1、116届维一思数学开学考模拟试卷答案一 填空题1.已知全集 U=R，集合 A=x|x-2，xR，B=x|x-2，则( A)B=(-2，1).UU答案：(-2，1)2.若 z(1+i)2=2i，则|z|= .【解析】因为 z(1+i)2=z2i=2i，设 z=a+bi(a，bR)，则(a+bi)2i=2i，即-2b+2ai=2i，所以 a=1，b=0，故 z=1.故|z|=1.答案：13.已知甲、乙两人投篮投中的概率分别为 和 ，若两人各投两次，则两人投中次数相等的概率为 .34 23【解析】两人都投中 0次的概率为= ，(134)(134)(123)(123) 1144两人各投中 1次的概率为
2、 = ，C1234 14 C1223 1324144两人都投中 2次的概率为 = ，(34)2 (23)236144故两人投中次数相等的概率为 + + = .1144241443614461144答案：611444.已知双曲线的标准方程为 -y2=1，则它的焦点坐标为 .x22【解析】因为 a= ，b=1，所以 c= = ，且焦点在 x轴上，所以它的焦点坐标是2 a2+2 3( ，0).3答案：( ，0)325. 若 F1，F 2分别是椭圆 + =1的左、右焦点，M 是椭圆上的任意一点，且MF 1F2的内切圆的周x225y216长为 3，则满足条件的点 M的个数为 .【解题提示】由内切圆的周长
3、为 3 可确定内切圆的半径，然后利用面积相等确定点 M的纵坐标，进而确定 M点的个数.【解析】由MF 1F2的内切圆的周长为 3 得，内切圆的半径 r= ，32所以MF 1F2的面积为 (MF1+MF2+F1F2)r= F1F2|yM|，12 12即(10+6) =6|yM|，得|y M|=4，32所以满足条件的点 M是短轴的 2个端点，个数有 2个.答案：26.设变量 x，y 满足|x|+|y|1，则 2x+y的最大值和最小值分别为 .【解析】由约束条件|x|+|y|1，作出可行域如图，设 z=2x+y，则 y=-2x+z，平移直线 y=-2x，当经过点 A(1，0)时，z 取得最大值 2，
4、当经过点 B(-1，0)时，z 取得最小值-2.答案：2，-27.若函数 f(x)对任意的 xR 都有 f(x+3)=-f(x+1)，且 f(1)=2013，则 f(f(2013)+2)+1= .【解题提示】由 f(x+3)=-f(x+1)得 f(x+2)=-f(x)，从而 f(x+4)=-f(x+2)=f(x)，因此函数 f(x)是周期为 4的函数.【解析】由 f(x+3)=-f(x+1)可知函数 f(x)为周期函数，且周期 T=4，当 x=0时，f(3)=-f(1)=-2013，f(2013)=f(5034+1)=f(1)=2013，因此 f(f(2013)+2)+1=f(2015)+1=
5、f(3)+1=-2012.答案：-201238. 设命题 p： f(x)，则有 .e 2014f(-2014)e 2014f(0)；e 2014f(-2014)f(0)，f(2014)e 2014f(0)；e 2014f(-2014)f(0)，f(2014)f(x)，并且 ex0，所以 g(x)g(0)，g(2014)f(0)，2014f()ef(0)，f(2014)b0)的离心率为 ，右焦点为 F，右顶点 A在圆 F：(x-1)x22y22 122+y2=r2(r0)上.(1)求椭圆 C和圆 F的方程.(2)已知过点 A的直线 l与椭圆 C交于另一点 B，与圆 F交于另一点 P.请判断是否存
6、在斜率不为 0的直线 l，使点 P恰好为线段 AB的中点，若存在，求出直线 l的方程；若不存在，说明理由.【解析】(1)由题意可得 c=1，又由题意可得 = ，所以 a=2，c 12所以 b2=a2-c2=3，所以椭圆 C的方程为 + =1，x24y23所以椭圆 C的右顶点为 A(2，0)，代入圆 F的方程，可得 r2=1，所以圆 F的方程为(x-1) 2+y2=1.(2)假设存在直线 l：y=k(x-2)(k0)满足条件，由 y=(2),24+23=1,得(4k 2+3)x2-16k2x+16k2-12=0.设 B(x1，y 1)，则 2+x1= ，16242+3可得中点 P ，(8242+
7、3, 642+3)9由点 P在圆 F上可得 + =1，(8242+31)2( -642+3)2化简整理得 k2=0，又因为 k0，所以不存在满足条件的直线 18. (10分)为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y= 且每处133802+5 040,120,144),122200+80 000,144,500,理 1吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 200元，若该项目不获利，国家将给予补偿.(1)当 x200，300时，
8、判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？【解析】(1)当 x200，300时，设该项目获利为 S，则 S=200x-(122200+80 000)=- x2+400x-8000012=- (x-400)2，12所以当 x200，300时，S1时，|x+a|=1+a，所以 x=1或 x=-(1+2a).(3)因为 f(x)-f(x)=(x-1)x-(1-2a)，g(x)=f(),()(),(),()().若 a- ，12则 x2，4时，f(x)f(x)，所以 g(x)=
9、f(x)=2x+2a.从而 g(x)的最小值为 g(2)=2a+4；若 a- ，32则 x2，4时，f(x)f(x)，所以 g(x)=f(x)=x2+2ax+1，当-2a- 时，g(x)的最小值为 g(2)=4a+5；32当-4a-2 时，g(x)的最小值为 g(-a)=1-a2；当 a-4 时，g(x)的最小值为 g(4)=8a+17.若- a- ，32 12则 x2，4时，g(x)=x2+2+1,2,12),2+2,12,4,当 x2，1-2a)时，g(x)最小值为 g(2)=4a+5；当 x1-2a，4时，g(x)最小值为 g(1-2a)=2-2a.因为- a- ，(4a+5)-(2-2a)=6a+30，32 12所以 g(x)最小值为 4a+5.综上所述，g(x)的最小值为138+17,4,12,42,4+5,212,2+4,12.
