1、上海 2013 届高三理科最新数学试题精选（13 份含 16 区二模）分类汇编2：函数及其应用一、选择题1. （上海徐 汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题）已知函数 ,设1,0xf,则 是 （ ）2()()Fxf()FxA奇函数,在 上单调递减 B奇函数,在 上单调递增 (,)C偶函数,在 上递减,在 上递增 00,D偶函数,在 上递增 ,在 上递减2. （四区（静安杨浦青浦宝山）联考 2012 学年度第二学期高三（理）已知集合,若对于任意 ,存在 ,使)(),(xfyMMyx),(1yx),(2得 成立,则称集合 是“ 集合”. 给出下列 4 个集合:021x xy),( 2
2、),(xey Mcos, Mln其中所有“ 集合”的序号是 （ ）A . B . C. D.3. （上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题）函数 21()()fxx的反函数是（ ）A 2(13)yxB (3)y C D 2x4. （上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学（理）试题 ）(理)已知 0a且 1,函数)(log)(2bxxfa在区间 ),(上既是奇函数又是增函数 ,则函数|的图象是 5. （上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响,某公司 2012 年一年内每天的利润 ()Qt(万元)与时间 t(天)的关系
3、如图所示,已知该公司 2012 年的每天平均利润为 35 万元,令 C(万元)表示时间段0t内该公司的平均利润,用图像描述 ()Ct与 之间的函数关系中较准确的是 6. （2013 年上海市高三七校联考（理）若 在区间 上单调递减,则()sinfx()ab、时, （ ）()xab、A B C Dsin0cos0t0tn0x7. （2013 届浦东二模卷理科题）已知以 为周期的函数4,其中 .若方程 恰有 5 个实数解,则3,1,2cos)(2xmxfm3)(f的取值范围为 .)(A158,)3)(B15,7)3)(C48,3)(D4,73二、填空题8. （上海徐汇 、松江、金山区 2013 年
4、高考二模理科数学试题）设函数 ,将 向fxfx左平移 个单位得到函数 ,将 向上平移 个单位得到函数a(0)gxfa(0),若 的图像恒在 的图像的上方,则正数 的取值范围为_.hxgh9. （上海徐汇、松江、金山区 2013 年高考二模理科数学试题）若函数的反函数图像过点 ,则 =_.()0,1)xfa(21)a10. （四区（静安杨浦青浦宝山）联考 2012 学年度第二学期高三（理）已知函数 和函数)(xfy的图像关于直线 对称,则函数 的解析式为)(log2xy 0yx)(xfy_. 11. （四区（静安杨浦青浦宝山）联考 2012 学年度第二学期高三（理）若关于 的二元一次y、方程组
5、有唯一一组解,则实数 的取值范围04)12(3yxmm是_.12. （上海市闸北区2013届高三第二学期期中考试数学(理)试卷）某商场在节日期间举行促销活动,规定:(1)若所购商品标价不超过 200 元,则不给予优惠;(2)若所购商品标价超过 200 元但不超过 500 元,则超过 200 元的部分给予 9 折优惠;(3)若所购商品标价超过 500 元,其 500 元内(含 500 元)的部分按第(2)条给予优惠,超过 500 元的部分给予 8 折优惠.某人来该商场购买一件家用电器共节省 330 元,则该件家电在商场标价为_.13. （上海市闸北区 2013 届高三第二学期期中考试数学(理)试
