1、山东省 2014 届高三理科数学备考之 2013 届名校解析试题精选分类汇编 6：不等式一、选择题1 （山东省枣庄市 2013 届高三 3 月模拟考试数学（理）试题）设 zxy,其中实数 x,y满足20,xyk若 z 的最大值为 6,则 z 的最小值为 （ ）A3 B2 C1 D0【答案】A 由 zxy得 xz,作出 0,xy的区域 BCD,平移直线 yxz,由图象可知当直线经过 C 时,直线的截距最大,此时 6z,由 6yx解得 3,所以3k,解得 (6,3)B代入 zxy的最小值为 3,选 （ ）A 2 （山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学（理）试题）若实数 xy、 满足40
2、 xy,则 21yzx的取值范围为 （ ）A (,4,)3B 2(,)3C 2,3D 4,【答案】A 【解析】做出不等式组对应的平面区域 OBC .因为21yzx,所以 z的几何意义是区域内任意一点 (,)xy与点 (1,2)P两点直线的斜率.所以由图象可知当直线经过点 ,PC时,斜率最小,经过点 B时,直线斜率最大.由题意知 (0,2)4,BC,所以 2410Bk, 013PCk,所以 1yzx的取值范围为 3z或 ,即 (,)3,选 （ ）A 由 40xy,得 2x,即 (,)A,此时 2153AMk,所以 35nzm的最小值是 13,选 D 3 （山东省枣庄三中 2013 届高三上学期
3、1 月阶段测试理科数学） 设 x, y 满足约束条件0,26yx,若目标函数 zaxby(a.0,b0),最大值为 12,则 ba32 的最小值为 （ ）A 74B 625C5 D4【答案】B 【解析】做出可行域,由 zaxby得 azxb,因为 0,b,所以直线斜率0ab,直线截距越大, z越大 ,做出直线 azyxb, ,由图象可知当直线 ayxb经过点 B 时,截距做大,此时 12,由3602xy得 4,代入直线 zaxby得 46,即 3ab.所以23235()aab,当且仅当 ,即时取等号,所以选 B 4 （山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学）若不等式231xk对任
4、意的 xR恒成恒成立,则实数 k的取值范围 （ ）A(-2,4) B(0,2) C2,4 D0,2【答案】B 因为 23x的最小值是 1,所以要使不等式231xk对任意的 x恒成恒成立,则有 1k,即 1k,所以 0,即实数 的取值范围 (0),选 B 5 （山东省滨州市 2013 届高三第一次（3 月）模拟考试数学（理）试题）已知不等式2x a的解集不是空集,则实数 a的取值范围是 （ ）A 2 D a2【答案】D 因为 x的最小值为 2,所以要使不等式的解集不是空集,则有 2,选 D 6 （山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）设 x、y 满足24,1,xy则 z
5、xy （ ）A有最小值 2,最大值 3 B有最小值 2,无最大值 C有最大值 3,无最大值 D既无最小值,也无最大值【答案】B 【解析】做出可行域如图 (阴影部分 ).由 zxy得yxz,做直线 yx,平移直线 yx由图可知当直线经过点 C(2,0)时,直线的截距最小 ,此时 z 最小为 2,没有最大值,选 B 7 （山东省潍坊市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学）已知()2)(3),(2xfxaxag,同时满足以下两个条件:,0Rf或; (1)()0fxg， 成立,则实数 a 的取值范围是 （ ）A 1(4,)2B 1(,4)(,)2C (,0)D 【答案】C 解:由 gx 1,要使对
6、于任意 xR, ()0f或 ()gx成立,则1x时, ()2)(3)0faa恒成立,故 a,且两根 2a与 3均比大,得 40. 因为 (,)时, ()gx,故应存在 0(1,)x,使 f(x0)0, 只要 12a或 3即可,所以 2a或 ,由、求交,得40或,即实数 a 的取值范围是 1(42)(,),选 C 8 （山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学（理）已知变量 x、y,满足203xy,则 41(2)zogxy的最大值为 （ ）A B1 C 32D2【答案】C 【解析】设 2txy,则 2xt.做出不等式组对应的可行域如图为三角形OB内.做直线 ,平移直线 y,当直线 2
