1、圆锥曲线秒杀法吴磊研究高考作文之余，本人也研究高考数学的秒杀方法，主要包括隐函数求导、柯西不等式、仿射、参数方程、极点极线一、圆锥曲线部分小题用到的方法1、椭圆 C： x/8+y/2=1 与斜率 K=1/2 的直线 l 相切，则切点坐标为_注:传统方法我就不讲了，讲两种秒杀法法一、隐函数求导直接对 C：x/8+y/2=1 求关于 X 导数可得 x/4+yy=0，带入 K=1/2，x=-2y,带入椭圆方程，很容易解出切点为(-2,1)和 (2,-1)；法二、缩放坐标将椭圆缩放成圆利用圆的性质快速解题，将 X 轴压缩为原来的1/2，即 x=2x(这里不是导数，只表示一个未知数)；斜率K=2K=1，
2、椭圆化为圆 C: x+ y=2;很容易求得 I与 C相切于(-1,1)和 (1,-1)，还原，可知 I 与 C 相切于(-2,1)和 (2,-1)2、椭圆 C：x/4+y/3=1 上的点到直线 L:x-2y-1=0 距离的取值范围为:_法一、直接用柯西不等式椭圆和直线相交，最小距离为 0，最大距离为椭圆 C 与 l 平行的切线 l与 l 的距离，l= x-2y+b=0;构造柯西不等式可知(x/4+y/3)（4+12）(x-2y);-4b4;把 4 和-4 代入 l；再利用平行线距离公式求 I 和 l距离，最大距离为 所以 0d5 5法二、缩放坐标系椭圆和直线相交，最小距离为 0，最大距离为椭圆
3、 C 与 l 平行的切线 l与 l 的距离。l= x-2y+b=0；缩放 y=3/2 y；椭圆 C 缩放后方程 C为: x+y=4；l缩放后表达式为 l=x-3y+b=0, C与 l相切，利用点到直线距离为半径，容易求的 b=4 和-4；再利用平行线距离公式很容易求得范围为 0d53、过定点(4、0)的直线 l 与椭圆 C：x/4+ y=1 有公共点，则直线 l斜率 K 取值范围为:_法一、直接用柯西不等式l:my=x-4,则 x-my=4;构造柯西不等式， (x/4+y)（2+ m）(x-my)可得，m 12,注意是反设斜率，故 k= 1/m;很容易解出 k 的范围为-3/6k3/6法二、缩
4、放坐标l:my=x-4， x=2x C: x + y =1; I:m y=2 x-4, 用点到直线距离公式，d=4/(4 + m )1；可解的 m12,注意是反设斜率，故k= 1/m;很容易解出 k 的范围为-3/6k3/6二、柯西不等式柯西不等式在高中数学提升中非常重要，是高中数学研究内容之一，是求某些函数最值中和证明某些不等式时经常使用的理论根据，技巧以拆常数，凑常值为主。柯西不等柯西不等式-方和 积不小于积和 方222221 1 12n n naabbabab 21210当 且 仅 当 或 时 取 等 n nab 柯西不等式的主要变形公式变形公式 1 2222121211n n nnab
5、ababaabb 取等条件同 变形公式 2212 1212n nnababab A12 12 12n nab 变形公式 3柯西2222222111nn naabbabb 不等式三角公式 变形公式 4取等条件同 222121 nnaabbb 变形公式 5取等条件同 21212 nnaabbba 三、仿射四、参数方程椭圆参数方程 吴磊 一、没吃过猪肉，你还没见过猪跑x=acos；y=bsin 是一组我们熟悉而又陌生的方程，可问题是你真懂他们的含义吗? 究竟是个什么东东，和圆参数方程和极坐标方程中 是一个意思吗?1、从一道百分之九十以上人都做错的简单题展开例 1、 P 是椭圆 C 上一点: x= 4
6、cos; y=23sin 且在第一象限 O（ O 为原点）P 的倾斜角为 /3，则 P 点的坐标为_经典错法:因为倾斜角为 /3，x= 4cos; y=23sin，所以x= 4cos/3=2; y=23sin/3 =3 求得 P 坐标（2、3 ）正解:椭圆参数方程 是旋转而成的圆心角而不是倾斜角因为 OP 的倾斜角为 /3，故 OP 的斜率 K= tan/3=3；3=y/x 23sin/4cos=3 (1) sin+cosa=1 (2) 联立二式，P 在第一象限，可解cos=5/5 sin=25/5 P 点坐标为(45/5 、4 15/5 )2、椭圆参数方程的推导和含义解释3、椭圆参数方程的设
7、法可能有的同学会按照焦点在 X 轴:x=acos ；y=bsin焦点在 Y 轴:x=bcos；y=asin 去记忆，老师告诉你别这么理解，你只要记住 cos 对应的系数是 a 和 b 中大的，cos 和扩大谐音，参数方程还原主要看 cos 前的系数，它一定是大的，焦点在哪个轴，他在哪个下面。二、椭圆参数方程妙用1、椭圆内内接面积问题例 1: 解:可设 A( 10cos； 8sin )，利用对称性可知 B( 10cos；- 8sin )C( -10cos；- 8sin )；D( -10cos；8sin )AB长度为 16 sin ；AD 长度为 20 cos， 矩形面积 S=160 sin2，由