6、卷）设 )(xfy为 R上的奇函数,)(xgy为 R上的偶函数,且 )1()xfg, 20(g.则 _.(只需写出一个满足条件的函数解析式即可)14. （上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学（理）试题 ）函数xay(01)的图像的大致形状是 ( )15. （上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学（理）试题 ）下列各对函数中表示相同函数的是 ( )A. B. C. D. ()fx= 2,g(x)= ; ()f=x,g(x)=2; ()fx= 24,g(x)= ()fx= , g(x)=3; ()fx=|1|, 1,()xg 16. （上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数
7、学（理）试题 ）幂函数 y,当 取不同的正数时,在区间 1,0上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点 )10(BA,连接AB,线段 AB 恰好被其中的两个幂函数 xy,的图像三等分,即有.NAMB那么,=_.ONMyBAx17. （上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学（理）试题 ）已知定义在 R 上的奇函数 )(xf,满足 (4)(fxfx,且在区间0,2上是增函数,若函数 ()Fxfm0在区间 8,上有四个不同的零点 1234,x,则 1234_.18. （上海市十二校 2013 届高三第二学期联考数学（理）试题 ）设函数21()()0xf,那么 1(0)f_.19. （上海市
8、普陀区 2013 届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）若点 )2,4(在幂函数)(xf的图像上,则函数 )(xf的反函数 )(1xf=_.20. （上海市普陀区 2013 届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）函数2log(1)y的定义域为_.21. （上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题）已知 1()4fx,若存在区间,(,)3ab,使得 (),yfxabm,则实数 的取值范围是_.22. （上海市黄浦区 2013 年高考二模理科数学试题）设 为常数 ,函数 2()43fx,若()fxa在 0,)上是增函数,则 a的取值范围是_.23. （上海市黄浦区 2013
9、年高考二模理科数学试题）函数 ()1lg(2)fxx的定义域为_.24. （上海市虹口区 2013 年高考二模数学（理）试题 ）已知函数axxf2)1()(2的定义域是使得解析式有意义的 x的集合,如果对于定义域内的任意实数 ,函数值均为正 ,则实数 a的取值范围是 _.25. （上海市虹口区 2013 年高考二模数学（理）试题 ）函数 1)2()xkxf在 R上单调递减,则 k的取值范围是 _. 26. （上海市奉贤区 2013 年高考二模数学（理）试题 ）如图放置的等腰直角三角形 ABC 薄片( ACB=90,AC=2)沿 x 轴滚动,设顶点 A(x,y)的轨迹方程是 y=f(x),当 0
10、,24时 y=f(x)= _)14(、27. （上海市奉贤区 2013 年高考二模数学（理）试题 ）设 fx是定义在 R上以 2 为周期的偶函数, 已知 (0,)x, 12logfxx,则函数 在 (1,) 上的解析式是_28. （上海市奉贤区 2013 年高考二模数学（理）试题 ）若实数 t 满足 f(t)=-t,则称 t 是函数f(x)的一个次不动点.设函数 xfln与反函数的所有次不动点之和为 m,则 m=_29. （上海市奉贤区 2013 年高考二模数学（理）试题 ）已知直线 yt与函数 ()3xf及函数()43xg的图像分别相交于 A、 B两点,则 A、 B两点之间的距离为 _30.
