1、1考点规范练 31 数列求和基础巩固1.数列 1 ,3 ,5 ,7 ,(2n-1)+ ,的前 n项和 Sn的值等于 ( )12 14 18 116 12A.n2+1- B.2n2-n+1-12 12C.n2+1- D.n2-n+1-12-1 122.数列 an满足 a1=1,且对任意的 nN +都有 an+1=a1+an+n,则 的前 100项和为( )1A. B. C. D.100101 99100 101100 2001013.已知函数 f(n)=n2cos(n),且 an=f(n)+f(n+1),则 a1+a2+a3+a100=( )A.0 B.-100 C.100 D.10 2004.
2、已知函数 f(x)=xa的图象过点(4,2),令 an= ,nN +.记数列 an的前 n项和为 Sn,1(+1)+()则 S2 016等于( )A. -1 B. +12016 2016C. -1 D. +12017 20175.若数列 an满足 an+1+(-1)nan=2n-1,则 an的前 60项和为( )A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 8306.32-1+42-2+52-3+(n+2)2-n= . 7.已知数列 an满足: a3= ,an-an+1=2anan+1,则数列 anan+1前 10项的和为 . 158.已知 an是等差数列, bn是等比数列,且 b2
3、=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.2(1)求 an的通项公式;(2)设 cn=an+bn,求数列 cn的前 n项和 .9.设等差数列 an的公差为 d,前 n项和为 Sn,等比数列 bn的公比为 q,已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.(1)求数列 an,bn的通项公式;(2)当 d1时,记 cn= ,求数列 cn的前 n项和 Tn.10.已知 Sn为数列 an的前 n项和, an0, +2an=4Sn+3.2(1)求 an的通项公式;3(2)设 bn= ,求数列 bn的前 n项和 .1+111.已知各项均为正数的数列 an的前 n项和为 Sn,满足 =2Sn+n+4,a
4、2-1,a3,a7恰为等比数列 bn的2+1前 3项 .(1)求数列 an,bn的通项公式;(2)若 cn=(-1)nlog2bn- ,求数列 cn的前 n项和 Tn.1+1能力提升12.(2017山东烟台模拟)已知数列 an中, a1=1,且 an+1= ,若 bn=anan+1,则数列 bn的前 n项2+1和 Sn为( )A. B.22+1 2+14C. D.22-1 2-12+113.(2017福建龙岩一模)已知 Sn为数列 an的前 n项和,对 nN +都有 Sn=1-an,若 bn=log2an,则+ = . 112+ 123 1+114.(2017广西模拟)已知数列 an的前 n项
5、和为 Sn,且 Sn= an-1(nN +).32(1)求数列 an的通项公式;(2)设 bn=2log3 +1,求 + .2 112+ 123 1-1高考预测15.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件 .为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动 .这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一项是 20,接下来的两项是 20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推 .求满足如下条件的最小整数 N:N100,且该数列的前 N项和为 2的整数幂 .那么该款软件的激活码是( )A
6、.440 B.330 C.220 D.11016.已知数列 an的前 n项和为 Sn,且 a1=2,Sn=2an+k,等差数列 bn的前 n项和为 Tn,且 Tn=n2.(1)求 k和 Sn;(2)若 cn=anbn,求数列 cn的前 n项和 Mn.5参考答案考点规范练 31 数列求和1.A 解析该数列的通项公式为 an=(2n-1)+ ,则 Sn=1+3+5+(2n-1)+ =n2+1-12 (12+122+12).122.D 解析 a n+1=a1+an+n,a n+1-an=1+n.a n-an-1=n(n2) .a n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=