8、三角函数知识可知，面积最大为 160例 2：解:要使 SOAPB最大，由图可知 SOAB为定值，需求出 P到直线 AB距离，距离最大时 SBPA最大，从而 SOAPB最大，用椭圆参数方程设 P为 x=acos；y=bsin直线 AB 的方程为:x/a+y/b=1 用 P 到 AB 的距离公式可以求得距离最大为ab(2-1)2, SOAPB= ab2/22、椭圆相关距离问题例 1:解: 用椭圆参数方程设 P为 x=2cos ；y=sin ；A(0,3/2)由点到距离公式可知 AP 最大为 5/2,所以 PQ 最大值为 3例 2:椭圆约束下二次型最值问题解:用椭圆参数方程解，转化成三角函数最值问题
9、。由于 b和 4 大小未知，显然需要分类讨论 0b 2，时 P(x=2cos；y=bsin),转化成求 4 cos+ 2bsin 最大值 可求得最大值为(b/4)+4 b2 P(x=bcos；y=2sin), 转化成求 bcos+ 4sin 最大值可求得最大值为 2b3、椭圆与向量求范围、求值问题例 1已知椭圆 E： ,A在 E上（1,1/2），若点 P在 E上满足（1）求 t的范围（2）过原点 O的直线交 E于 BC，求 SBCA 的最大值解:Smax=2五、极点极线圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学
10、生思维、计算多方面能力。掌握有关极点与极线的基本性质，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，做题事半功倍。1.从几何角度看极点与极线定义 1 如图 1，设 是不在圆锥曲线上的一点，过 点引PP两条割线依次交圆锥曲线于四点 ，连接,EFGH,EF交于 ，连接 交于 ，则直线 为点 对应的极线.N,EGHMN若 为圆锥曲线上的点，则过 点的切线即为极线.PP由图 1 同理可知， 为点 对应的极线， 为点 所PM对应的极线.因而将 称为自极三点形.设直线 交圆锥曲线NN于点 两点，则 恰为圆锥曲线的两条切线.,AB,PB定理 1 (1)当 在圆锥曲线 上时，则点 的极线是曲线P在 点处的
11、切线；(2)当 在 外时，过点 作 的两条切线，设其切点分别为 ，则点 的极PP,ABP线是直线 (即切点弦所在的直线)；AB(3) 当 在 内时，过点 任作一割线交 于 ，设 在 处的切线交于点,，则点 的极线是动点 的轨迹.QQ定理 2 如图 2，设点 关于圆锥曲线 的极线为 ，过点 任作一割线交 于PlP，交 于 ，则 ；反之，若有成立，则称点 调和分割线段,ABlAB,Q，或称点 与 关于 调和共轭，或称点 (或点 )关于圆锥曲线的调和共轭点为点 (或点 ).点 关于圆锥曲线 的调QP和共轭点是一条直线，这条直线就是点 的极线.PEFGHMANB图 1PQA图 2Bl推论 1 如图 2
12、，设点 关于圆锥曲线 的调和共轭P点为点 ，则有 ；反之，若有成立，Q1AB则点 与 关于 调和共轭.P可以证明与是等价的.事实上，由有 1AQBPABQPQAB1()2PAB.21P特别地，我们还有推论 2 如图 3，设点 关于有心圆锥曲线 (设其中心为 )的调和共轭点为点 ，POQ连线经过圆锥曲线的中心，则有 ，反之若有此式成立，则点 与Q2ORPQ P关于 调和共轭.证明：设直线 与 的另一交点为 ，则，化简PRQR即可得 .反之由此式可推出2O，即点 与 关于 调和共轭.RQP推论 3 如图 4， 圆锥曲线 的一条,AB对称轴 上的两点(不在 上)，若 关于 调l ,和共轭，过 任作
13、的一条割线，交 于,PQ两点，则 .PABQ证明：因 关于直线 对称，故在 上存在l的对称点 .若 与 重合，则 与,P也重合，此时 关于 对称，有 ；PlABQ若 与 不重合，则 与 也不重合，由于Q ,PQR图 3ROPlA图 4RBQR关于 调和共轭，故 为 上完全四点形,ABPQ的对边交点，即 在 上，故 关于直线QP,l对称，也有 .定理 3 (配极原则)点 关于圆锥曲线 的极线 经过点 点 关于 的极线 经过点 ；直线 关于 的极点 在直线pqPpP上 直线 关于 的极点 在直线 上.qQp由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材
14、，如【1】，其中定理 1 的初等证法可参阅文【2 】.2.从代数角度看极点与极线定义 2 已知圆锥曲线 ，则称点 和直2:20AxCyDxEyF0(,)Pxy线 是圆锥曲线 的一对极点和极线.000:()()lAxCyDE 事实上，在圆锥曲线方程中，以 替换 ，以 替换 ，以 替换 ，20x02以 替换 即可得到点 的极线方程.02y0(,)Pxy特别地：(1)对于椭圆 ，与点 对应的极线方程为 ；21xyab0(,)xy021xyab(2)对于双曲线 ，与点 对应的极线方程为 ；20(,)P02(3)对于抛物线 ，与点 对应的极线方程为 .2ypx,y00()ypx(4)如果圆锥曲线是椭圆
