin; nxy1其中为 m 函数的序号是.(把你认为所有正确的序号都填上)【答案】 【解析】若 xy1,则由 ()()fmfx得 1xm,即1()xm,所以 22,显然不恒成立.若 xy2,由()ffx得由 ()x恒成立,所以为 函数.若 sin,由()得 sinsinm,当 2m时,有 si(2)xx,sini20m,此时成立,所以为 函数.若 xy1,由 )(ffm得由l()llxx,即 x,即 ()0,要使 (10x恒成立,则有 1,即 1.但此时 ()0m,所以不存在 ,所以不是 函数.所以为 函数的序号为. 18. （2009 高考(山东理)）已知定义在 R 上的
18、奇函数 ，满足 ,且在区间0,2上是增函)(xf(4)(fxfx数,若方程 f(x)=m(m0)在区间 上有四个不同的根 ,则8,123,1234_.xx【答案】 【解析】:因为定义在 R 上的奇函数，满足 ,所以 ,所以, (4)(fxfx(4)(ffx由 为奇函数,所以函数图象关于直线 对称且 ,由 知)(xf 20,所以函数是以 8 为周期的周期函数,又因为 在区间0,2上是增函数,所以8f )(xf在区间-2,0上也是增函数 .如图所示,那么方程 f(x)=m(m0)在区间 上有四个不同的根)(xf 8,不妨设 由对称性知 所以1234,1234xx12x34x8x答案:-819. （
19、山东省济宁市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学 ）函数 (x)f的定义域为 D,若存在闭区间a,b D,使得函数 f(x)满足:(1) 在a,b内是单调函数;(2) f(x)在a,b上的值域为2a,2b,则称区间a,b为 y=f(x)的“和谐区间”.下列函数中存在“和谐区间”的是_ (只需填符合题意的函数序号)-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 20f(x); xf()eR); 1; 2401(.【答案】 【解析】若 2()fx,则由题意知 ()fab,即2ab,解得 02时,满足条件.若()xfe,则由题意知 ()f,即 2abe,即 是方程 x
20、e的两个根,由图象可知方程2xe无解时,所以不满足条件.若 1()fx,则由题意知 ()2fab,即1a,所以只要12ab即可,所以满足条件.若 24()1fx,因为24()1)xf,则由题意知当 01x时,()0fx,函数递增,当 1x时, ()0fx,函数递减.当 0x时由 ()2fab得241ab,由 241x,解得 或 ,所以当 ,ab时,满足条件,即区间为 ,1.所以存在“和谐区间”的是. 20. （山东省烟台市 2013 届高三上学期期中考试数学试题(理科 )）函数 ()fx的定义域为 A,若 12x且12()fxf时总有 12x,则称 ()fx为单函数.例如:函数 )2R是单函数
21、.给出下列命题:函数 )()Rf是单函数;指数函数 2x是单函数;若 ()fx为单函数, 1,A且 12x,则 12()ffx;在定义域上具有单调性的函数一定是单函数,其中的真命题是 _.(写出所有真命题的序号)【答案】 【解析】当 12,x时, 12()4(),fxf故错; ()2xf为单调增函数,故正确;而显然正确 21. （山东济南外国语学校 20122013 学年度第一学期高三质量检测数学试题（理科）具有性质:的函数,我们称为满足“倒负”交换的函数,下列函数:1()(ffx ;y1;y 中满足“倒负”变换的函数是_.,(0)1()xy【答案】 【解析】当 时, ,所以满足“倒负”变换的
22、函数.当1yx()()fxf时, ,所以不满足“倒负”变换的函数.当 时,当1yx()()fxf,(01)()xy时 , , ,当 时, , ,所以满足1x0x1()()ffx01x1()fxf“倒负”变换的函数,所以满足条件的函数是. 22. （山东省日照市 2013 届高三 12 月份阶段训练数学(理)试题）定义在 R 上的函数 yf,若对任意不等实数 12,x满足 120fxf,且对于任意的 ,xy,不等式 220fxfy成立.又函数 yf的图象关于点 1,对称,则当 14时, y的取值范围为_.【答案】 1,2 【解析】若对任意不等实数 12,x满足 12()0fxf,可知函数 ()y