7、n+(n-1)+2+1= .(+1)2 =2 .1= 2(+1) (1- 1+1) 的前 100项和为 2 =2 .故选 D.1 (1-12+12-13+1100 1101) (1- 1101)=20010163.B 解析 f (n)=n2cos(n) = =(-1)nn2,-2,为 奇数 ,2,为 偶数 a n=f(n)+f(n+1)=(-1)nn2+(-1)n+1(n+1)2=(-1)nn2-(n+1)2=(-1)n+1(2n+1).a 1+a2+a3+a100=3+(-5)+7+(-9)+199+(-201)=50(-2)=-100.故选 B.4.C 解析由 f(4)=2,可得 4a=2
8、,解得 a= ,则 f(x)= .12 12a n= ,1(+1)+()= 1+1+=+1 S2016=a1+a2+a3+a2016=( )+( )+( )+( )= -1.2 1 3 2 4 3 2017 201620175.D 解析 a n+1+(-1)nan=2n-1, 当 n=2k(kN +)时, a2k+1+a2k=4k-1, 当 n=2k+1(kN +)时, a2k+2-a2k+1=4k+1, + 得: a2k+a2k+2=8k.则 a2+a4+a6+a8+a60=(a2+a4)+(a6+a8)+(a58+a60)=8(1+3+29)=8 =1800.15(1+29)2由 得 a2
9、k+1=a2k+2-(4k+1),a 1+a3+a5+a59=a2+a4+a60-4(0+1+2+29)+30=1800- =30,(430292 +30)a 1+a2+a60=1800+30=1830.6.4- 解析设 Sn=32-1+42-2+52-3+(n+2)2-n, +42则 Sn=32-2+42-3+(n+1)2-n+(n+2)2-n-1. 12- ,得 Sn=32-1+2-2+2-3+2-n-(n+2)2-n-1=22-1+2-1+2-2+2-3+2-n-(n+2)2-n-1=1+12-(n+2)2-n-1=2-(n+4)2-n-1.2-1(1-2-)1-2-1故 Sn=4- .
10、+427. 解析 a n-an+1=2anan+1, =2,即 =2.1021 -+1+1 1+11 数列 是以 2为公差的等差数列 .1 =5, =5+2(n-3)=2n-1.a n= .13 1 12-17a nan+1= .1(2-1)(2+1)=12( 12-1- 12+1) 数列 anan+1前 10项的和为 12(1-13+13-15+ 1210-1- 1210+1)= .12(1- 121)=122021=10218.解(1)因为等比数列 bn的公比 q= =3,32=93所以 b1= =1,b4=b3q=27.2设等差数列 an的公差为 d.因为 a1=b1=1,a14=b4=
11、27,所以 1+13d=27,即 d=2.所以 an=2n-1.(2)由(1)知, an=2n-1,bn=3n-1.因此 cn=an+bn=2n-1+3n-1.从而数列 cn的前 n项和Sn=1+3+(2n-1)+1+3+3n-1= =n2+ .(1+2-1)2 +1-31-3 3-129.解(1)由题意,有 101+45=100,1=2, 即 21+9=20,1=2, 解得1=1,=2或 1=9,=29.故=2-1,=2-1或 =19(2+79),=9(29)-1. (2)由 d1,知 an=2n-1,bn=2n-1,故 cn= ,2-12-1于是 Tn=1+ + , 32+522+723+
12、924 2-12-1Tn= + . 12 12+322+523+724+925 2-128- 可得 Tn=2+ + =3- ,故 Tn=6- .12 12+122 12-22-12 2+32 2+32-110.解(1)由 +2an=4Sn+3,可知 +2an+1=4Sn+1+3.2 2+1两式相减可得 +2(an+1-an)=4an+1,2+12即 2(an+1+an)= =(an+1+an)(an+1-an).由于 an0,可得 an+1-an=2.2+12又 +2a1=4a1+3,解得 a1=-1(舍去), a1=3.21所以 an是首项为 3,公差为 2的等差数列,故 an的通项公式为