7、yxt经过点 C 时,直线2yxt的截距最大,此时 t最大,对应的 z也最大,由 03,得1,.即 (1,2)C代入 txy得 4t,所以 41(2)ogxy的最大值为443()8zogxylogl,选 C 9 （山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学（理）如果不等式57|1|x和不等式 20axb有相同的解集 ,则 （ ）A 8,0abB 1,9C 49abD 1,2ab【答案】C 【解析】由不等式 57|x可知 50x,两边平方得 22(5)49()x,整理得 2490x,即 249.又两不等式的解集相同,所以可得,ab,选 C 10（山东省济南市 2013 届高三上学期期末
8、考试理科数学）设实数 ,xy满足不等式组 103xy,则 2zxy的最大值为 （ ）A13 B19 C24 D29 【答案】A 【 解析】由 2zxy,得 2xz.做出不等式组对应的平面区域 BC D ,做直线 2yx,平移直线 2yxz,由图象知 当直线经过点 C 时, 2yxz的截距最大,此时 z最大.由103xy得29xy,代入 zxy得 2913zxy,所以最大值为 13,选 （ ）A 11（山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理）设 0.53,log2,csab,则 （ ）A cbaB cabC abcD bca【答案】A 【解析】 0.531, 30log21, s0,
9、所以 ,选 （ ）A 12（山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）不等式 3l5 - 2xl0,)zaxby的最小值为 2,则 ab的最大值为 （ ）A1 B 12C 14D 16【答案】D 【解析】由 =+(0,)zaxby得 azyxb,可知斜率为 0ab,作出可行域如图, 由图象可知当直线 azyxb经过点 D 时,直线azyxb的截距最小,此时 z最小为 2.由 21得 3y,即 (2,),代入直线 +2得 32b,又 36ab,所以 6ab,当且仅当31a,即 1,a时取等号,所以 的最大值为 ,选 D 15（山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学
10、（理）试题）已知第一象限的点(a,b)在直线 2x+3y1=0 上,则代数式 23ab的最小值为 （ ）A24 B25 C26 D27【答案】B 【解析】因为第一象限的点(a,b)在直线 2x+3y1=0 上,所以有2310,abab,即 231ab,所以66()23)4925ba,当且仅当6ba,即 15b取等号,所以 23ab的最小值为 25,选 B 16（山东省淄博市 2013 届高三复习阶段性检测（二模）数学（理）试题）已知 x,y 满足条件02xyk(k 为常数),若目标函数 3zxy的最大值为 8,则 k= （ ）A 16B 6C 8D6 【答案】B 由 3zxy得 13zx.先作
11、出 0xy的图象,因为目标函数 3zxy的最大值为 8,所以38xy与直线 yx的交点为 C,解得 (2,)C,代入直线 20k,得 6,选B 17（山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理）已 知 不 等 式 组210yxk所 表 示 的 平面 区 域 为 面 积 等 于 14的 三 角 形 ,则 实 数 k的 值 为 （ ）A B 2C 12D1【答案】D 【解析】由图象知 0k.当 y时, Bxk. C.,所以 2k,即 由21yxk,得 1A,所 以 11(2)4AS,解 得 1或217k(舍 去 ),所 以 1k,选 D 18（山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理
12、科数学）定义区间 (, )ab, (ab, ab的长度均为 dba,多个区间并集的长度为各区间长度之和,例如, (12)3, 5的长度 (21)53. 用 x表示不超过 x的最大整数,记x,其中 Rx.设 fx, ()1g,当 0k时,不等式()fg解集区间的长度为 5,则 k的值为 （ ）A 6B 7C 8D 9网【答案】B 2()()fxxx,由 ()fxg,得21x,即 21.当 0, ,不等式的解为 1,不合题意.当 ), x,不等式为 ,无解,不合题意.当 2x时, ,所以不等式 2(x等价为 x,此时恒成立,所以此时不等式的解为2k,因为不等式 ()fxg解集区间的长度为 5,所以