15、，当 为其焦点 时，极线恰为21ab0(,)x,Fc椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线 ，当 为其焦点 时，极2y0,Py(,0)线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线 ，当 为其焦点2px0(,)时，极线恰为抛物线的准线. (,0)2pF3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例 1】 (2010 江苏卷文理 18)在平面直角坐标系 中，如图，已知椭圆xOy的左右顶点为 ，右焦点为 设过点 的直线 与此椭圆592yx,ABF(,)Ttm,ATB分别交于点 ，其中 ， 12(,)()MxyN0m120，(1)设动点 P 满足 ，求点 的轨迹；4FP(2)设 ，求点 的坐标；123x， T(3)设
16、，求证：直线 必过 轴上的一定点（其坐标与 无关）9tNxm分析与解：前面两问比较简单，这里从略.对于(3) ，当 时， 点坐标为 ，tT(9,)m连 ，设直线 与 的交点为 ，根据MNABNK极点与极线的定义可知，点 对应的极线经过 ，又点 对应的极线方程为 ，即T915xy，此直线恒过 轴上的定点 ，15myxK(,0)从而直线 也恒过定点 .MN(1,0)【例 2】 (2008 安徽卷理 22)设椭圆 过点 ，且左2:1(0)xyCab(2,1)M焦点为 .1(,0)F(1)求椭圆 的方程；C(2)当过点 的动直线 与椭圆 交于两个不同的点 时，在线段 上取(4,)PlC,ABA点 ，满
17、足 ，证明点 总在某定直线上.QABQ分析与解：(1)易求得答案 .214xy(2)由条件可有 ，说明点 关于PAQB,PyxO BA图 5K(,)TtMNBQ xyOPA.图 6圆锥曲线 调和共轭.根据定理 2，点 的轨迹就是点CQ对应的极线，即 ，化简得 .P41xy20xy故点 总在定直线 上.Q20【例 3】 ( 1995 全国卷理 26)已知椭圆 ，直线 ， 是2:146xyC:128xylP上一点，射线 交椭圆于点 ，又点 在 上且满足 ，当点lOPRQOPQOR在 上移动时，求点 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线 .P分析与解：由条件知 可知点 关于圆锥曲线 调和共轭，而2,C
18、点 可看作是点 的极线与直线 的交点.Q设 ，则与 对应的极线方程为(12,8)PtP，化简得46txy(1)2tt又直线 的方程为 ，化简得OP812tyx23tyx解由联立方程组得，消去 得 ，可化为 (2654txtt2346xyx22(1)()153xy不同时为 )，故点 的轨迹是以 为中心，长短轴分别为 和 ，且长,xy0Q(1,) 02轴平行于 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例 4】 (2006 年全国卷 II 理 21)已知抛物线 24xy的焦点为 ， 是抛物线上的两动点，且F,ABAFB，过 两点分别作抛物线的切线，并设其交点(0)为 .PABPO xy图 8FRQxyOP.图
19、 7(1)证明 为定值；FPAB(2)设 的面积为 ，写出 的表达式，S()f并求 的最小值.S分析与解：(1)显然，点 的极线为 ，故可设点PAB，再设 ， 三点对应的极线方程分别为 ，0(,1)Px12(,)(,)Axy,F1y， ，由于 三点共线，故相应的三极线共点于2y2，将 代入后面两个极线方程得 ，两式相减得0(,) 10122()xy.1212()x又 ，故 .021,(,)FPxABxy 02121()()0FPABxy (2)设 的方程为 ，与抛物线的极线方程 对比可知直线k对应的极点为 ，把 代入 并由弦长公式得AB(,)24y，所以 .24(1)k 2(1)()2ABPS
20、k显然，当 时， 取最小值 .04【例 5】 (2005 江西卷理 22)设抛物线 2:Cyx的焦点为 ，动点 在直线 上运动，FP:0lx过 作抛物线的两条切线 ，且与抛物线分别P,AB相切于 两点.,AB(1)求 的重心 的轨迹方程；G(2)证明 .PFB分析与解：(1)设点 ，012(,)(,)(,)xyABxy与 对比可知直线 对应的极点为 ， 为直线 上的动点，002yx:0l1(,2)Pl则点 对应的极线 必恒过点 .PB(,)2ABPO xy图 9F l设 ，可化为 ，故直线 对应的极点为1:2()ABykx2kyxAB，将直线 的方程代入抛物线方程得 ，由此得(,)kP 20k， 的重心 的轨迹方程为2121212()4x k PG，消去 即得22123433kxkky k.2(4)3x(2)设 ，由(1)知 ，又 ，由(1)知221,(,)ABx1212,kxx1(0,)4F，即 ，所以 ， ，(,)2kP12P()4FA21xP.24FBx.同221212112112()()(444cosxxxxPFA FPFP 理 .12csxBFP所以有 .A