11、 （上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学（理）试题 ）(理)函数1sin)()2xf的最大值和最小值分别为 mM,则 _.31. （上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学（理）试题 ）(理)设定义域为 R的函数)1(|)(xf,若关于 x的方程02cbff有三个不同的实数解 321,x,则231x_.32. （上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学（理）试题） )(xf为 R上的偶函数,)(xg为 R上的奇函数且过 3,1, )1()xfg,则)20(1ff_.33. （上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）已知 (1)2xf,那么1()f的值
12、是_.34. （上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学（理）试题）函数 0.5logyx的定义域为_.35. （2013 年上海市高三七校联考（理）函数 的定义域为 ,且定义如下:()MfxR(其中 是实数集 的非空真子集),若1()Mxf,则函数 的值域为|2 |1AxBx、 2()1()ABfxFx_. 36. （2013 年上海市高三七校联考（理）已知 的最大值和最小值12arcsin()xxf分别是 和 ,则 _. Mm37. （2013 年上海市高三七校联考（理）若函数 的图像经过点 ,则()8xf1()3、_. 1(2)fa38. （2013 届浦东二模卷理科题）如果
13、是函数 图像上的点, 是函数 图M)(xfyN)(xgy像上的点,且 两点之间的距离 能取到最小值 ,那么将 称为函数N, Nd与 之间的距离.按这个定义,函数 和)(xfy)(g xf)(之间的距离是_.342g39. （2013 届浦东二模卷理科题）函数 与 的图像关于直线 对xxf2log1)()(yxy称,则 _.)(40. （2013 届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）设 是定义在 上的函数,若()fxR,且对任意的 ,满足 ,则81)0(fxR23(4)(103x xfff=_. 2441. （2013 届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）用 二 分 法 研 究 方 程 的 近
14、似 解3x,借 助 计 算 器 经 过 若 干 次 运 算 得 下 表 :0x运算次数 1 4 5 6解的范围 (,.5)(0.3125,.7)(0.312,.47)(0.3125,.8)若精确到 ,至少运算 次,则 的值为_.nx三、解答题42. （上海市普陀区 2013 届高三第二学期（二模）质量调研数学（理）试题）本大题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分.已知 0a且 1,函数 )1(log)(xfa, xa1log(,记)(xgfxF(1)求函数 的定义域 D及其零点;(2)若关于 x的方程 0)(mF在区间 )1,内仅有一解 ,求实数 m的取值范围.4
15、3. （上海市奉贤区 2013 年高考二模数学（理）试题 ）三阶行列式 xbD31025,元素bR的代数余子式为 xH, 0xP, (1) 求集合 P;(2)函数 2logfxa的定义域为 ,Q若 ,P求实数 a的取值范围; 44. （上海市长宁、嘉定区 2013 年高考二模数学（理）试题 ）(本题满分 14 分,第 1 小题满分 4分,第 2 小题满分 10 分)设函数 )10(1( akaxfx且 是定义域为 R的奇函数.(1)求 k的值;(2)(理)若 23)f,且 (2)2xfmgx在 ),1上的最小值为 2,求 m的值.45. （2013 年上海市高三七校联考（理）本题共有 3 小题
16、,第(1)小题 4 分,第(2)小题 4 分,第(3)小题 8 分.已知函数 .2()(0)fxa(1)当 时,解关于 的不等式 ;a()5fx(2)对于给定的正数 ,有一个最大的正数 ,使得在整个区间 上,不等Ma0 ()Ma，式 恒成立. 求出 的解析式;|()|5f()(3)函数 在 的最大值为 ,最小值是 ,求实数 和 的值. yfx 2t， 04t46. （2013 届浦东二模卷理科题）本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 8分.设函数 ()|fxaxb(1)当 ,画出函数 的图像,并求出函数 的零点;23b()f ()yfx(2)设 ,且对任意 , 恒成
