1、2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 大纲全国，理 1)设集合 A1,2,3， B4,5， M x|x a b， a A， b B，则 M 中元素的个数为( )A3 B4 C5 D62(2013 大纲全国，理 2) ( )3(1+iA8 B8 C8i D8i3(2013 大纲全国，理 3)已知向量 m( 1,1)， n( 2,2)，若( m n)( m n)，则 ( )A4 B3 C2 D14(2013 大纲全国，理 4)已知函数 f(x)的定义域
2、为(1,0)，则函数 f(2x1)的定义域为( )A(1,1) B C(1,0) D1,21,25(2013 大纲全国，理 5)函数 f(x) (x0)的反函数 f1 (x)( )21logA (x0) B (x0) C2x1(xR) D2x1(x0)12x1x6(2013 大纲全国，理 6)已知数列 an满足 3an1 an0， a2 ，则 an的前 10 项和43等于( )A6(1310) B (1310) C3(1310) 9D3(1310)7(2013 大纲全国，理 7)(1 x)8(1 y)4的展开式中 x2y2的系数是( )A56 B84 C112 D1688(2013 大纲全国，
3、理 8)椭圆 C： 的左、右顶点分别为 A1， A2，点 P 在 C 上且2=143直线 PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线 PA1斜率的取值范围是( )A B C D13,243,841,23,149(2013 大纲全国，理 9)若函数 f(x) x2 ax 在 是增函数，则 a 的取值范,围是( )A1,0 B1，) C0,3 D3，)10(2013 大纲全国，理 10)已知正四棱柱 ABCD A1B1C1D1中， AA12 AB，则 CD 与平面BDC1所成角的正弦值等于( )A B C D2332311(2013 大纲全国，理 11)已知抛物线 C： y28 x 与点 M(2,2)
4、，过 C 的焦点且斜率为k 的直线与 C 交于 A， B 两点若 ，则 k( )0BA B C D212212(2013 大纲全国，理 12)已知函数 f(x)cos xsin 2x，下列结论中错误的是( )Ayf(x)的图像关于点(，0)中心对称 Byf(x)的图像关于直线 对称=2xCf(x)的最大值为 Df(x)既是奇函数，又是周期函数32二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13(2013 大纲全国，理 13)已知 是第三象限角，sin ，则 cot 13 _.14(2013 大纲全国，理 14)6 个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)15(201
5、3 大纲全国，理 15)记不等式组 所表示的平面区域为 D.若直线0,34xyy a(x1)与 D 有公共点，则 a 的取值范围是_16(2013 大纲全国，理 16)已知圆 O 和圆 K 是球 O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径， OK ，且圆 O 与圆 K 所在的平面所成的一个二面角为 60，则球 O 的表面积32等于_三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17(2013 大纲全国，理 17)(本小题满分 10 分)等差数列 an的前 n 项和为 Sn.已知 S3，且 S1， S2， S4成等比数列，求 an的通项公式2a18(2013 大纲全国，理 18)(本小题满
6、分 12 分)设 ABC 的内角 A， B， C 的对边分别为a， b， c，( a b c)(a b c) ac.(1)求 B；(2)若 sin Asin C ，求 C31419(2013 大纲全国，理 19)(本小题满分 12 分)如图，四棱锥 P ABCD 中， ABC BAD90， BC2 AD， PAB 和 PAD 都是等边三角形(1)证明： PB CD；(2)求二面角 A PD C 的大小20(2013 大纲全国，理 20)(本小题满分 12 分)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为 ，各局比赛
7、的结果相互独立，第 1 局甲当裁判12(1)求第 4 局甲当裁判的概率；(2)X 表示前 4 局中乙当裁判的次数，求 X 的数学期望21(2013 大纲全国，理 21)(本小题满分 12 分)已知双曲线 C： (a0， b0)2=1xyb的左、右焦点分别为 F1， F2，离心率为 3，直线 y2 与 C 的两个交点间的距离为 .6(1)求 a， b；(2)设过 F2的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A， B 两点，且| AF1| BF1|，证明：|AF2|，| AB|，| BF2|成等比数列22(2013 大纲全国，理 22)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x) .1ln+)x(