23、fx为R上递减函数.由函数 (1)yfx的图象关于点 (,0)对称,可知函数 ()yfx的图象关于点(0,)对称,所以函数 为奇函数.又 22()0fxf,即222()()fxfyfy,所以 +y,即 (2)0.xy()014y表示的平面区域如图所示, x表示区域中的点与原点连线的斜率,又2OAk,所以 x的取值范围为 1,2.如图 23. （山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数 的定义域为 ,若存在常数()fxR,对任意 ,有 ,则称函数 为 函数.给出下列函数: ;0mRx()fxm()fxF2()fx; ; . 其中是 函数的序号为_.2()1f2sin2
24、【答案】 24. （山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知函数 fx在实数集 R 上具有下列性质:直线 1x是函数 fx的一条对称轴; 2fxf;当 123时,2ff210,则 21f、 03从大到小的顺序为_.【答案】 (03)()()f 由 fxfx得 4ffx,所以周期是4 所以 f, f, ()(1.因为直线 1是函数 的一条对称轴,所以 21()2f由 2xf20x,可知当 123x时,函数单调递减.所以 031)(0)f. 25. （山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模拟考试数学（理）试题）如图,已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角锈
25、蚀,其中 AE米, 6CD米. 为了合理利用这块钢板,将在五边形 ABCDE内截取一个矩形块 BNPM,使点 在边 上. 则矩形 BNPM面积的最大值为_平方米 . AEDCBNF【答案】48 三、解答题26. （2009 高考(山东理)）两县城 A 和 B 相距 20km，现计划在两县城外以 AB 为直径的半圆弧 上选择一点 C 建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的的距离有关，对城 A 和城 B 的总影响度为城 A 与城 B 的影响度之和，记 C 点到城 A 的距离为 x km，建在 C 处的垃圾处理厂对城 A 和城B 的总影响度为 y,统计调查表明：垃圾处理厂对城 A 的影响
26、度与所选地点到城 A 的距离的平方成反比，比例系数为 4；对城 B 的影响度与所选地点到城 B 的距离的平方成反比，比例系数为 k ,当垃圾处理厂建在 的中点时，对城 A 和城 B 的总影响度为 0.065.（1）将 y 表示成 x 的函数；（11）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧 上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城 A和城 B 的总影响度最小？若存在，求出该点到城 A 的距离;若不存在，说明理由。【答案】解:（1）如图,由题意知 ACBC, ,2240BCx24(0)kyx其中当 时，y=0.065,所以 k=902x所以 y 表示成 x 的函数为 2249()0yxx设 ,则 ,
27、 ,所以22,4mnmn4yn当且仅当 即9111()3()(32)06my49nm时取”=”.2016下面证明函数 在(0,160)上为减函数, 在 (160,400)上为增函数.490ym设 042402409 m1m291601601所以 ,221214()()900所以 即 函数 在(160,400)上为2122121()(4)()mm12y490ym增函数.所以当 m=160 即 时取 ”=”,函数 y 有最小值,40x所以弧 上存在一点，当 时使建在此处的垃圾处理厂对城 A 和城 B 的总影响度最小.127. （山东省青岛市 2013 届高三上学期期中考试数学（理）试题）已知函数 为偶函数.2)(1)(xaf()求实数 的值;a()记集合 , ,判断 与 的关系;(),12Eyfx2lgl5g4E()当 时,若函数 的值域为 ,求 的值.x1,nm0()fx32,nm【答案】解: () 为偶函数 )(f()fx22 )(1)(1xaaR 且 , ,01(2xa0a()由()可知: 21)(xf当 时, ;当 时, 1x0f3()4f, 34E