17、立,求实数 a的取值范围.1x0x47. （2013 届闵行高三二模模拟试卷（数学）理科）本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 6 分,第(3)小题满分 6 分.已知 .()|,Rfxabx(1)当 时,判断 的奇偶性,并说明理由;10ab()fx(2)当 时,若 ,求 的值;524(3)若 ,且对任何 不等式 恒成立,求实数 的取值范围.1x()0fxa解:48. （四区（静安杨浦青浦宝山）联考 2012 学年度第二学期高三（理）本题共有 2 小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分 .已知函数 .axf)(1)若 是偶函数,在定义域上 恒成立,求
18、实数 的取值1bF axF)(a范围;(2)当 时,令 ,问是否存在实数 ,使 在1a)()()(xffx)(上是减函数,在 上是增函数?如果存在,求出 的值;如果不存在,请说01明理由. 49. （上海市八校 2013 届高三下学期联合调研考试数学（理）试题） (本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分)已知下表为函数 dcxaf3)(部分自变量取值及其对应函数值,为了便于研究,相关函数值取非整数值时,取值精确到 0.01.x-0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27y0.07 0.02 -0.03
19、-0.22 0 0.21 0.20 -10.04 -101.63根据表中数据,研究该函数的一些性质:(1) 判断 )(xf的奇偶性,并证明;(2) 判断 在 6.0,5上是否存在零点,并说明理由;(3) 判断 a的符号 ,并证明 )(xf在 35.0,是单调递减函数.50. （上海市虹口区 2013 年高考二模数学（理）试题 ）定义域为 D的函数 )(xf,如果对于区间 I内 )(D的任意两个数 1x、 2都有 21)(21ffxf成立,则称此函数在区间 I上是“凸函数 ”.(1)判断函数 xflg)(在 R上是否是“凸函数”,并证明你的结论;(2)如果函数 a2在 ,1上是“凸函数”,求实数
20、 a的取值范围;(3)对于区间 ,dc上的“凸函数” )(xf,在 dc上任取 1x, 2, 3, nx. 证明: 当 kn2( N)时, )()()2121 nn fff 成立; 请再选一个与不同的且大于 1 的整数 ,证明: )()()( 2121 nn xffxxf 也成立.上海 2013 届高三理科数学最新试题精选（13 份含 16 区二模）分类汇编 2：函数及其应用参考答案一、选择题1. B 2. A 3. D 4. A 5. D 6. B 7. B 二、填空题8. 2a9. 110. ; xy11. ; 3m12. 20 13. xfsin)( 14. D 15. B 16. 1
21、17. 818. 3 19. )(1xf2( 0)20. | 21. 3,4 22. 2 23. 1, 24. 07a或 2; 25. ),(; 26. 24280xxf(每空 2 分) 27. 1log2xy 28. 0; 29. 4l3; 30. 31. 5 32. 33. 3 34. (0,135. 2、36. 437. 338. 12739. 4 40. . 8320141. 5.3; 三、解答题42.解:(1) )(2)(xgfxFxaa1log)(l2( 0且 1a) 01,解得 1,所以函数 xF的定义域为 ), 令 )(x,则 0log)(l2xaa(*)方程变为 1oglog
22、a, x12,即 32 解得 01x, 32 经检验 是(*)的增根, 所以方程(*)的解为 0 所以函数 )(F的零点为 0 (2) xxmaa1logl2( 1) 4l1logaa41xam 设 ,0(t,则函数 ty4在区间 1,0(上是减函数 当 时,此时 , 5min,所以 ma 若 1a,则 ,方程有解 ; 若 0,则 0,方程有解 43.解:(1)、 xxH2= 25x 21P(2)、 若 ,Q则说明在 1,2上至少存在一个 x值,使不等式 20ax成立, 即在 1,2上至少存在一个 x值,使 2a成立, 令 2,ux则只需 minua即可 又221.x当 ,x时, ,4,214
23、minu从而 4minu 由知, min4,u .a 44. (本题满分 14 分,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 10 分) 解:(1)由题意,对任意 Rx, ()(xff, 即 x akak)( , 即 0)(1xx, 0)(2xa, 因为 x为任意实数 ,所以 2 解法二:因为 )(f是定义域为 R的奇函数,所以 )(f,即 0)1(k, 2. 当 2k时, xa, )(xafx, f是奇函数. 所以 的值为 (2)由(1) xaxf)(,因为 23)1(f,所以 231a, 解得 2a. 故 xf)(, )()(2xxmg, 令 xt,则 22tx,由 ,1,得 ,23t,
