1、2017 年高考复习第一轮：平面向量专题一向量有关概念：1向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移） 。例如：已知 A（1,2） ，B（4,2） ，则把向量 按向量 （1,3）平移后得到的向量是ABa_2零向量：长度为 0 的向量叫零向量，记作： ，注意零向量的方向是任意的；03单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与 共线的单位向量是 )；AB|AB4相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量 、 叫做平行向量，记作
2、：ab ，规定零向量和任何向量平行。ab提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有 )；0三点 共线 共线；ABC、 、 A、6相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。 的相反向量是 。aa例如：下列命题：（1）若 ，则 。 （2）两个向量相等的充要条件是它们的起点ab相同，终点相同。 （3）若 ，则 是平行四边形。 （4）若 是平行四边BDC ABCD形，则 。 （5）若 ，则 。 （6）若 ，则 。其中正确AB,ca/,bc/的是_二向量
3、的表示方法：1几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如 ，注意起点在前，终点在后；AB2符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如 ， ， 等；c3坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与 轴、 轴方向相同的两个单位向量 ，xyi为基底，则平面内的任一向量 可表示为 ，称 为向量 的坐j a,ij,xya标， 叫做向量 的坐标表示。如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量a,xy的终点坐标相同。三平面向量的基本定理：如果 e1 和 e2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 、 ，使 a= e1 e2。例如：（1）若 ，则 _（用 表示）(1,)b(,)
4、(,)cc,ab（2）已知 分别是 的边 上的中线,且 ,则 可用向量ADBEACBADBEC表示为_,b（3）已知 中，点 在 边上，且 ， ，则 2 srC的值是_sr四实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和方向规定aa如下： 当 0 时， 的方向与 的方向相同，当 0 时， 的方1,2a a向与 的方向相反，当 0 时， ，注意： 0。0五平面向量的数量积：1两个向量的夹角：对于非零向量 ， ，作 ，ab,OAaBbAO称为向量 ， 的夹角，当 0 时， ， 同向；当 时， ， 反向；0ab当 时， ， 垂直。2ab2平面向量的数量积：如果两个非零向量 ， ，它
5、们的夹角为 ，我们把数量ab叫做 与 的数量积（或内积或点积） ，记作： ，即|cosb ab 。规定：零向量与任一向量的数量积是 0，注意数量积是一个实数，不a再是一个向量。例如：（1）ABC 中， ， ， ，则 _3| AB4| C5| BBCA（2）已知 ， 与 的夹角为 ，则 等于_1(,)(0,),2abcakbdcd4k（3）已知 ，则 等于_,5（4）已知 是两个非零向量，且 ，则 的夹角为_与ab3 在 上的投影为 ，它是一个实数，但不一定大于 0。ba|cosb例如：已知 ， ，且 ，则向量 在向量 上的投影为_3|5|12a4 的几何意义：数量积 等于 的模 与 在 上的投
6、影的积。|ab5向量数量积的性质：设两个非零向量 ， ，其夹角为 ，则： ；0ab当 ， 同向时， ，特别地， ；当 与 反向ab222,aab时， ；当 为锐角时， 0，且 不同向， 是 为锐角的ab 、 0必要非充分条件；当 为钝角时， 0，且 不反向， 是 为钝角的必要、 b非充分条件；非零向量 ， 夹角 的计算公式： ； 。abcosab|a例如：（1）已知 ， ，如果 与 的夹角为锐角，则 的取值范围)2,()2,3(b是_（2）已知 的面积为 ，且 ，若 ，则 夹角 的取OFQS1 FQO23S FQO,值范围是_（3）已知 与 之间有关系式(cos,in)(cos,in)axby