13、an=2n+1.(2)由 an=2n+1可知 bn=1+1= 1(2+1)(2+3)= .12( 12+1- 12+3)设数列 bn的前 n项和为 Tn,则 Tn=b1+b2+bn=12(13-15)+(15-17)+( 12+1- 12+3)= .3(2+3)11.解(1)因为 =2Sn+n+4,所以 =2Sn-1+n-1+4(n2) .2+1 2两式相减得 =2an+1,2+12所以 +2an+1=(an+1)2.2+1=2因为 an是各项均为正数的数列,所以 an+1-an=1.又 =(a2-1)a7,所以( a2+1)2=(a2-1)(a2+5),解得 a2=3,a1=2,所以 an是
14、以 2为首项,1 为公差的23等差数列,所以 an=n+1.由题意知 b1=2,b2=4,b3=8,故 bn=2n.(2)由(1)得 cn=(-1)nlog22n- =(-1)nn- ,1(+1)(+2) 1(+1)(+2)故 Tn=c1+c2+cn=-1+2-3+(-1)nn- .123+ 134+ 1(+1)(+2)设 Fn=-1+2-3+(-1)nn.则当 n为偶数时, Fn=(-1+2)+(-3+4)+-(n-1)+n= ;2当 n为奇数时, Fn=Fn-1+(-n)= -n= .-12 -(+1)2设 Gn= + ,123+ 134 1(+1)(+2)则 Gn= + .1213+13
15、14 1+1 1+2=12 1+29所以 Tn=-12 + 1+2,为 偶数 ,-+22 + 1+2,为 奇数 .12.B 解析由 an+1= ,得 +2,2+1 1+1=1 数列 是以 1为首项,2 为公差的等差数列,1 =2n-1,又 bn=anan+1,1b n= ,1(2-1)(2+1)=12( 12-1- 12+1)S n= ,故选 B.12(11-13+13-15+ 12-1- 12+1)= 2+113. 解析对 nN +都有 Sn=1-an,当 n=1时, a1=1-a1,解得 a1= .当 n2 时, an=Sn-Sn-1=1-an-+1 12(1-an-1),化为 an= a
16、n-1. 数列 an是等比数列,公比为 ,首项为 .12 12 12a n= .(12)b n=log2an=-n. .1+1= 1-(-1)=1 1+1则 + + =1- .112+123 1+1=(1-12)+(12-13) (1- 1+1) 1+1= +114.解(1)当 n=1时, a1= a1-1,32a 1=2.当 n2 时, S n= an-1, 32Sn-1= an-1-1(n2), 32- 得 an= ,即 an=3an-1,(32-1)(32-1-1) 数列 an是首项为 2,公比为 3的等比数列,a n=23n-1.(2)由(1)得 bn=2log3 +1=2n-1,21
17、0 + + +112+123 1-1= 113+ 135 1(2-3)(2-1)=12 (1-13)+(13-15).(12-3 12-1)=-12-115.A 解析设数列的首项为第 1组,接下来两项为第 2组,再接下来三项为第 3组,以此类推,设第n组的项数为 n,则前 n组的项数和为 .第 n组的和为 =2n-1,前 n组总共的和为(1+)2 1-21-2-n=2n+1-2-n.2(1-2)1-2由题意, N100,令 100,得 n14 且 nN +,即 N出现在第 13组之后 .若要使最小整数(1+)2N满足: N100且前 N项和为 2的整数幂,则 SN- 应与 -2-n互为相反数,
18、即 2k-(1+)21=2+n(kN +,n14),所以 k=log2(n+3),解得 n=29,k=5.所以 N= +5=440,故选 A.29(1+29)216.解(1) S n=2an+k, 当 n=1时, S1=2a1+k.a 1=-k=2,即 k=-2.S n=2an-2. 当 n2 时, Sn-1=2an-1-2.a n=Sn-Sn-1=2an-2an-1.a n=2an-1. 数列 an是以 2为首项,2 为公比的等比数列 .即 an=2n.S n=2n+1-2.(2) 等差数列 bn的前 n项和为 Tn,且 Tn=n2, 当 n2 时, bn=Tn-Tn-1=2n-1.又 b1=T1=1符合 bn=2n-1,b n=2n-1.c n=anbn=(2n-1)2n. 数列 cn的前 n项和Mn=12+322+523+(2n-3)2n-1+(2n-1)2n, 2Mn=122+323+524+(2n-3)2n+(2n-1)2n+1, 由 - ,得 -Mn=2+222+223+224+22n-(2n-1)2n+1=2+2 -(2n-1)2n+1,22-2+11-2即 Mn=6+(2n-3)2n+1.