24、 所以 222)()(ttthg, ,t 当 3m时, )(t在 ,3上是增函数,则 3h, 2349m, 解得 125(舍去) 当 3时,则 2f, 2m,解得 ,或 2(舍去). 综上, m的值是 45.解:(1) 时, 2a2450()53xf 由得, ,由得, 或 , 1x1 为所求 ( )3， ，(2) ,当 ,即 时, 0a25a2()5Ma当 ,即 时, 5 2 ()505Maa(3) ,显然 2(2)fxtx(0)2fa若 ,则 ,且 ,或 , 0t1amin4fmin)()4fxf当 时, , 不合题意,舍去 2()4fa当 时, 2若 ,则 ,且 ,或 , 2ta1tmin
25、()()4fxfmin()(2)4fxfa当 时, ,若 , ,符合题意; ()4fat若 ,则与题设矛盾,不合题意,舍去 2a当 时, , 2()()()4faa2at综上所述, 和 符合题意 0tt46.解:(1) , 230()xxf画图正确 当 时,由 ,得 ,此时无实根; 0x()0fx230x当 时,由 ,得 ,得 . 1,3(x舍 ）所以函数的零点为 1(2)由 xf0 得, . ()|2ax当 时, 取任意实数,不等式恒成立 0当 时, .令 ,则 在 上单调递增, 1()gx()g01x ; max()1g当 时, ,令 , 02x2()hx则 在 上单调递减,所以 在 上单
26、调递减. ()hx)- 10 ma(13综合 47. 解(理) (1)当 时, 既不是奇函数也不是偶函数 0b()|fx , (1)2f1(),1()ff所以 既不是奇函数,也不是偶函数 x(2)当 时, , ab()|fx由 得 5(2)4xf5|21|4即 或 2()0x21()0x解得 121212xx x或 （ 舍 ） ， 或所以 或 22loglog()(3)当 时, 取任意实数,不等式 恒成立, 0xa(0fx故只需考虑 ,此时原不等式变为 1|ba即 bxx故 mamin()(),0,1b又函数 在 上单调递增,所以 ; gxmax()(1)bgb对于函数 ()h当 时,在 上
27、单调递减, ,又 , 1b0,()hmin()()xh1所以,此时 的取值范围是 a1b当 ,在 上, , ()2xb当 时, ,此时要使 存在, xbmin()2xa必须有 即 ,此时 的取值范围是 10123b(1,2)b综上,当 时, 的取值范围是 ; ba(,)当 时, 的取值范围是 ; 1231,2b当 时, 的取值范围是 0ba48. 本题共有 2 小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分 . 解:(1) 是偶函数, )(xxF0b即 , 2aR又 恒成立即 x)( 2)1(2xa当 时 1当 时, , 1x 213)(12xxa 23a当 时, , )(2综上:
28、33a(2) )()()(xffx )2()(4x是偶函数,要使 在 上是减函数在 上是增函数,即 只1,01)(x要满足在区间 上是增函数在 上是减函数. ,10令 ,当 时 ; 时 ,由于 时, 2xt0,t,xtx是增函数记 ,故 与 在区间)2()()(2tHx ()tH上有相同的增减性,当二次函数 在区间0 tt上是增函数在 上是减函数,其对称轴方程为 . ,1101t 41249. 036.75.0212 acx 50. 解:(1)设 1x, 2是 R上的任意两个数,则 01lg)(4lg2llg)()( 211212121 xxxxfff)()(2121ffxf.函数 fl)(在
29、 R上是 “凸函数” (2)对于 ,上的任意两个数 1x, 2,均有 )(21)(21xffxf成立,即)()(21)2( 2111 xaxxa,整理得)()()( 212121若 21x,a可以取任意值. 若 ,得 )(12x,1)(182x,8a. 综上所述得 8 (3)当 k时由已知得 )()(2121fff成立. 假设当 m)(N时,不等式成立即 )()(21( 2212 mk xffxxf 成立. 那么,由 dcm , dcm21 得 2)2( 22121111 mmmmxxxfxxf )()( 212m mff )(2)()21 122122 mmmm xfxffxfxff (121m. 即 k时,不等式也成立 .根据数学归纳法原理不等式得证 比如证明 3n不等式成立.由知 dxc1, xc2, dxc3,dxc4, 有 )()(41)( 432321 xffxffxf 成立. dxc1,c2, dc3, dc132, )43()3( 3212121 xxfxf ()42121 fxff, 从而得 )()(3)( 32121 xfffxf