13、 2=5k,即 7,选 B 19（山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学（理）试题）设变量 yx满足约束条件 0815yx,则目标函数 yxz34的最小值和最大值分别为 （ ）A-6,11 B2,11 C-11,6 D-11,2【答案】A 【 解析】由 yxz34得 43zx.做出可行域如图阴影部分,平移直线43zyx,由图象可知当直线 43zyx经过点 C 时,直线 43zyx的截距最小,此时 最大,当 43zyx经过点 B时,直线 zyx的截距最大,此时 最小.由5108x得 5,即 (,)C,又 (0,2),把 (5,)代入 yx4得4329=zy,把 (,)B代入 yxz
14、34得 32=6z,所以函数 x的最小值和最大值分别为 6,1,选 （ ）A 20（山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）设奇函数1,fx在上是增函数,且 1f,若函数, 21fxta对所有的都成立,则当 ,a时 t 的取值范围是 （ ）A 2tB 12t C 02t或 或 D 02t或 或【答案】C 因为奇函数 1,fx在 上是增函数,且 1f,所以最大值为 (1)f,要使2fta对所有的 ,x都成立,则 2ta,即 20ta,即()0t,当 t时,不等式成立.当 0a时,不等式的解为 .当1时,不等式的解为 2t.综上选 C 21（山东省济南市 2013 届高三上
15、学期期末考试理科数学）设0.30.3,log,labce则 ,abc的大小关系是 （ ）A B C acD cab【答案】B 【 解析】 0.3 0.31,log1,logce,所以 ,选 B 22（山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）若,0,abR且则下列不等式中,恒成立的是 （ ）A 2aB 12baC 2baD 2ab 【答案】C 因为 0ab,所以 ,0b,即 2ba,所以选 C 23（山东省烟台市 2013 届高三 3 月诊断性测试数学理试题） 实数 x,y 满足 0)1(yxa,若函数 z=x+y 取得最大值 4,则实数 a 的值为 （ ）A2 B3 C
16、4 D 23【答案】A ,由 zxy得 xz,作出不等式对应的区域,平移直线 yxz,由图象可知当直线经过点 D 时,直线的截距最大为 4,由 40xy,解得 2,即 D(2,2),所以 2a,选 （ ）A 二、填空题24（山东省济南市 2013 届高三 3 月高考模拟理科数学） 若点 1,A在直线02nymx上,其中 ,0mn则 1的最小值为_.【答案】 因为点 1,A在直线 2yx上,所以 20mn,即 12n,所以1() 1nmn,当且仅当2,即 2时取等号.所以 n的最小值为 2. 25（山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理（A ）已知 yx,满足031yx,则 yx2的
17、最大值为.【答案】2 【解析】设 zxy,则 xz.作出可行域如图作直线 2yx,平移直线 2yxz,由图象可知当直线 2yxz经过点 D 时,直线 z的截距最下,此时 最大,把 (10)D代入直线 z得 ,所以 yx2的最大值为 2. 26（山东省烟台市 2013 届高三上学期期末考试数学（理）试题）若不等式 26ax 的解集为 (1,2),则实数 a 等于【答案】4 【解析】因为不等式的解集为 (1,2),即 是方程的两个根,所以 26a=且26a=,解得 4a. 27（山东省青岛即墨市 2013 届高三上学期期末考试数学（理）试题）研究问题:“已知关于 x的不等式 02cbxa的解集为(
18、1,2),解关于 x的不等式 02abxc”,有如下解法:由 0)1(2cxba,令 y1,则 ),(,所以不等式 2xc的解集为 ），（ 2.类比上述解法,已知关于 x的不等式0kbxa的解集为 (,1)(3,则关于 的不等式 01cbak的解集为_.【答案】 ），（），（ 231 【 解析】关于 x的不等式 0kxbac的解集为 (2,1)(,3,用 x替换 ,不等式可化为,()11() xx,因为 (2,1)(,3,所以 12或 3,即不等式 0cxbak的解集为），（），（ 13. 28（山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学） 已知函数2 (0)()1xf,则