8、1)若 x0 时， f(x)0，求 的最小值；(2)设数列 an的通项 ，证明： a2n an ln 2.1=+23n 142013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(大纲全国卷)一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：B解析：由题意知 x a b， a A， b B，则 x 的可能取值为 5,6,7,8.因此集合 M 共有 4 个元素故选 B.2答案：A解析： .故选 A.323(1+i)=i+()i=8 3答案：B解析：由( m n)( m n)| m|2| n|20( 1) 21( 2) 240 3.故选
9、 B.4 答案：B解析：由题意知12 x10，则1 x .故选 B.125答案：A解析：由题意知 2 y x (y0)，1+1因此 f1 (x) (x0)故选 A.6答案：C解析：3 an1 an0， an1 .数列 an是以 为公比的等比数列 a23n13， a14.43 S10 3(13 10 )故选 C.107答案：D解析：因为(1 x)8的展开式中 x2的系数为 ，(1 y)4的展开式中 y2的系数为 ，所以28C24Cx2y2的系数为 .故选 D.24C168 答案：B解析：设 P 点坐标为( x0， y0)，则 ，20=143xy， ，于是 .20PAykx102PAkx12 22
10、0034PAxykx故 .1234PAPA 2，1，k .故选 B.13,84PA9答案：D解析：由条件知 f( x)2 x a 0 在 上恒成立，即 在21,21ax上恒成立函数 在 上为减函数，1,2y,. a3.故选 D.max21lk于是212 4()nnka121lnknkln 2 nln nln 2.所以 .21l24na2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷 I)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1(2013 课标全国，理 1)已知集合 A x|x22 x0， B x| x ，
11、则( 5)A A B B A BR C B A D A B2(2013 课标全国，理 2)若复数 z 满足(34i) z|43i|，则 z 的虚部为( )A4 B C4 D5453(2013 课标全国，理 3)为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A简单随机抽样 B按性别分层抽样 C按学段分层抽样 D系统抽样4(2013 课标全国，理 4)已知双曲线 C： (a0， b0)的离心率为2=1xyb，则 C 的渐近线方程为(
12、 )52Ay By Cy Dyx14x13x12x5(2013 课标全国，理 5)执行下面的程序框图，如果输入的 t1,3，则输出的 s 属于( )A3,4 B5,2 C4,3 D2,56(2013 课标全国，理 6)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )A cm3 B cm3503863C cm3 D cm31722047(2013 课标全国，理 7)设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若Sm1 2， Sm0， Sm1 3，则 m( )A3 B4 C
13、5 D68(2013 课标全国，理 8)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A168 B88 C1616 D8169(2013 课标全国，理 9)设 m 为正整数，( x y)2m展开式的二项式系数的最大值为a，( x y)2m1 展开式的二项式系数的最大值为 b.若 13a7 b，则 m( )A5 B6 C7 D810(2013 课标全国，理 10)已知椭圆 E： (a b0)的右焦点为 F(3,0)，过2=1xy点 F 的直线交 E 于 A， B 两点若 AB 的中点坐标为(1，1)，则 E 的方程为( )A B C D2=14536xy21367xy2718xy2=189x
14、y11(2013 课标全国，理 11)已知函数 f(x) 若| f(x)| ax，则 a 的20ln().x， ，取值范围是( )A(，0 B(，1 C2,1 D2,012(2013 课标全国，理 12)设 AnBnCn的三边长分别为 an， bn， cn， AnBnCn的面积为Sn， n1,2,3，.若 b1 c1， b1 c12 a1， an1 an， bn1 ， cn1 ，22ba则( )ASn为递减数列 BSn为递增数列CS2n1为递增数列，S2n为递减数列 DS2n1为递减数列，S2n为递增数列第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第