7、ab，用 表示 ；求 的最小值，并求此时 与 的0kbk且kab夹角 的大小六向量的运算：1几何运算：向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设 ，那么向量 叫,ABaCbAC做 与 的和，即 ；ababABC向量的减法：用“三角形法则”：设 ，由,ab那 么减向量的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量与被减向量的起点相同。例如（1）化简： _； _；DD_()()ABCD（2）若正方形 的边长为 1， ，则 _,ABaCbc|abc（3）若 O 是 所在平面内一点，且满足 ，则 2OBCOA的形状为_（4）
8、若 为 的边 的中点， 所在平面内有一点 ，满足ABCP，设 ，则 的值为_0P|D2坐标运算：设 ，则：12(,)(,)axyb向量的加减法运算： ， 。1x12y例如：（1）已知点 ， ，若 ，则当 _(2,3)5,4AB(7,0)C()APBCR时，点 P 在第一、三象限的角平分线上（2）已知 ， ，则 _ 1(,),(sin,co)xy且 ,(,)2xy（3）已知作用在点 的三个力 ，则合力(,A1233,4,5,1FF的终点坐标是 123F实数与向量的积： 。11,axyy若 ，则 ，即一个向量的坐标等于表示这个向12(,)(,)xyB21量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。例如：设
9、 ，且 ， ，则 C、D 的坐标分别是(,3),5A3ACB3A_平面向量数量积： 。12abxy例如：已知向量 （sinx， cosx）, （sinx，sinx ）, （1，0） 。 （1）若 x ，c3求向量 、 的夹角；（2）若 x ，函数 的最大值为 ，求 的ac4,83baxf)(21值向量的模： 。222|,|axyaxy例如：已知 均为单位向量，它们的夹角为 ，那么 _,b60|3|ab两点间的距离：若 ，则 。12,AB2211|ABxy七向量的运算律：1交换律： ， ， ；abaab2结合律： ，,ccc；3分配律： ， 。,aababcb例如：下列命题中： ； ； cc)(
10、 )(2()a2|a； 若 ，则 或 ；若 则 ；2|b0ba0b,abc； ； ； 。其中正确的是2a2a2()22()a_提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即 cba)()八向量平行(共线)的充要条件： 0。/b22()(|)ab12xy例如：(1)若向量 ，当 _时 与 共线且方向相同(,1)(4,)xx（2）已知 ， ， ，且 ，则 x _,ab2uav/uv（3）设
11、 ，则 k _时，A,B,C 共线(,12)(4,5)(10,)PAkBPC九向量垂直的充要条件： .特别地|bab120xy。()()ABCAB例如：(1)已知 ，若 ，则 (1,2)(3,)OmOABm（2）以原点 O 和 A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB， ，则点 B 的坐标90_（3）已知 向量 ，且 ，则 的坐标是_(,)nabn十、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2） |b（3）在 中，若 ，则其重心的坐标为ABC123,xyBCxy。123123,xyG例如：若ABC 的三边的中点分别为（2，1） 、 （-3，4）
12、 、 （-1，-1） ，则ABC 的重心的坐标为_ 为 的重心，特别地 为()3PABPGAB0PABCP的重心；C 为 的垂心；CC向量 所在直线过 的内心(是 的角平分线所在直线)；()(0| （4）向量 中三终点 共线 存在实数 使得 PAB、 、 AB、 、 、且 .1例如：平面直角坐标系中， 为坐标原点，已知两点 , ,若点 满足O)13(A)BC O,其中 且 ,则点 的轨迹是_ BOA21R21,21C尝试高考：1.【高考重庆 6】设 ，向量 且 ，则 （ ）x(,)(,)axbab|（A） （B） （C） （D）50502（高考全国卷 3)设向量 满足 | |=| |=1, ,则 （ ）b、 1=2（A） （B） （C ） （D）2373.（全国卷）已知向量 2,10,|5aba，则 |b ( ) A. 5 B. 0 C. D. 254.（全国 I）在 ABC 中，c， ACb若点 D满足 BC，则 AD（ ）A 213bcB 523cbC 213bcD 123bc5.（江西卷理）已知向量 (,1)a， (,)， (,7)ck，若 ()a ，则 k= 6.（广东）已知 ABC顶点的直角坐标分别为 )0,(,()4,3cCBA、 .(1）若 5c，求 sin 的值;（2）若 是钝角，求 c的取值范围.