19、不等式 ()0fx的解集为_【答案】 ,) 【解析】若 0x,由 ()f得 210x,解得 1x.若 0,由 ()fx得1,解得 ,综上不等式的解为 ,即不等式的解集为 1. 29（山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学）已知 0x,则 24的最大值为_.【答案】 14因为 214x,又 0x时, 4x,当且仅当 x,即2x取等号,所以 104x,即 24x的最大值为 14. 30（山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学） 若 x,y 满足约束条件12xy,目标函数 2zxy最大值记为 a,最小值记为 b,则 a-b 的值为_.【答案】10 由 得 12zx.作出
20、不等式组对应的区域,平移直线 12zyx,由平移可知,当直线 12zyx经过点 D 时,直线的截距最小,此时 z最小.经过点 B 时,直线的截距最大,此时 最大.由12xy,解得 10xy,即 (,)D代入 zxy得 1b.由 xy解得34y,即 (,)B,代入 2zy得 1a,所以 0. 31（山东省滨州市 2013 届高三第一次（3 月）模拟考试数学（理）试题） 设实数 x, y满足约束条件 20,xy,则目标函数 zxy的最大值为_.【答案】4 由 zxy得 x.作出不等式对应的区域,平移直线 yxz,由图象可知,当直线 z与圆在第一象限相切时,直线 yxz的截距最大,此时z最大.直线与
21、圆的距离 2d,即 4z,所以目标函数 y的最大值是4. 32（山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学）已知 ,xy满足约束条件240xy,则目标函数 2zxy的最大值是_【答案】 25 由 得, 2xz.作出不等式对应的区域,平移直线 2yxz,由图象可知,当直线 2yxz与圆在第一象限相切时,直线 z的截距最大,此时 最大.直线与圆的距离21zd,即 5z,所以目标函数 zxy的最大值是 5. 33（2013 年临沂市高三教学质量检测考试理科数学）已知 O 是坐标原点,点 M 的坐标为(2,1),若点 N(x,y)为平面区域21xy上的一个动点,则 NA的最大值是_ .【答案
22、】3 2OMNxyA,设 2zxy,则 2xz.不等式对应的区域为 BCD,平移直线 2yxz,由图象可知当直线 2yxz经过点 C 时,直线 2yxz的截距最大,此时 最大,由 yx,解得 1,即(1,),代入 得 3y,所以 OMNA的最大值是 3. 三、解答题34（山东省泰安市 2013 届高三上学期期末考试数学理）小王于年初用 50 万元购买一辆大货车,第一年因缴纳各种费用需支出 6 万元,从第二年起,每年都比上一年增加支出 2 万元,假定该年每年的运输收入均为 25 万元.小王在该车运输累计收入超过总支出后,考虑将大货车作为二手车出售,若该车在第 x年年底出售,其销售价格为 25 x
23、万元(国家规定大货车的报废年限为 10 年).(I)大货车运输到第几年年底,该车运输累计收入超过总支出?(II 在第几年年底将大货车出售,能使小王获得的年平均利润最大?)(利润=累计收入+销售收入-总支出)【答案】35（山东省实验中学 2013 届高三第一次诊断性测试数学（理）试题）某厂生产某种产品的年固定成本为 250 万元,每生产 x 千件,需另投入成本为 ()Cx当年产量不足 80 千件时,21()03Cxx(万元);当年产量不小于 80 千件时 10545(万元),每件商品售价为 .5万元,通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润 L(万元)关于年产量 x(千件)的函数
24、解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?【答案】36（山东省德州市 2013 届高三上学期期末校际联考数学（理）某工厂去年的某产品的年销售量为 100 万只,每只产品的销售价为 10 元,每只产品固定成本为 8 元,今年,工厂第一次投入 100 万元,并计划以后每年比上一年多投入 100 万元,预计销售量从今年开始每年比上一年增加 10 万只,第 n 次投入后,每只产品的固定成本为()(0)1kgnN为 常 数,若产品销售价保持不变,第 n 次投入后的年利润为 f万元.(1)求 k 的值,并求出 ()fn的表达式;(2)若今年是第 1 年,则第几年年利润最高?最高利润为多少万元?【答案】