15、(22)题第(24)题为选考题，考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13(2013 课标全国，理 13)已知两个单位向量 a， b 的夹角为 60， c ta(1 t)b.若 bc0，则 t_.14(2013 课标全国，理 14)若数列an的前 n 项和 ，则an的通项公213nS式是 an_.15(2013 课标全国，理 15)设当 x 时，函数 f(x)sin x2cos x 取得最大值，则 cos _.16(2013 课标全国，理 16)若函数 f(x)(1x2)(x2axb)的图像关于直线x2 对称，则 f(x)的最大值为_三、解答题：解答应写出文字说明，证明
16、过程或演算步骤17(2013 课标全国，理 17)(本小题满分 12 分)如图，在 ABC 中， ABC90， AB， BC1， P 为 ABC 内一点， BPC90.3(1)若 PB ，求 PA；2(2)若 APB150，求 tan PBA.18(2013 课标全国，理 18)(本小题满分 12 分)如图，三棱柱 ABC A1B1C1中，CA CB， AB AA1， BAA160.(1)证明： AB A1C；(2)若平面 ABC平面 AA1B1B， AB CB，求直线 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值19(2013 课标全国，理 19)(本小题满分 12 分)一批产品需要进行质量
17、检验，检验方案是：先从这批产品中任取 4 件作检验，这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n3，再从这批产品中任取 4 件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 n4，再从这批产品中任取 1 件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验假设这批产品的优质品率为 50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为 ，且各件产品12是否为优质品相互独立(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为 100 元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 X(单位：元)，求 X 的分布列及数学期望20(2013 课标全国，理
18、20)(本小题满分 12 分)已知圆 M：( x1) 2 y21，圆N：( x1) 2 y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，圆心 P 的轨迹为曲线 C.(1)求 C 的方程；(2)l 是与圆 P，圆 M 都相切的一条直线， l 与曲线 C 交于 A， B 两点，当圆 P 的半径最长时，求| AB|.21(2013 课标全国，理 21)(本小题满分 12 分)设函数 f(x) x2 ax b， g(x)e x(cx d)若曲线 y f(x)和曲线 y g(x)都过点 P(0,2)，且在点 P 处有相同的切线y4 x2.(1)求 a， b， c， d 的值；(2)若 x2 时， f
19、(x) kg(x)，求 k 的取值范围请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(2013 课标全国，理 22)(本小题满分 10 分)选修 41：几何证明选讲如图，直线 AB 为圆的切线，切点为 B，点 C 在圆上， ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E， DB垂直 BE 交圆于点 D.(1)证明： DB DC；(2)设圆的半径为 1， BC ，延长 CE 交 AB 于点 F，求 BCF 外接圆的半径323(2013 课标全国，理 23)(本小题满分 10 分
20、)选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C1的参数方程为 (t 为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴45cos,inxy为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 2sin .(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2交点的极坐标( 0,0 2)24(2013 课标全国，理 24)(本小题满分 10 分)选修 45：不等式选讲：已知函数 f(x)|2 x1|2 x a|， g(x) x3.(1)当 a2 时，求不等式 f(x) g(x)的解集；(2)设 a1，且当 x 时， f(x) g(x)，求 a 的取值范围1,22013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数
21、学理工农医类(全国卷 I 新课标)第卷一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1答案：B解析： x(x2)0， x0 或 x2.集合 A 与 B 可用图象表示为：由图象可以看出 A BR，故选 B.2 答案：D解析：(34i) z|43i|， .5(34i)ii5z故 z 的虚部为 ，选 D.3答案：C解析：因为学段层次差异较大，所以在不同学段中抽取宜用分层抽样4答案：C解析： ， .52cea2254cabe a24 b2， .1=渐近线方程为 .2byxa5答案：A解析：若 t1,1)，则执行 s3 t，故 s3,3)若 t1,3
22、，则执行 s4 t t2，其对称轴为 t2.故当 t2 时， s 取得最大值 4.当 t1 或 3 时， s 取得最小值 3，则 s3,4综上可知，输出的 s3,4故选 A.6答案：A解析：设球半径为 R，由题可知 R， R2，正方体棱长一半可构成直角三角形，即 OBA 为直角三角形，如图BC2， BA4， OB R2， OA R，由 R2( R2) 24 2，得 R5，所以球的体积为 (cm3)，故选 A.307答案：C解析： Sm1 2， Sm0， Sm1 3， am Sm Sm1 0(2)2， am1 Sm1 Sm303. d am1 am321. Sm ma1 10， .12又 am1
23、 a1 m13， .3m m5.故选 C.8答案：A解析：由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径r2，长为 4，在长方体中，长为 4，宽为 2，高为 2，所以几何体的体积为 r24 422816.故选 A.19答案：B解析：由题意可知， a ， b ，2Cm21又13 a7 b， ，!13=7即 .解得 m6.故选 B.13210 答案：D解析：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， A， B 在椭圆上，22,1,abxy ，得，12121212=0xxyyab即 ，12122=bxx AB 的中点为(1，1)， y1 y22， x1 x22，而 kAB
24、 ， .12yx0=32ba又 a2 b29， a218， b29.椭圆 E 的方程为 .故选 D.=189xy11答案：D解析：由 y| f(x)|的图象知：当 x0 时， y ax 只有 a0 时，才能满足| f(x)| ax，可排除 B，C.当 x0 时， y| f(x)| x22 x| x22 x.故由| f(x)| ax 得 x22 x ax.当 x0 时，不等式为 00 成立当 x0 时，不等式等价于 x2 a. x22， a2.综上可知： a2,012答案：B第卷本卷包括必考题和选考题两部分第(13)题第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答第(22)题第(24)题为选考题，
25、考生根据要求做答二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13答案：2解析： c ta(1 t)b， bc tab(1 t)|b|2.又| a| b|1，且 a 与 b 夹角为 60， b c，0 t|a|b|cos 60(1 t)，0 1 t.2 t2.14答案：(2) n1解析： ，23nSa当 n2 时， .113nn，得 ，123nna即 2.1n a1 S1 ，23 a11. an是以 1 为首项，2 为公比的等比数列， an(2) n1 .15答案： 5解析： f(x)sin x2cos x ，125sincos5令 cos ，sin ，则 f(x) sin( x)，5当 x2
26、 k (kZ)时，sin( x)有最大值 1， f(x)有最大值 ，5即 2 k (kZ)，所以 cos sin .cos2+cos22516答案：16解析：函数 f(x)的图像关于直线 x2 对称， f(x)满足 f(0) f(4)， f(1) f(3)，即 1564,0893bab解得 ,15.b f(x) x48 x314 x28 x15.由 f( x)4 x324 x228 x80，得 x12 ， x22， x32 .55易知， f(x)在(，2 )上为增函数，在(2 ，2)上为减函数，在5(2，2 )上为增函数，在(2 ，)上为减函数 f(2 )1(2 )2(2 )28(2 )155
27、5(8 )(8 )4806416.f(2)1(2) 2(2) 28(2)153(41615)9.f(2 )1(2 )2(2 )28(2 )155555(8 )(8 )4806416.故 f(x)的最大值为 16.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17解：(1)由已知得 PBC60，所以 PBA30.在 PBA 中，由余弦定理得 PA2 .173cos 30424故 PA .72(2)设 PBA ，由已知得 PBsin .在 PBA 中，由正弦定理得 ，3sinsin150()化简得 cos 4sin .3所以 tan ，即 tan PBA .343418(1)证明：取 AB 的
28、中点 O，连结 OC， OA1， A1B.因为 CA CB，所以 OC AB.由于 AB AA1， BAA160，故 AA1B 为等边三角形，所以 OA1 AB.因为 OC OA1 O，所以 AB平面 OA1C.又 A1C 平面 OA1C，故 AB A1C.(2)解：由(1)知 OC AB， OA1 AB.又平面 ABC平面 AA1B1B，交线为 AB，所以 OC平面 AA1B1B，故 OA， OA1， OC 两两相互垂直以 O 为坐标原点， 的方向为 x 轴的正方向，| |为单位长，建立如图所示的空间直AOA角坐标系 O xyz.由题设知 A(1,0,0)， A1(0， ，0)， C(0,0
29、， )， B(1,0,0)33则 (1,0， )， (1， ，0)， (0， ， )BCB1AC3设 n( x， y， z)是平面 BB1C1C 的法向量，则 即 可取 n( ，1，1)10,B30,.zxy3故 cos n， .1AC15所以 A1C 与平面 BB1C1C 所成角的正弦值为 .1019解：(1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1，第一次取出的 4 件产品全是优质品为事件 A2，第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1，第二次取出的 1 件产品是优质品为事件 B2，这批产品通过检验为事件 A，依题意有 A( A1B1)( A2B2)，且 A1B1与
30、A2B2互斥，所以P(A) P(A1B1) P(A2B2) P(A1)P(B1|A1) P(A2)P(B2|A2) .43664(2)X 可能的取值为 400,500,800，并且P(X400) ， P(X500) ， P(X800) .161614所以 X 的分布列为X 400 500 800P 1614EX 506.25.140+5806420解：由已知得圆 M 的圆心为 M(1,0)，半径 r11；圆 N 的圆心为 N(1,0)，半径 r23.设圆 P 的圆心为 P(x， y)，半径为 R.(1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切，所以| PM| PN|( R r1)( r2
31、R) r1 r24.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭3圆(左顶点除外)，其方程为 (x2)2=43xy(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x， y)，由于| PM| PN|2 R22，所以 R2，当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时， R2.所以当圆 P 的半径最长时，其方程为( x2) 2 y24.若 l 的倾斜角为 90，则 l 与 y 轴重合，可得| AB| .3若 l 的倾斜角不为 90，由 r1 R 知 l 不平行于 x 轴，设 l 与 x 轴的交点为 Q，则，可求得 Q(4,0)，所以可设 l： y k(x4)1|PRQMr
32、由 l 与圆 M 相切得 ，2|3=1k解得 k .4当 k 时，将 代入 ，22yx2=143xy并整理得 7x28 x80，解得 x1,2 .46所以| AB| .218|7kx当 时，由图形的对称性可知| AB| .4k187综上，| AB| 或| AB| .2318721解：(1)由已知得 f(0)2， g(0)2， f(0)4， g(0)4.而 f( x)2 x a， g( x)e x(cx d c)，故 b2， d2， a4， d c4.从而 a4， b2， c2， d2.(2)由(1)知， f(x) x24 x2， g(x)2e x(x1)设函数 F(x) kg(x) f(x)2
33、 kex(x1) x24 x2，则 F( x)2 kex(x2)2 x42( x2)( kex1)由题设可得 F(0)0，即 k1.令 F( x)0 得 x1ln k， x22.若 1 ke 2，则2 x10.从而当 x(2， x1)时， F( x)0；当 x( x1，)时，F( x)0.即 F(x)在(2， x1)单调递减，在( x1，)单调递增故 F(x)在2，)的最小值为 F(x1)而 F(x1)2 x12 4 x12 x1(x12)0.故当 x2 时， F(x)0，即 f(x) kg(x)恒成立若 ke 2，则 F( x)2e 2(x2)(e xe 2 )从而当 x2 时， F( x)
34、0，即 F(x)在(2，)单调递增而 F(2)0，故当 x2 时， F(x)0，即 f(x) kg(x)恒成立若 ke 2，则 F(2)2 ke2 22e 2 (ke 2)0.从而当 x2 时， f(x) kg(x)不可能恒成立综上， k 的取值范围是1，e 2请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22(1)证明：连结 DE，交 BC 于点 G.由弦切角定理得， ABE BCE.而 ABE CBE，故 CBE BCE， BE CE.又因为 DB BE，所以 DE 为直径， DCE90，由勾股定理可得 DB DC.(2)解：由(1)知， CDE BDE， DB DC，故 DG 是 BC 的中垂线，所以 BG .32设 DE 的中点为 O，连结 BO，则 BOG60.从而 ABE BCE CBE30，所以 CF BF，故 Rt BCF 外接圆的半径等于 .3223
